2016-2017学年上海市金山中学高二5月学习水平检查数学试题 Word版 13页

‎2016-2017学年上海市金山中学高二5月学习水平检查数学试题 ‎ ‎（考试时间：120分钟 满分：150分）‎ 一、 填空题（1~6每小题4分，7~12每小题5分，共54分）‎ 1. 若复数(为虚数单位)，则= .‎ ‎2. 已知虚数是方程的一个根，则______.‎ ‎3. 已知直线，，则两平行线间的距离为_______．‎ ‎4. 棱长为的正方体中，点、分别是棱、的中点，则二面角的大小为______.（结果用反三角函数表示）‎ ‎5. 已知且，为虚数单位，则的最小值为______.‎ ‎6. 设满足约束条件 ，则目标函数的最大值为_______． ‎ ‎(第8题图）‎ ‎7. 在平面直角坐标系下，曲线（为参数），曲线（为参数），若曲线有公共点，则实数的取值范围是______.‎ ‎ 8. 已知正六棱柱的底面边长为2，侧棱长为3，其三视图中的 ‎ 俯视图如右图所示，则其左视图的面积是_______.‎ 9. 有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有2个空座位相邻的不同坐法有______种.‎ ‎10. 从棱长为1的正方体的8个顶点中任取3个点，则以这三点为顶点的三角形的面积等于 的概率是________．‎ ‎（12题图）‎ ‎11. 抛物线的焦点为F，点为该抛物线上的动点，若点，则的最小值为________．‎ ‎12. 在平面上，将两个半圆弧和 ‎、两条直线和围成的封 闭图形记为，如图所示．记绕轴旋转一周而成的几何体 为．过作的水平截面，所得截面面积为 ‎，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积值为 .‎ 二、 选择题（每小题5分，共20分）‎ ‎13. 给出下列命题，其中正确的命题为( )‎ A. 若直线和共面，直线和共面，则和共面；‎ B. 直线与平面不垂直，则与平面内的所有直线都不垂直；‎ C. 直线与平面不平行，则与平面内的所有直线都不平行；‎ D. 异面直线、不垂直，则过的任何平面与都不垂直.‎ ‎14. 下列命题中，错误的命题的个数是（ ）‎ ‎① 两个共轭复数的差是纯虚数；‎ ‎② 的充要条件为；‎ ‎③ 若Z，，则；‎ ‎④ 如果让实数与对应，那么实数集与纯虚数集一一对应.‎ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ‎15. 设，随机变量取值的概率均为，随机变量取值的概率也均为，若记分别为的方差，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. 的大小关系的取值有关 ‎（16题图）‎ 16. 如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，‎ 底面为正方形，侧面底面，为底 面内的一个动点，且满足，则点在正 方形内的轨迹为（ ）‎ ‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 一、 解答题（14分+14分+14分+16分+18分，共76分）‎ 17. 已知三点.‎ （1） 求经过三点的圆的标准方程；‎ （2） 若经过的直线与该圆相交于点两点，求的值.‎ A B C O D ‎（18题图）‎ ‎18. 长方体中，底面是正方形，，是上的一点.‎ （1） 求异面直线与所成的角；‎ ‎（18题图）‎ （2） 若平面，求三棱锥的体积.‎ ‎19. 已知双曲线经过点，两条渐近线的夹角为，直线交双曲线于、两点． ‎ ‎（1）求双曲线的方程；‎ ‎（2）若过双曲线的右焦点，是否存在轴上的点，使得直线绕点无论怎 ‎ 样转动，都有成立？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎20. 矩形中，，，、分别为、边上的点，且，，将△沿折起至△位置（如图所示），联结、，其中.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）在线段上是否存在点使得∥平面？若存在，求出点的位置，若不 存在，请说明理由；‎ ‎（3）求点到平面的距离.‎ ‎（20题图）‎ ‎ ‎ ‎21. （1）设椭圆与双曲线有相同的焦点、，是 椭圆与双曲线的公共点，且△的周长为6，求椭圆的方程；‎ ‎（2）我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”.‎ 如图，已知“盾圆”的方程为，设“盾圆”上的任 意一点到的距离为，到直线的距离为，求证：为定值；‎ ‎（3）由抛物线弧（）与第（1）小题椭圆弧 ‎（）所合成的封闭曲线为“盾圆”，设过点的直线与“盾圆”交于、‎ 两点，，，且（），试用表示，并求 的取值范围.‎ ‎（21（3）题图）‎ ‎（21（2）题图）‎ ‎ ‎ 金山中学高二年级数学学科学习水平检查 2017年5月 ‎ ‎（考试时间：120分钟 满分：150分）‎ 一、 填空题（1~6每小题4分，7~12每小题5分，共54分）‎ 1. 若复数(为虚数单位)，则= .‎ ‎2. 已知虚数是方程的一个根，则______.‎ ‎3. 已知直线，，则两平行线间的距离为_______．‎ ‎4. 棱长为1的正方体中，点、分别是棱、的中点，则二面角的大小为______.（结果用反三角函数表示）‎ ‎5. 已知且，为虚数单位，则的最小值为______.‎ ‎6. 设满足约束条件 ，则目标函数的最大值为_______． ‎ ‎7. 在平面直角坐标系下，曲线（为参数），曲线（为参数），若曲线有公共点，则实数的取值范围是______.‎ ‎ 8. 已知正六棱柱的底面边长为2，侧棱长为3，其三视图中的 ‎ 俯视图如右图所示，则其左视图的面积是_______.‎ ‎ ‎ 9. 