- 422.00 KB
- 2021-06-11 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
2019年高考数学(文)高频考点名师揭秘与仿真测试
56 立体几何 空间点、线、面的位置关系
【考点讲解】
一、 具本目标:
1.理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解可以作为推理依据的公理和定理;
2.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理;
3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.
二、知识概述:
1.平面的基本性质
(1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内).
(2)公理2:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面(即可以确定一个平面).
(3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.
推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.
推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.
推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.
2. 空间两直线的位置关系
直线与直线的位置关系的分类
直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况.
平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.
平行公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行.
等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
3.异面直线所成的角
异面直线所成的角
①定义:设a,b是两条异面直线,经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的锐角或直角叫作异面直线a,b所成的角(或夹角).
②范围:.
4.异面直线的判定方法:
判定定理:平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线;
反证法:证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面,从而可得两线异面.
5.求异面直线所成的角常采用“平移线段法”,平移的方法一般有三种类型:利用图中已有的平行线平移;利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平移.计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行.
平移线段法是求异面直线所成角的常用方法,其基本思路是通过平移直线,把异面问题化归为共面问题来解决,具体步骤如下:
①平移:平移异面直线中的一条或两条,作出异面直线所成的角;
②认定:证明作出的角就是所求异面直线所成的角;
③计算:求该角的值,常利用解三角形;
④取舍:由异面直线所成的角的取值范围是,当所作的角为钝角时,应取它的补角作为两条异面直线所成的角.
求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围.
【温馨提示】平面的基本性质,点、直线、平面之间的位置关系是高考试题主要考查知识点,题型除了选择题或填空题外,往往在大题中结合平行关系、垂直关系或角的计算间接考查.
【真题分析】
1.【2016高考浙江文数】已知互相垂直的平面交于直线l.若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则( )
A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n
【解析】由题意知,.故选C.
【答案】C
2.【2017课标1,文6】如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直接AB与平面MNQ不平行的是( )
A. B.
C. D.
【解析】本题考点是线面平行的判断问题,由题意可知:第二个选项中∥,在直线∥平面,第三个选项同样可得∥,直线∥平面,第四个选项有∥,直线∥平面,只有选项A不符合要求
【答案】A
3.【2017课标3,文10】在正方体中,E为棱CD的中点,则( )
A. B. C. D.
【解析】根据三垂线逆定理,平面内的线垂直平面的斜线,那也垂直于斜线在平面内的射影,A.若
,那么,很显然不成立;B.若,那么,显然不成立;C.若,那么,成立,反过来时,也能推出,所以C成立,D.若,则,显然不成立,故选C.
【答案】C
4.【2018年全国卷II文】在正方体中,为棱的中点,则异面直线与所成角的正切值为( )
A. B. C. D.
【解析】利用正方体的性质可∥,将异面直线与所成角转化为共面直线与所成角的正切值,在中进行计算就可以了.
在正方体中有∥,所以异面直线与所成角为,设正方体的边长为,因为为棱的中点,所以有,,.
【答案】C
5.【2017课标II,理10】已知直三棱柱中,,,,则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【解析】将直三棱柱补成四棱柱,异面直线与所成的角为,由题意可知,,,因此
【答案】C
6.【2016高考浙江文数】如图,已知平面四边形ABCD,AB=BC=3,CD=1,AD=,∠ADC=90°.沿直线AC将△ACD翻折成△,直线AC与所成角的余弦的最大值是______.
【解析】设直线与所成角为.设是中点,由已知得,如图,以为轴,为轴,过与平面垂直的直线为轴,建立空间直角坐标系,由,,
,作于,翻折过程中,始终与垂直,,则,,因此可设,则,与平行的单位向量为,
所以=,所以时,取最大值.
【答案】
7.【2017天津,文17】如图,在四棱锥中,平面,,,,,,.
(I)求异面直线与所成角的余弦值;
(II)求证:平面;
(Ⅲ)求直线与平面所成角的正弦值.
【分析】
(Ⅰ)异面直线所成的角一般都转化为相交线所成的角,,所以即为所求,根据余弦定理求得,但本题可证明,所以;(Ⅱ)要证明线面垂直,根据判断定理,证明线与平面内的两条相交直线垂直,则线与面垂直,即证明;(Ⅲ)根据(Ⅱ)的结论,做,连结,即为所求.
