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- 2021-06-11 发布
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课后限时集训44
平行关系
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一、选择题
1.若直线l不平行于平面α,且lα,则( )
A.α内的所有直线与l异面
B.α内不存在与l平行的直线
C.α与直线l至少有两个公共点
D.α内的直线与l都相交
B [∵lα,且l与α不平行,∴l∩α=P,故α内不存在与l平行的直线.故选B.]
2.如图所示的三棱柱ABCA1B1C1中,过A1B1的平面与平面ABC交于DE,则DE与AB的位置关系是( )
A.异面 B.平行
C.相交 D.以上均有可能
B [由面面平行的性质可得DE∥A1B1,又A1B1∥AB,
故DE∥AB.所以选B.]
3.已知m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,下列命题中正确的是( )
A.若m∥α,n∥α,则m∥n
B.若m∥α,m∥β,则α∥β
C.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β
D.若m⊥α,n⊥α,则m∥n
D [选项A中,两直线可能平行,相交或异面,故选项A错误;选项B中,两平面可能平行或相交,故选项B错误;选项C中,两平面可能平行或相交,故选项C错误;选项D中,由线面垂直的性质定理可知结论正确.故选D.]
4.如图,AB∥平面α∥平面β,过A,B的直线m,n分别交α,β于C,E和D,F,若AC=2,CE=3,BF=4,则BD的长为( )
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A. B.
C. D.
C [由AB∥α∥β,易证=,
即=,
所以BD===.]
5.若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形,则该三棱锥与平面α平行的棱有( )
A.0条 B.1条
C.2条 D.0条或2条
C [如图,设平面α截三棱锥所得的四边形EFGH是平行四边形,则EF∥GH,EF平面BCD,GH平面BCD,所以EF∥平面BCD,又EF平面ACD,平面ACD∩平面BCD=CD,则EF∥CD,EF平面EFGH,CD平面EFGH,则CD∥平面EFGH,同理AB∥平面EFGH,所以该三棱锥与平面α平行的棱有2条,故选C.]
二、填空题
6.设α,β,γ是三个不同的平面,m,n是两条不同的直线,在命题“α∩β=m,nγ,且________,则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组,使该命题为真命题.
①α∥γ,nβ;②m∥γ,n∥β;③n∥β,mγ.
可以填入的条件有________.
①和③ [由面面平行的性质定理可知,①正确;当n∥β,mγ时,n和m在同一平面内,且没有公共点,所以平行,③正确.]
7.如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上.若EF∥平面AB1C,则线段EF的长度等于________.
[在正方体ABCDA1B1C1D1中,AB=2,
∴AC=2.
又E为AD中点,EF∥平面AB1C,EF平面ADC,
平面ADC∩平面AB1C=AC,
∴EF∥AC,∴F为DC中点,∴EF=AC=.]
8.如图所示,在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,E,F,G,H分别是棱CC1,C1D1,D1D,DC的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M只需满足条件________时,就有MN∥平面B1BDD1
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.(注:请填上你认为正确的一个条件即可,不必考虑全部可能情况)
点M在线段FH上(或点M与点H重合) [连接HN,FH,FN,则FH∥DD1,HN∥BD,
∴平面FHN∥平面B1BDD1,只需M∈FH,
则MN平面FHN,∴MN∥平面B1BDD1.]
三、解答题
9.如图,ABCD是边长为3的正方形,DE⊥平面ABCD,AF⊥平面ABCD,DE=3AF=3.
证明:平面ABF∥平面DCE.
[证明] 法一:(应用面面平行的判定定理证明)因为DE⊥平面ABCD,AF⊥平面ABCD,
所以DE∥AF,因为AF平面DCE,DE平面DCE,所以AF∥平面DCE,
因为四边形ABCD是正方形,所以AB∥CD,因为AB平面DCE,所以AB∥平面DCE,
因为AB∩AF=A,AB平面ABF,AF平面ABF,所以平面ABF∥平面DCE.
法二:(利用两个平面内的两条相交直线分别平行证明):
因为DE⊥平面ABCD,AF⊥平面ABCD,
所以DE∥AF,
因为四边形ABCD为正方形,所以AB∥CD.
又AF∩AB=A,DE∩DC=D,
所以平面ABF∥平面DCE.
法三:(利用垂直于同一条直线的两个平面平行证明)因为DE⊥平面ABCD,
所以DE⊥AD,在正方形ABCD中,AD⊥DC,
又DE∩DC=D,
所以AD⊥平面DEC.
同理AD⊥平面ABF.
所以平面ABF∥平面DCE.
10.如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,P为平面ABC外一点,E、F分别是PA、PC的中点.记平面BEF与平面ABC的交线为l,试判断直线l与平面PAC的位置关系,并加以证明.
