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- 2021-06-11 发布
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2019-2020学年度秋季南安一中高二年第一次阶段考
数学科试卷
(满分:150分 考试时间:120分钟)
一、单项选择题:(本大题共10小题,每小题4分,共40分,每小题只有一个选项是符合题目要求的)
1.若,则的大小关系为( )
A. B. C. D.
2.直线和,若,实数的值为( )
A.1或 B.或 C.2或 D.或
3.在数列中,若,,则( )
A. B. C. D.
4.若不等式对一切恒成立,则实数的最大值为( )
A.0 B.2 C.3 D.
5.已知点,直线与线段有交点,实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.观察下列一组数据
…
则从左到右第一个数是( )
A.91 B.89 C.55 D.45
7.关于的不等式的解集为空集,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知实数满足,那么的最小值为( )
A. B. C. D.
9.把直线绕原点逆时针转动,使它与圆相切,则直线转动的最小正角的角度( ).
A. B. C. D.
10.数列,的通项公式分别为,,由这两个数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列,数列的各项之和为( )
A. B. C. D.
二.多项选择题:(本大题共3小题,每小题4分,共12分,每小题至少有二个项是符合题目要求,作出的选择中,不选或含有错误选项的得0分,只选出部分正确选项的得2分,正确选项全部选出的得4分)
11.下列说法正确的是( )
A.直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2
B.过,两点的直线方程为
C. 点关于直线的对称点为
D.经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
12.是等差数列,是其前项的和,且,,下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
13.设有一组圆.下列四个命题正确的是( )
A.存在,使圆与轴相切 B.存在一条直线与所有的圆均相交
C.所有的圆均不经过原点 D.存在一条直线与所有的圆均不相交
三.填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在答题卡的相应位置)
14.等比数列的各项为正数,且,则_____.
15. 已知,,且.若恒成立,则的取值范围为________.
16.过P(1,2)的直线把圆分成两个弓形,当其中劣孤最短时直线的方程为_________.
17.已知M,N分别是曲线上的两个动点,P为直线上的一个动点,则的最小值为____________
四、解答题(本大题共6小题,共82.0分)
18. (本题满分13分)已知函数.
(I)解关于的不等式;
(II)若关于的不等式的解集为,求实数的值.
19.(本题满分13分)已知直线的方程为.
(I)求直线所过定点的坐标;(II)当时,求点关于直线的对称点的坐标;
(III)为使直线不过第四象限,求实数的取值范围.
20.(本题满分14分)已知数列满足.
(I)求数列的通项公式;
(II)若,为数列的前项和,求证:
21.(本题满分14分)在平面直角坐标中,圆与圆相交于两点.
(I)求线段的长.
(II)记圆与轴正半轴交于点,点在圆C上滑动,求面积最大时的直线的斜率.
22.(本题满分14分)已知等差数列与等比数列满足,,且.
(I)求数列,的通项公式;
(II)设,是否存在正整数,使恒成立?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
23.(本题满分14分)已知两个定点,动点满足.设动点的轨迹为曲线,直线.
(I)求曲线的轨迹方程;
(II)若与曲线交于不同的两点,且(为坐标原点),求直线的斜率;
(III)若, 是直线上的动点,过作曲线的两条切线,切点为,探究:直线是否过定点.若有,请求出定点。否则说明理由.
2019-2020学年度秋季南安一中高二年第一次阶段考
数学科参考答案
1-5.A C B D D 6-10.A C B A C
11.AC 12. ABC 13. ABC
14.10 15.
16. 17. 3
9.解析:由题意,设切线为,∴.
∴或.∴时转动最小.
∴最小正角为.故选A.