【解析】(Ⅰ)解:如图,由已知AD//BC,故或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.因为AD⊥平面PDC,所以AD⊥PD.在Rt△PDA中,由已知,得,故.
所以,异面直线AP与BC所成角的余弦值为.
(Ⅱ)证明:因为AD⊥平面PDC,直线PD平面PDC,所以AD⊥PD.又因为BC//AD,所以PD⊥BC,又PD⊥PB,所以PD⊥平面PBC.
【模拟考场】
1.空间中,可以确定一个平面的条件是( )
A.两条直线 B.一点和一条直线 C.一个三角形 D.三个点
【解析】不共线的三点确定一个平面,C正确;A选项,只有这两条直线相交或平行才能确定一个平面;B选项,一条直线和直线外一点才能确定一个平面;D选项,不共线的三点确定一个平面.
【答案】C
2.在三棱锥A-BCD的棱AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点,如果EF∩HG=P,则点P( )
A.一定在直线BD上 B.一定在直线AC上
C.在直线AC或BD上 D.不在直线AC上,也不在直线BD上
【解析】如图所示,∵EF⊂平面ABC,HG⊂平面ACD,EF∩HG=P,
∴P∈平面ABC,P∈平面ACD.又∵平面ABC∩平面ACD=AC,∴P∈AC,
故选B.
【答案】B
3.已知平面α和直线l,则在平面α内至少有一条直线与直线l ( )
A.平行 B.垂直 C.相交 D.以上都有可能
【解析】本题的考点是直线与平面的位置关系,直线与直线的位置关系,若直线l与平面α相交,则在平面α内不存在直线与直线l平行,故A错误;若直线l∥平面α,则在平面α内不存在直线与l相交,故C错误;对于直线l与平面α相交,直线l与平面α平行,直线l在平面α内三种位置关系,在平面α内至少有一条直线与直线l垂直,故选B.
【答案】B
4.不在同一条直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等,且Aα,给出以下三个命题:①△ABC中至少
有一条边平行于α;②△ABC中至多有两边平行于α;③△ABC中只可能有一条边与α相交.其中真命题是_____________.
【解析】直线与平面的位置关系,平面与平面的位置关系,如图,三点A、B、C可能在α的同侧,也可能在α两侧,其中真命题是①.
【答案】①
5.如图,四棱锥中,,,和都是等边三角形,则异面直线和所成角的大小为( )
A. B. C. D.
【解析】设,则,过作交于,则,过作交于
,则即为为所求,如图所示,过作交于,连接,则四边形是梯
形,其中,,过作交于,则
,在中,则
,所以,故选A.
【答案】A
6.已知A是△BCD所在平面外的一点,E,F分别是BC,AD的中点,
(1)求证:直线EF与BD是异面直线;
(2)若AC⊥BD,AC=BD,求EF与BD所成的角.
【解析】本题考点反证法证明异面直线,异面直线所成的角.
(1)证明:假设EF与BD不是异面直线,则EF与BD共面,从而DF与BE共面,即AD与BC共面,所以A、B、C、D在同一平面内,这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾.故直线EF与BD是异面直线.
(2)取CD的中点G,连接EG、FG,则EG∥BD,所以直线EF与EG所成的角即为异面直线EF与BD所成的角.在Rt△EGF中,由EG=FG=AC,可得∠FEG=45°,即异面直线EF与BD所成的角为45°.
7.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,M,N分别是棱AA1,AB上的点,且AM=AN=1.
(1)证明:M,N,C,D1四点共面;
(2)平面MNCD1将此正方体分为两部分,求这两部分的体积之比.
【解析】本题考点是多点共面的证明,平面分几何体的体积之比.
(1)证明:连接A1B,
在四边形A1BCD1中,A1D1∥BC且A1D1=BC,所以四边形A1BCD1是平行四边形.所以A1B∥D1C.
在△ABA1中,AM=AN=1,AA1=AB=3,所以,
所以MN∥A1B,所以MN∥D1C.所以M,N,C,D1四点共面.
(2)记平面MNCD1将正方体分成两部分的下部分体积为V1,上部分体积为V2,连接D1A,D1N,DN
,则几何体D1-AMN,D1-ADN,D1-CDN均为三棱锥,
所以V1==S△AMN·D1A1+S△ADN·D1D+S△CDN·D1D
=××3+××3+××3=.
从而V2=-V1=27-=,所以,
所以平面MNCD1分此正方体的两部分体积的比为.