[解] 直线l∥平面PAC,证明如下:
因为E、F分别是PA、PC的中点,
所以EF∥AC.
又EF平面ABC,且AC平面ABC,
所以EF∥平面ABC.
7
而EF平面BEF,
且平面BEF∩平面ABC=l,
所以EF∥l.
因为l平面PAC,EF平面PAC,
所以l∥平面PAC.
1.下列四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,则能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( )
① ② ③ ④
A.①③ B.②③
C.①④ D.②④
C [对于图形①,易得平面MNP与AB所在的对角面平行,所以AB∥平面MNP;对于图形④,易得AB∥PN,又AB平面MNP,PN平面MNP,所以AB∥平面MNP;图形②③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行.故选C.]
2.(2019·安徽蚌埠模拟)如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,E,F分别为AA1,AB的中点,M点是正方形ABB1A1内的动点,若C1M∥平面CD1EF,则M点的轨迹长度为________.
[如图所示,取A1B1的中点H,B1B的中点G,连接GH,C1H,C1G,EG,HF,可得
四边形EGC1D1是平行四边形,所以C1G∥D1E.同理可得C1H∥CF.
因为C1H∩C1G=C1,所以平面C1GH∥平面CD1EF.
由M点是正方形ABB1A1内的动点可知,若C1M∥平面CD1EF,
则点M在线段GH上,所以M点的轨迹长度GH==.]
3.已知A、B、C、D四点不共面,且AB∥平面α,CD∥α,AC∩α=E,AD∩α=F,BD∩α=H,BC∩α=G,则四边形EFHG是________四边形.
平行 [∵AB∥α,平面ABD∩α=FH,平面ABC∩α=EG,
∴AB∥FH,AB∥EG,
∴FH∥EG,同理EF∥GH,
∴四边形EFHG是平行四边形.]
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4.如图所示,四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面,若截面为平行四边形.
(1)求证:AB∥平面EFGH,CD∥平面EFGH;
(2)若AB=4,CD=6,求四边形EFGH周长的取值范围.
[解] (1)证明:∵四边形EFGH为平行四边形,
∴EF∥HG.
∵HG平面ABD,EF平面ABD,
∴EF∥平面ABD.
又∵EF平面ABC,
平面ABD∩平面ABC=AB,
∴EF∥AB,又∵AB平面EFGH,
EF平面EFGH,
∴AB∥平面EFGH.
同理可证,CD∥平面EFGH.
(2)设EF=x(0<x<4),
∵EF∥AB,FG∥CD,
∴=,
则===1-.
∴FG=6-x.
∵四边形EFGH为平行四边形,
∴四边形EFGH的周长
l=2=12-x.
又∵0<x<4,
∴8<l<12,
即四边形EFGH周长的取值范围是(8,12).
1.如图所示,透明塑料制成的长方体容器ABCDA1B1C1D1内灌进一些水,固定容器底面一边BC于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下面四个命题:
①没有水的部分始终呈棱柱形;
②水面EFGH所在四边形的面积为定值;
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③棱A1D1始终与水面所在平面平行;
④当容器倾斜如图所示时,BE·BF是定值.
其中正确命题的个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
C [由题图,显然①正确,②错误;
对于③,∵A1D1∥BC,BC∥FG,
∴A1D1∥FG且A1D1平面EFGH,FG平面EFGH,
∴A1D1∥平面EFGH(水面).
∴③正确;
对于④,∵水是定量的(定体积V),
∴S△BEF·BC=V,即BE·BF·BC=V.
∴BE·BF=(定值),即④正确,故选C.]
2.如图,四棱锥PABCD中,AB∥CD,AB=2CD,E为PB的中点.
(1)求证:CE∥平面PAD.
(2)在线段AB上是否存在一点F,使得平面PAD∥平面CEF?若存在,证明你的结论,若不存在,请说明理由.
[解] (1)证明:取PA的中点H,连接EH,DH,
因为E为PB的中点,
所以EH∥AB,EH=AB,
又AB∥CD,CD=AB,
所以EH∥CD,EH=CD,
因此四边形DCEH为平行四边形,
所以CE∥DH,
又DH平面PAD,CE平面PAD,
因此CE∥平面PAD.
(2)存在点F为AB的中点,使平面PAD∥平面CEF,
证明如下:
取AB的中点F,连接CF,EF,
则AF=AB,
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因为CD=AB,
所以AF=CD,
又AF∥CD,所以四边形AFCD为平行四边形,
因此CF∥AD.
又AD平面PAD,CF平面PAD,
所以CF∥平面PAD,
由(1)可知CE∥平面PAD,
又CE∩CF=C,
故平面CEF∥平面PAD,
故存在AB的中点F满足要求.
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