10.C由题意可得,等差数列的公差为,且,
等差数列的公差为,且,
易知数列为等差数列,且公差为数列和公差的最小公倍数,
由于和的最小公倍数为,所以,等差数列的公差为,
,由,即,解得,,
所以,等差数列共有项,该数列各项之和为本题选C
11.AC A中直线在坐标轴上的截距分别为2,,所以围成三角形的面积是2正确,C中在直线上,且连线的斜率为,所以C正确,B选项需要条件,故错误,D选项错误,还有一条截距都为0的直线.
12. ABC ,则,,则,则,,.,∴,
由知是中的最大值.从而ABC均正确.故选ABC.
13. ABC根据题意得圆的圆心为(1,k),半径为,
选项A,当k=,即k=1时,圆的方程为,圆与x轴相切,故正确;
选项B,直线x=1过圆的圆心(1,k),x=1与所有圆都相交,故正确;
选项C,将(0,0)带入圆方程,有1+k2=k4,不存在 k∈N*使上式成立,所有圆不过原点,正确.
选项D,圆k:圆心(1,k),半径为k2,圆k+1:圆心(1,k+1),半径为(k+1)2,
两圆的圆心距d=1,两圆的半径之差R﹣r=2k+1,(R﹣r>d),∁k含于Ck+1之中,
若k取无穷大,则可以认为所有直线都与圆相交,故错误;故选:ABC
15因为,
当且仅当,时,取等号,由题意得,解得或.
16. 当劣弧最短时,即劣弧所对的弦最短,
当点是弦的中点时,此时弦最短,也即劣弧最短,
圆:,圆心,, ,
直线方程是,即,
17 3 求出圆心关于的对称点为,则的最小值是.
解:圆的圆心,半径为 ,圆,圆心,半径为,圆心关于的对称点为,
解得故
18.解(I)不等式,可化为:. 1分
①当时,不等式的解集为; 3分
②当时,由,则不等式的解集为; 5分
③当时,由,则不等式的解集为; 7分
(II)不等可化为:. 8分
由不等式的解集为可知,
1和4是方程的两根 10分
故有,解得. 12分
由时方程为的根为1或4,则实数的值为1. 13分
19.解(I)直线的方程化简为,点满足方程,故直线所过定点的坐标为. 3分
(II)当时,直线的方程为,设点的坐标为, 4分
列方程组解得:,,
故点关于直线的对称点的坐标为, 9分
(III)把直线方程化简为,由直线不过第四象限,得,11分
解得,即的取值范围是. 13分
20. (I)解:∵,
∴(,), 2分
两式相减得:,∴. 5分
当时,,满足上式, 6分
∴. 7分
(II)证明:由(1)知,∴, 9分
∴, 11分
∴ 13分
. 14分
21. (I)由圆O与圆C方程相减可知,相交弦PQ的方程为. 2分
点(0,0)到直线PQ的距离, 4分
6分
(Ⅱ),. 7分
(也可以直接说明)
当时,取得最大值. 8分
此时,又则直线NC为. 10分
由,或 12分
当点时,, 13分
当点时,, 14分
22. (I)解:设等差数列与等比数列的公差与公比分别为,, 1分
则,解得, 3分
于是,,. 5分
(II)解:由,
即,① 6分
,② 7分
①②得:, 9分
从而得. 11分
令,得,显然、
所以数列是递减数列, 12分
于是,对于数列,当为奇数时,即,,,…为递减数列,
最大项为,最小项大于; 13分
当为偶数时,即,,,…为递增数列,最小项为,最大项大于零且小于,
那么数列的最小项为. 故存在正整数,使恒成立. 14分
23.(I)设点的坐标为 1分
由可得,, 3分
整理可得
所以曲线的轨迹方程为. 5分
(II)依题意,,且,则点到边的距离为 7分
即点到直线的距离,解得
所以直线的斜率为. 9分
(III)依题意,,则都在以为直径的圆上
是直线上的动点,设 10分
则圆的圆心为,且经过坐标原点
即圆的方程为 , 11
又因为在曲线上
由,可得 12
即直线的方程为
由且可得,解得
所以直线是过定点. 14分