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- 2021-06-11 发布
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核心素养测评十一 函数模型及其应用
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.某股民购进某只股票,在接下来的交易时间内,他的这只股票先后经历了n次涨停(每次上涨10%),又经历了n次跌停(每次下降10%),则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为 ( )
A.略有盈利 B.略有亏损
C.不盈不亏 D.无法判断
【解析】选B.设这只股票的价格为a元,则经历n次涨停后的价格为a×1.1n,再经历n次跌停后的价格为a×1.1n×0.9n=0.99na7,代入B选项,得y=x2-1≈3,代入D选项,得y=x3>8;取x=3,代入A选项,得y=-1=15,代入B选项,得y=x2-1=8,代入D选项,得y=x3=27.
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4.某城市出租车起步价为10元,最远可租乘3 km(含3 km),以后每1 km增加1.6元(不足1 km按1 km计费),则出租车的费用y(元)与行驶的路程x(km)之间的函数图象大致为 ( )
【解析】选C.出租车起步价为10元(最远3 km的路程),即在(0,3]内对应y的值为10,以后每1 km增加1.6元(不足1 km按1 km计费);C项符合.
5.一水池有两个进水口,一个出水口,每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图丙所示.
给出以下3个论断:①0点到3点只进水不出水;②3点到4点不进水只出水;③4点到6点不进水不出水,则一定正确的是 ( )
A.① B.①② C.①③ D.①②③
【解析】选A.由甲、乙两图知,进水速度是出水速度的,所以0点到3点不出水,3点到4点可能一个进水口进水,一个出水口出水,但总蓄水量降低,4点到6点也可能两个进水口进水,一个出水口出水,一定正确的是①.
【变式备选】
(2020·三明模拟)用清水洗衣服,若每次能洗去污垢的,要使存留的污垢不超过1%,则至少要洗的次数是(参考数据lg 2≈0.301 0) ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【解析】选B. 设要洗x次,则≤,所以x≥≈3.322,因此至少洗4次.
二、填空题(每小题5分,共15分)
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6.某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总费用,即总运费与总存储费用之和最小,则x的值是________,最小值为________万元.
【解析】总费用为4x+×6=4≥4×2=240(万元),
当且仅当x=,即x=30时等号成立.最小值为240万元.
答案:30 240
7. (2020·泰州模拟)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为________m.
【解析】设矩形花园的与x相邻的另一边长为y m,则=,即y=40-x,矩形花园的面积S=x(40-x)=-x2+40x=-(x-20)2+400,当x=20 m时,面积最大.
答案:20
8.加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),如图记录了三次实验的数据.
根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为________分钟.
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【解析】由实验数据和函数模型知,二次函数p=at2+bt+c的图象过点(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5),分别代入解析式,得解得所以p=-0.2t2+1.5t-2=-0.2(t-3.75)2+0.812 5,所以当t=3.75时,可食用率p最大,即最佳加工时间为3.75分钟.
答案:3.75
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.某种出口产品的关税税率为t,市场价格x(单位:千元)与市场供应量p(单位:万件)之间近似满足关系式:p=,其中k,b均为常数.当关税税率t=75%时,若市场价格为5千元,则市场供应量约为1万件;若市场价格为7千元,则市场供应量约为2万件.
(1)试确定k,b的值.
(2)市场需求量q(单位:万件)与市场价格x近似满足关系式:q=2-x,当p=q时,市场价格称为市场平衡价格,当市场平衡价格不超过4千元时,试确定关税税率的最大值.
【解析】(1)由已知⇒
解得b=5,k=1.
(2)当p=q时,=2-x,
所以(1-t)(x-5)2=-x⇒t=1+=
1+.
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而f(x)=x+在(0,4]上单调递减,
所以当x=4时,f(x)有最小值,
故当x=4时,关税税率的最大值为500%.
10.某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元、0.5万元.
(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系.
(2)若该家庭有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎样分配资金能使投资获得最大收益,其最大收益是多少万元?
【解析】(1)设两类产品的收益与投资的函数关系分别为f(x)=k1x,g(x)=k2.
由已知得f(1)==k1,g(1)==k2,
所以f(x)=x(x≥0),g(x)=(x≥0).
