2020届二轮复习坐标系与参数方程课时作业（全国通用） 15页

‎ 第四十七讲 坐标系与参数方程 ‎ ‎ A组 一、选择题 1. 已知圆C的参数方程为(α为参数)，当圆心C到直线 的距离最大时，k的值为(　　)‎ A. ‎ B. C． D．‎ ‎[解析]　⊙O的直角坐标方程为，∴圆心，又直线过定点，故当CA与直线垂直时，圆心C到直线距离最大，‎ ‎2.极坐标方程和参数方程(t为参数)所表示的图形分别是(　　)‎ A．直线、直线　　　 　　B．直线、圆 C．圆、圆 D．圆、直线 ‎[解析]　由得，此方程所表示的图形是圆．‎ 消去方程中的参数t可得，此方程所表示的图形是直线．‎ ‎3.下列参数方程(t为参数)中，与方程表示同一曲线的是(　　)‎ A B.C. D.‎ ‎[解析]　将代入得，，故A错，将代入中得，，，故B正确，C、D容易判断都是错的．‎ ‎4.直线(t为参数)被圆(α为参数)截得的弦长为(　　)‎ A． B. C． D．2‎ ‎[解析]　将直线化为普通方程得将圆化为普通方程得 圆心O到直线的距离所以弦长 二、填空题 ‎5.极坐标方程分别为和的两个圆的圆心距为．‎ 解析 同理：‎ ‎6.在极坐标系中，圆上的点到直线的距离的最小值是1 .‎ 解析： 圆可化为，直线化为，圆心到直线的距离，最短距离为 三、解答题 ‎7.⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为，．‎ ‎(I)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎(II)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．‎ 解： (I)，，由得．所以．‎ 即为⊙O1的直角坐标方程．同理为⊙O2的直角坐标方程 ‎(II)解:由,两式相减得,即过交点的直线的直角坐标方程为．‎ ‎8.以直角坐标系的原点为极点，轴非负半轴为极轴，在两种坐标系中取相同单位的长度. 已知直线的方程为，曲线的参数方程为 ‎，点是曲线上的一动点.‎ ‎（Ⅰ）求线段的中点的轨迹方程； (Ⅱ) 求曲线上的点到直线的距离的最小值.‎ ‎[解析]（Ⅰ）设中点的坐标为，依据中点公式有（为参数），‎ 这是点轨迹的参数方程，消参得点的直角坐标方程为. ‎ ‎（Ⅱ）直线的普通方程为，曲线的普通方程为，‎ 表示以为圆心，以2为半径的圆，故所求最小值为圆心到直线 的距离减去半径，设所求最小距离为d，则.因此曲线上的点到直线的距离的最小值为. ‎ 9. 在极坐标系下，已知圆和直线。‎ (1) 求圆和直线的直角坐标方程；‎ (2) 当时，求直线于圆公共点的极坐标。‎ 解：（1）圆，即 圆的直角坐标方程为：，即 直线，即则直线的直角坐标方程为：，即。‎ （2） 由得 故直线与圆公共点的一个极坐标为。‎ ‎10.在直角坐标系中。直线:，圆：,以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。‎ （I） 求，的极坐标方程；‎ （II） 若直线的极坐标方程为，设与的交点为, ,求的面积 解：（Ⅰ）因为，所以的极坐标方程为，的极坐标方程为 ‎（Ⅱ）将代入，得，解得，故，即 由于的半径为1，所以的面积为 ‎11.在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t ≠ 0），其中0 ≤ α < π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：，C3：。‎ ‎（1）求C2与C3交点的直角坐标；‎ ‎（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求的最大值。‎ 解：（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为.‎ 联立 解得 或 所以与交点的直角坐标为和 ‎（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，其中 因此的极坐标为，的极坐标为 所以 当时，取得最大值，最大值为4‎ ‎12．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为.‎ ‎（1）若a=-1，求C与l的交点坐标；‎ ‎（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求a.‎ ‎【解析】（1）曲线的普通方程为.