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- 2021-06-11 发布
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3.2
复数代数形式的四则运算
3.2.1
复数代数形式的加、
减运算及其几何意义
运算是“数”的最主要的功能，复数不同于实数，它是由实部、虚部两部分复合构造而成的整体，它如何进行运算呢？我们就来看一下最简单的复数运算
——
复数的加、减法．
引入
随着生产发展的需要，我们将数的范围扩展到了复数
实部
虚部
1.
复数代数形式的加、减运算法则
.
（重点）
2.
复数代数形式的加、减运算律
.
（难点）
3.
复数代数形式的加、减运算的几何意义
.
我们知道实数有加、减、乘等运算，且有运算律：
a+b=b+a ab=ba (a+b)+c=a+(b+c)
(ab)c=a(bc) a(b+c)=ab+ac
那么复数应怎样进行加、减、乘运算呢？你认为应怎样定义复数的加、减、乘运算呢？运算律仍成立吗？
探究点
1
复数的加法
1.
复数代数形式的加法
我们规定，复数的加法法则如下：
设
z
1
=a+bi,
z
2
=c+di
是任意两个复数，那么
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
说明
:
（
1
）复数的加法运算法则是一种规定
.
当
b=0
，
d=0
时与实数加法法则保持一致
;
（
2
）很明显，两个复数的和仍然是一个复数
,
对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形
.
2.
设
z
1
=a
1
+b
1
i, z
2
=a
2
+b
2
i, z
3
=a
3
+b
3
i.
（
1
）因为
z
1
+z
2
=(a
1
+b
1
i)+(a
2
+b
2
i)
=(a
1
+a
2
)+(b
1
+b
2
)i,
z
2
+z
1
= (a
2
+b
2
i) + (a
1
+b
1
i)
=(a
1
+a
2
)+(b
1
+b
2
)i,
所以
z
1
+z
2
=z
2
+z
1
探究点
2
复数的加法满足交换律、结合律
（
2
）因为
(z
1
+z
2
)+z
3
=[(a
1
+b
1
i)+(a
2
+b
2
i)]+(a
3
+b
3
i)
=(a
1
+a
2
+a
3
)+(b
1
+b
2
+b
3
)i,
z
1
+ (z
2
+z
3
)=(a
1
+b
1
i)+[(a
2
+b
2
i)+(a
3
+b
3
i)]
=(a
1
+a
2
+a
3
)+(b
1
+b
2
+b
3
)i,
所以
(z
1
+z
2
)+z
3
=z
1
+(z
2
+z
3
)
所以，对任意
z
1
，
z
2
，
z
3
C
,
有
z
1
+z
2
=z
2
+z
1
（
z
1
+z
2
）
+z
3
=z
1
+
（
z
2
+z
3
）
探究点
3
复数与复平面内的向量有一一对应关系
我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发
讨论复数加法的几何意义吗？
O
Z
1
(a,b)
Z
2
(c,d)
Z
x
y
设
,
分别与复数
a+bi,c+di
对应
=
（
a,b
），
=(c,d)
+
=
（
a+c,b+d
）
=(a+c)+(b+d)i
复数的加法可以按照向量的加法来进行
x
o
y
Z
1
(a,b)
Z
2
(c,d)
Z(a+c,b+d)
z
1
+ z
2
=OZ
1
+OZ
2
= OZ
符合向量加法的平行四边形法则
.
3.
复数加法运算的几何意义
探究点
4
复数的减法
类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足
(c+di)+(x+yi)=a+bi
的复数
x+yi
叫做复数
a+bi
减去复数
c+di
的差，记作
(a+bi)-(c+di).
根据复数相等的定义，有
c+x=a, d+y=b,
因此
x=a-c, y=b-d,
所以
x+yi=(a-c)+(b-d)i ,
即
(a+bi)-(c+di) =(a-c)+(b-d)i.
4.
复数的减法
(a+bi)-(c+di) =(a-c)+(b-d)i
说明：
两个复数的差是一个确定的复数
.
x
o
y
Z
1
(a,b)
Z
2
(c,d)
复数
z
2
－
z
1
向量
Z
1
Z
2
符合向量减法的三角形法则
.
探究点
5.
复数减法运算的几何意义
|z
1
-z
2
|
表示什么
?
表示复平面上两点
Z
1
,Z
2
的距离
例
1
计算
(5-6i)+(-2-i)-(3+4i).
解：
(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)
=
（
5-2-3
）
+
（
-6-1-4
）
i
=-11i
例
2
计算
(1
－
3
i
)
+
(
2
+
5
i
)
+
(-
4
+9i
).
解：
原式
=
（
1+2-4
）
+
（
-3+5+9
）
i=-1+11i
例
3
A.
一条直线
B.
两条直线
C.
圆
D.
其他
C
3.|z
1
|= |z
2
|
平行四边形
OABC
是
.
4.| z
1
+ z
2
|
=
| z
1
- z
2
|
平行四边形
OABC
是
.
5. |z
1
|= |z
2
|
，
| z
1
+ z
2
|
=
| z
1
- z
2
|
平行四边形
OABC
是
.
菱形
矩形
正方形
(1)|z
－
(1+2i)|
(2)|z+(5+3i)|
6.
已知复数
z
对应点
A,
说明下列各式所表示的几何意义
.
点
A
到点
(1,2)
的距离
点
A
到点
(
－
5,
－
3)
的距离
(3)|z
－
1|
(4)|z+2i|
点
A
到点
(1,0)
的距离
点
A
到点
(0,
－
2)
的距离
7.
计算
（
1
）（
5+4
i
）
+
（
-3-2
i
）
（
2
）（
2-
i
）
-
（
2+3
i
）
+4
i
（
3
）
5-
（
3+2i
）
（
4
）
4i-
（
4i-4
）
答案：
(1)2 + 2i (2)0 (3)2 - 2i (4)4
8.
已知复数
m=2
－
3i,
若复数
z
满足等式
|z
－
m|=1,
则
z
所对应的点的集合是什么图形
?
解：
以点
(2,
－
3)
为圆心
,1
为半径的圆
.
1.
复数的加、减运算法则表明，若干个复数的代数和仍是一个复数，复数的和差运算可转化为复数的实部、虚部的和差运算
.
2.
在几何背景下求点或向量对应的复数，即求点或向量的坐标，有关复数模的问题，根据其几何意义，有时可转化为距离问题处理
.
3.
在实际应用中，既可以将复数的运算转化为向量运算，也可以将向量的运算转化为复数运算，二者对立统一
.
人类的幸福和欢乐在于奋斗，而最有价值的是为理想而奋斗
.
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