(2)设投资股票类产品为x万元,则投资债券类产品为(20-x)万元.依题意得y=f(20-x)+g(x)=+=(0≤x≤20).
所以=2,即x=4时,收益最大,ymax=3万元.故投资债券类产品16万元,投资股票类产品4万元时获得最大收益,为3万元.
(15分钟 35分)
1.(5分)小明在如图1所示的跑道上匀速跑步,他从点A出发,沿箭头方向经过点B跑到点C,共用时30 s,他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程,设小明跑步的时间为t(s),他与教练间的距离为y(m),表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示,则这个固定位置可能是图1中的 ( )
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A.点M B.点N C.点P D.点Q
【解析】选D.A.假设这个位置在点M,则从A至B这段时间,y不随时间的变化改变,与函数图象不符,故本选项错误;
B.假设这个位置在点N,则从A至C这段时间,A点与C点对应y的大小应该相同,与函数图象不符,故本选项错误;
C.假设这个位置在点P,教练离小明的距离最后时间段会越来越近不会再由近至远,而点P不符合这个条件,故本选项错误;
D.经判断点Q符合函数图象,故本选项正确.
【变式备选】
已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶,甲、乙两车的速度曲线分别为v甲和v乙,如图所示,那么对于图中给定的t0和t1,下列判断中一定正确的是 ( )
A.在t1时刻,甲车在乙车前面
B.t1时刻后,甲车在乙车后面
C.在t0时刻,两车的位置相同
D.t0时刻后,乙车在甲车前面
【解析】选A.由图象可知,曲线v甲比v乙在0～t0,0～t1与t轴所围成的图形面积大,则在t0,t1时刻,甲车均在乙车前面.
2.(5分)(2019·南京模拟)近年来,“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便,某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资120万元,根据行业规定,每座城市至少要投资40万元,由前期市场调研可知:甲城市收益P(单位:万元)与投入a(单位:万元)满足P=3
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-6,乙城市收益Q(单位:万元)与投入A(单位:万元)满足Q=A+2,则投资两座城市收益的最大值为 ( )
A.26万元 B.44万元
C.48万元 D.72万元
【解析】选B.设在甲城市投资x万元,在乙城市投资(120-x)万元,所以总收益f(x)=3-6+(120-x)+2=-x+3+26,
由题意知
解得40≤x≤80.
令t=,则t∈[2,4],
所以y=-t2+3t+26=-(t-6)2+44,当t=6,即x=72时,y取得最大值44,所以当甲城市投资72万元,乙城市投资48万元时,总收益最大,且最大收益为44万元.
3.(5分)已知某工厂生产某种产品的月产量y(单位:万件)与月份x之间满足关系y=a·0.5x+b,现已知该产品1月、2月的产量分别为1万件、1.5万件,则该产品3月份的产量为________万件.
【解析】由已知得
解得
故当x=3时y=-2×0.53+2=1.75.
答案:1.75
4.(10分)某快递公司在某市的货物转运中心,拟引进智能机器人分拣系统,以提高分拣效率和降低物流成本,已知购买x台机器人的总成本p(x)=x2+x+150(万元).
(1)若使每台机器人的平均成本最低,问应买多少台?
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(2)现按(1)中的数量购买机器人,需要安排m人将邮件放在机器人上,机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣(如图),
经实验知,每台机器人的日平均分拣量q(m)=(单位:件),已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1 200件,问引进机器人后,日平均分拣量达到最大值时,用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几?
【解析】(1)由总成本p(x)=x2+x+150(万元),可得每台机器人的平均成本y===x++1
≥2+1=2.
当且仅当x=,即x=300时,上式等号成立.
所以若使每台机器人的平均成本最低,应买300台.
(2)引进机器人后,每台机器人的日平均分拣量
q(m)=
当1≤m≤30时,300台机器人的日平均分拣量为160m(60-m)=-160m2+9 600m,
所以当m=30时,
日平均分拣量有最大值144 000.
当m>30时,
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日平均分拣量为480×300=144 000.
所以300台机器人的日平均分拣量的最大值为144 000件.
若传统人工分拣144 000件,则需要人数为=120人.