‎ 当时，直线的普通方程为.‎ 由解得或.‎ 从而与的交点坐标为，.‎ ‎（2）直线的普通方程为，故上的点到的距离为 ‎.‎ 当时，的最大值为.由题设得，所以；‎ 当时，的最大值为.由题设得，所以.‎ 综上，或.‎ ‎ B组 一、选择题 ‎1.在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎[解析]　由得：，即，‎ ‎∴圆心直角坐标为，极坐标为，选B.‎ ‎2.极坐标方程和参数方程(t为参数)所表示的图形分别是(　　)‎ A．圆、直线 B．直线、圆 C． 圆、圆 D．直线、直线 ‎[解析]　将题中两个方程分别化为直角坐标方程为,它们分别表示圆和直线．‎ ‎3.极坐标方程为表示的图形是(　　)‎ A．两个圆 B．两条直线 C．一个圆和一条射线 D．一条直线和一条射线 ‎[解析]　由得或者，又，故该方程表示的图形是一个圆和一条射线．‎ ‎4..曲线与曲线(关于直线l对称，则l的方程为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎[解析]　圆的圆心 圆，的圆心 ‎∵⊙O与⊙C关于直线l对称，∴l为线段OC的中垂线，‎ ‎∵kOC＝－1，∴kl＝1，‎ ‎∴l方程为：，即.‎ 二、填空题 ‎5.曲线与直线有两个公共点，‎ 则实数的取值范围是 解析：由参数方程得标准方程为 ‎6.已知两曲线参数方程分别为和 ‎，它们的交点坐标为 .‎ 三、解答题 ‎7.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 ‎（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设为曲线上的动点，求点到上点的距离的最小值，并求此时点的坐标.‎ ‎[解析]（1）由曲线：  得两式两边平方相加得：即曲线的普通方程为：      由曲线：得：所以 即曲线的直角坐标方程为: ‎ ‎(2) 由（1）知椭圆与直线无公共点，椭圆上的点到直线的距离为       ‎ 所以当时，的最小值为，此时点的坐标为 ‎8.、已知曲线的极坐标方程是，设直线的参数方程是（为参数）．‎ ‎ （Ⅰ）将曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程；‎ ‎ （Ⅱ）设直线与轴的交点是，曲线上一动点，求的最大值.‎ 解：（1）曲线的极坐标方程可化为： ‎ 又 .‎ 所以，曲线的直角坐标方程为：‎ ‎.‎ ‎ （2）将直线的参数方程化为直角坐标方程得：‎ ‎ 令 得 即点的坐标为 ‎ 又曲线为圆，圆的圆心坐标为，半径，‎ 则 ‎ ∴‎ 9. 在平面直角坐标系xOy中，已知M是椭圆上在第一象限的点，‎ 是椭圆两个顶点，求四边形OAMB的面积的最大值．‎ 解：设，．由题知 ‎ ‎∴四边形OAMB面积 所以当时，四边形OAMB的面积的最大值为 ‎ ‎10.在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程是（为参数）；以 为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）写出直线的普通方程与圆的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）由直线上的点向圆引切线，求切线长的最小值.‎ ‎【解析】: （Ⅰ） ,曲线C: ‎ ‎（Ⅱ）因为圆极坐标方程，所以，‎ 所以圆的直角坐标方程为，‎ 圆心为,半径为1,‎ 因为直线的参数方程为（为参数），所以直线上的点向圆C 引切线长是 所以直线上的点向圆C引的切线长的最小值是． ‎ ‎11.在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，直线 的参数方程为(为参数)，为直线与曲线的公共点，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（I）求点的极坐标；‎ ‎（II）将曲线上所有点的纵坐标伸长为原来的倍(横坐标不变)后得到曲线，过点作直线，若直线被曲线截得的线段长为，求直线的极坐标方程.‎ 解：（I）的普通方程为。将代入上式整理得，解得 故点的坐标为，其极坐标为. ‎ ‎（II）坐标变换式为故的方程为，即 当直线的斜率存在时,设其方程为，即，‎ 由圆心到直线距离得，，∴直线为，‎ 当直线的斜率不存在时，其方程为，显然成立.‎ 故直线的极坐标方程为或. ‎ ‎ ‎ ‎ C组 一、选择题 ‎1.