有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有2个空座位相邻的不同坐法有______种.‎ ‎10. 从棱长为1的正方体的8个顶点中任取3个点，则以这三点为顶点的三角形的面积等于 的概率是________．‎ ‎11. 抛物线的焦点为F，点为该抛物线上的动点，若点，则的最小值为________．‎ ‎12. 在平面上，将两个半圆弧和、两条直线和围成的封闭图形记为，如图 所示．记绕轴旋转一周而成的几何体为．‎ 过作的水平截面，所得截面面积为 ‎，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱 和一个长方体，得出的体积值为 .‎ ‎ ‎ 一、 选择题（每小题5分，共20分）‎ ‎13. 给出下列命题，其中正确的命题为( D )‎ A. 若直线和共面，直线和共面，则和共面；‎ B. 直线与平面不垂直，则与平面内的所有直线都不垂直；‎ C. 直线与平面不平行，则与平面内的所有直线都不平行；‎ D. 异面直线、不垂直，则过的任何平面与都不垂直.‎ ‎14. 下列命题中，错误的命题的个数是（ C ）‎ ‎① 两个共轭复数的差是纯虚数；‎ ‎② 的充要条件为；‎ ‎③ 若Z，，则；‎ ‎④ 如果让实数与对应，那么实数集与纯虚数集一一对应.‎ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ‎15. 设，随机变量取值的概率均为 ‎，随机变量取值的概率也均为，若记分别为的方差，则（ B ）‎ A. B. ‎ C. D. 的大小关系的取值有关 16. 如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，‎ 底面为正方形，侧面底面，为底 面内的一个动点，且满足，则点在正 方形内的轨迹为（ A ）‎ ‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 一、 解答题（14分+14分+14分+16分+18分，共76分）‎ 17. 已知三点.‎ （1） 求经过三点的圆的标准方程；‎ （2） 若经过的直线与该圆相交于点两点，求的值.‎ 解：（1）由题意可知：圆心，，‎ ‎ ‎ ‎ 圆的方程为.‎ （2） 设的中点为.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 18. 长方体中，底面是正方形，，是上的一点.‎ ‎（1）求异面直线与所成的角；‎ ‎（2）若平面，求三棱锥的体积.‎ 解：（1）以原点，所在的直线分别为轴、‎ ‎ 轴、轴建立空间直角坐标系.‎ ‎ 由图可知，，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 异面直线与所成的角为.‎ ‎ （2）设，则 平面，‎ ‎，可得.‎ ‎.‎ ‎ ‎ ‎19. 已知双曲线经过点，两条渐近线的夹角为，直线交双曲线于、两点． ‎ ‎（1）求双曲线的方程；‎ ‎（2）若过双曲线的右焦点，是否存在轴上的点，使得直线绕点无论怎 ‎ 样转动，都有成立？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 解：（1）由题意得：‎ ‎ 解得：‎ ‎ 双曲线的方程为：.‎ （2） ‎① 当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，‎ ‎ 与双曲线联立得：.‎ ‎ ‎ ‎ 设，‎ ‎ ，‎ ‎ 假设存在实数，使得.则有恒成立.‎ ‎ ，解得.‎ ‎ ② 当直线斜率不存在时，由可知结论也成立.‎ ‎ 综上，存在点，使得.‎ ‎ ‎ ‎20. 矩形中，，，、分别为、边上的点，且，，将△沿折起至△位置（如图所示），联结、，其中.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）在线段上是否存在点使得∥平面？若存在，求出点的位置，若不 存在，请说明理由；‎ ‎（3）求点到平面的距离.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 解：（1）联结，根据翻折可知：.‎ ‎ 在中，,‎ ‎ .‎ ‎ 又.‎ ‎ 在中，,‎ ‎ .‎ ‎ 又平面,平面,‎ ‎ 平面.‎ ‎ （2）当为的三等分点（靠近）时，平面.‎ ‎ 证明如下：,‎ ‎ .‎ ‎ 又平面平面，‎ ‎ 平面.‎ （2） 由（1）可知，平面.‎ ‎ 为三棱锥的高.‎ ‎ 设点到平面的距离为，用等体积法得.‎ ‎ 即，‎ ‎ .‎ ‎ 即点到平面的距离为.‎ ‎ ‎ ‎21. （1）设椭圆与双曲线有相同的焦点、，是 椭圆与双曲线的公共点，且△的周长为6，求椭圆的方程；‎ ‎（2）我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”.‎ 如图，已知“盾圆”的方程为，设“盾圆”上的任 意一点到的距离为，到直线的距离为，求证：为定值；‎ ‎（3）由抛物线弧（）与第（1）小题椭圆弧 ‎（）所合成的封闭曲线为“盾圆”，设过点的直线与“盾圆”交于、‎ 两点，，，且（），试用表示，并求 的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 解：（1）由的周长为6，可知，即.‎ 椭圆与双曲线有相同的焦点，‎ 椭圆的方程为.‎ （2） 证明：设“盾圆”上的任意一点的坐标为，.‎ ‎① 当时，，‎ ‎，‎ 则；‎ ‎② 当时，，‎ ‎，‎ 则；‎ 为定值.‎ （3） 由盾圆的对称性，不妨设在轴上方（或轴上）.‎ ‎ ① 当时，在椭圆弧上，‎ ‎ 将代入，‎ 整理得：，‎ 或（舍去）.‎ ‎② 当时，在抛物线上，‎ ‎.‎ 综上，或.‎ 又 ‎① 当时，在抛物线上，在椭圆弧上，‎ ‎；‎ ‎② 当时，在椭圆弧上，在抛物线上，‎ ‎；‎ ‎③ 当时，均在椭圆弧上，‎ ‎；‎ 综上，的取值范围是.‎ ‎ ‎