所以日平均分拣量达到最大值时,用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少×100%=75%.
【变式备选】
某公司制订了一个激励销售人员的奖励方案:当销售利润不超过10万元时,按销售利润的15%进行奖励;当销售利润超过10万元时,若超出A万元,则额外奖励2log5(A+1)万元.记奖金为y(单位:万元),销售利润为x(单位:万元).
(1)写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数模型.
(2)如果业务员小李获得3.5万元的奖金,那么他的销售利润是多少万元?
【解析】(1)由题意得,该公司激励销售人员的奖励方案的函数模型为
y=
(2)由(1)知,当x∈[0,10]时,0≤0.15x≤1.5,
因为业务员小李获得3.5万元的奖金,
即y=3.5,所以x>10,
因此1.5+2log5(x-9)=3.5,解得x=14.
所以业务员小李的销售利润是14万元.
5.(10分)某公司为了实现年销售利润1 000万元的目标,准备制定一个激励销售人员的奖励方案:从销售利润达到10万元开始,按销售利润进行奖励,且奖金数额y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金数额不超过5万元,同时奖金数额不超过销售利润的25%.现有三个奖励模型:y=0.025x,y=1.003x,y=ln x+1,问其中是否有模型能完全符合公司的要求?请说明理由.
(参考数据:1.003538≈5,e=2.718 28…,e8≈2 981)
【解析】由题意,符合公司要求的模型需同时满足:当x∈[10,1 000]时,①函数为增函数;②函数的最大值不超过5;③y≤x·25%.
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(1)对于y=0.025x,易知满足①,但当x>200时,y>5,不满足公司的要求.
(2)对于y=1.003x,易知满足①,但当x>538时,y>5,不满足公司的要求.
(3)对于y=ln x+1,易知满足①.
当x∈[10,1 000]时,y≤ln 1 000+1.
下面证明ln 1 000+1≤5.
因为ln 1 000+1-5=ln 1 000-4
=(ln 1 000-8)=(ln 1 000-ln 2 981)<0,满足②.
再证明ln x+1≤x·25%,
即2ln x+4-x≤0.
设F(x)=2ln x+4-x,则F′(x)=-1=<0,x∈[10,1 000],
所以F(x)在[10,1 000]上为减函数,F(x)max=F(10)=2ln 10+4-10=2ln 10-6=2(ln 10-3)<0,满足③.
综上,奖励模型y=ln x+1能完全符合公司的要求.
1.某商店计划投入资金20万元经销甲或乙两种商品.已知经销甲、乙商品所获得的利润分别为P(万元)和Q(万元),且它们与投入资金x(万元)的关系是:P=,Q=(a>0).若不管资金如何投入,经销这两种商品或其中的一种商品所获得的纯利润总不少于5万元,则a的最小值应为 ( )
A. B.5 C. D.2
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【解析】选A.设投入x万元经销甲商品,则经销乙商品投入(20-x)万元,总利润y=P+Q=+·.令y≥5,则+·≥5对0≤x≤20恒成立.所以a≥10-,所以a≥对0≤x<20恒成立.令f(x)=,
因为f(x)=的最大值为,且x=20时,a≥10-也成立,所以amin=.
2.食品安全问题越来越引起人们的重视,农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害,为了给消费者带来放心的蔬菜,某农村合作社投入200万元,搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚,每个大棚至少要投入20万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜,根据以往的种菜经验,发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位:万元)满足P=80+4,Q=a+120,设甲大棚的投入为x(单元:万元),每年两个大棚的总收益为f(x)(单位:万元).
(1)求f(50)的值.
(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入,才能使总收益f(x)最大?
【解析】(1)由题意知甲大棚投入50万元,则乙大棚投入150万元,所以f(50)=80+4+×150+120=277.5(万元).
(2)f(x)=80+4+(200-x)+120=-x+4+250,依题意得⇒20≤x≤180,
故f(x)=-x+4+250(20≤x≤180).
令t=,则t∈[2,6],y=-t2+4t+250=-(t-8)2+282,当t=8,即x=128时,f(x)取得最大值,f(x)max=282.
所以甲大棚投入128万元,乙大棚投入72万元时,总收益最大.
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