方程表示的曲线是（ ）‎ A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆 解析：注意到t与互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含的项，即有，又注意到 ，可见与以上参数方程等价的普通方程为.显然它表示焦点在轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B ‎2.下列在曲线上的点是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 解析： 转化为普通方程：，当时，‎ ‎3.极坐标方程表示的曲线是（ ）‎ ‎ A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线的一支 D. 抛物线 分析：这类问题需要将极坐标方程转化为普通方程进行判断.‎ 解析：由，化为直角坐标系方程为，化简得.显然该方程表示抛物线，故选D.‎ ‎4.直线被圆截得的弦长为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 解析： ，把直线代入 得 ‎，弦长为 二、填空题 ‎5.若直线(t为参数)被曲线(θ 为参数)所截，则截得的弦的长度是________．‎ ‎[解析]　直线化为；‎ 圆化为圆心C(1,1)到直线距离半径r＝3，‎ ‎∴弦长为 ‎6.在极坐标系中，过圆的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为________．‎ ‎[答案]　‎ ‎[解析]　解法一：圆的圆心极坐标(3,0)，‎ ‎∴直线l方程为 解法二：由得，圆心C(3,0)，‎ ‎∴过圆心垂直于极轴(即x轴)的直线方程为，其极坐标方程为 三、解答题 ‎7.已知直线的参数方程为：，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的参数方程；（Ⅱ）当时，求直线与曲线交点的极坐标.‎ ‎[解析] （Ⅰ）由，可得 所以曲线的直角坐标方程为，标准方程为，‎ 曲线的极坐标方程化为参数方程为 ‎（Ⅱ）当时，直线的方程为，化成普通方程为，‎ 由，解得或，所以直线与曲线交点的极坐标分别为，；, .‎ 8. 已知在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 ‎ ‎（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的取值范围.‎ ‎[解析]（Ⅰ）直线的普通方程为，C直角坐标方程为.（Ⅱ）设点，则，‎ 所以的取值范围是. ‎ ‎9.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数）（Ⅰ）将的方程化为普通方程；（Ⅱ）以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 设曲线的极坐标方程是， 求曲线与交点的极坐标.‎ ‎[解析]（Ⅰ）依题意，的普通方程为，（Ⅱ）由题意，的普通方程为，代入圆的普通方程后得，解得，，点、的直角坐标为，，从而，.    ‎ 10. 已知曲线 (t为参数) ， (为参数)‎ ‎（Ⅰ）化，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线;‎ ‎（Ⅱ）过曲线的左顶点且倾斜角为的直线交曲绒于A，B两点，求.‎ ‎[解析] ‎ 解（Ⅰ）曲线为圆心是，半径是1的圆.‎ 曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆. ‎ ‎（Ⅱ）曲线的左顶点为，则直线的参数方程为（为参数）‎ 将其代入曲线整理可得：，设对应参数分别为，‎ 则所以.          ‎ ‎11.在极坐标系中，已知圆C的圆心，半径r=． （ I）求圆C的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若，直线的参数方程为（t为参数），直线交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围．‎ 解：（Ⅰ）直角坐标，所以圆的直角坐标方程为 由得，圆C的直角坐标方程为 ‎（Ⅱ）将，代入的直角坐标方程，‎ 得 ，则 ，设Ａ，Ｂ对应参数分别为，，则 ‎，， ‎ 因为，所以所以，所以的取值范围为 ‎