2018-2019学年辽宁省沈阳市郊联体高二上学期期末数学（文）试题（解析版） 15页

‎2018-2019学年辽宁省沈阳市郊联体高二上学期期末数学（文）试题 一、单选题 ‎1．复数（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：，故选A.‎ ‎【考点】复数运算 ‎【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化.‎ ‎2．命题的否命题为 A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：全称命题的否定是特称命题，将改为，并将结论加以否定，因此原命题的否定为 ‎【考点】全称命题与特称命题 ‎3．设，均为非零的平面向量，则“存在负数，使得”是“”的 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】根据充分条件、必要条件的定义进行分析、判断后可得结论．‎ ‎【详解】‎ 因为，均为非零的平面向量，存在负数，使得，‎ 所以向量，共线且方向相反，‎ 所以，即充分性成立；‎ 反之，当向量，的夹角为钝角时，满足，但此时，不共线且反向，所以必要性不成立．‎ 所以“存在负数，使得”是“”的充分不必要条件．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件p，定义法是判断充分条件、必要条件的基本的方法，解题时注意选择恰当的方法判断命题是否正确．‎ ‎4．若椭圆1与双曲线1有共同的焦点，且a＞0，则a为（　　）‎ A．2 B． C． D．6‎ ‎【答案】A ‎【解析】由椭圆标准方程中与双曲线标准方程中即可求解.‎ ‎【详解】‎ 椭圆与双曲线有相同的焦点，‎ 则，解得，‎ 又，所以.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆与双曲线标准方程中之间的关系，需熟记椭圆中，双曲线中，属于基础题 ‎5．设M为椭圆上的一个点， ,为焦点, ，则的周长和面积分别为 （ ）‎ A．16， B．18， C．16， D．18， ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：，，所以的周长为 ‎,根据余弦定理：,‎ 即,所以，故选D.‎ ‎【考点】椭圆的几何性质 ‎6．已知2，3，4，…，若a（a，t均为正实数），类比以上等式，可推测a，t的值，则t﹣a＝（　　）‎ A．41 B．51 C．55 D．71‎ ‎【答案】A ‎【解析】观察所给的等式，得出规律，写出结果即可.‎ ‎【详解】‎ 观察下列等式2，3，4，…，‎ 照此规律，第个等式中：‎ ‎， ‎ ‎ ‎ ‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查类比推理，解题的关键是观察出前几项的规律，属于基础题.‎ ‎7． 直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为 (　　)‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：不妨设直线，即椭圆中心到的距离 ‎，故选B.‎ ‎【考点】1、直线与椭圆；2、椭圆的几何性质.‎ ‎【方法点晴】本题考查直线与椭圆、椭圆的几何性质，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 不妨设直线，即椭圆中心到的距离，利用方程思想和数形结合思想建立方程是本题的关键节点.‎ ‎8．设为抛物线的焦点，曲线与交于点，轴，则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由抛物线的性质可得，故选D.‎ ‎【考点】1、直线与抛物线；2、抛物线的几何性质；3、反比例函数.‎ ‎9．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的，，依次输入的为2，2，5，则输出的（ ）‎ A．7 B．12 C．17 D．34‎ ‎【答案】C ‎【解析】第一次循环： ；第二次循环： ；第三次循环： ；结束循环，输出 ，选C.‎ 点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.‎ ‎10．双曲线的离心率大于的充分必要条件是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】由双曲线的方程可知，，解不等式，得.‎ ‎【考点定位】本小题考查了双曲线的方程，考查了离心率的概念和计算.‎ ‎11．某学校运动会的立定跳远和秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．‎ 学生序号 立定跳远（单位：米）‎ ‎30秒跳绳（单位：次）‎ 在这名学生中，进入立定跳远决赛的有人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则 A．号学生进入秒跳绳决赛 B．号学生进入秒跳绳决赛 C．号学生进入秒跳绳决赛 D．号学生进入秒跳绳决赛 ‎【答案】B ‎【解析】由题意得1-8有6人进入30秒跳绳决赛30秒跳绳决赛，所以当时,1,3,4,5,6,7号6人进入30秒跳绳决赛30秒跳绳决赛，1去掉A,C; ‎ 同理9号学生不一定进入30秒跳绳决赛，所以选B. ‎ ‎12．已知点A，抛物线C：的焦点F。射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【考点】本题主要考查抛物线的概念、标准方程、直线与抛物线相交的基础知识，考查几何能力.‎ 二、填空题 ‎13．点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】【详解】‎ 概率为 ‎14．若直线ax+y+b﹣1＝0（a＞0，b＞0）过抛物线y2＝4x的焦点F，则的最小值是_____．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】由抛物线，可得焦点，代入直线方程可得 ‎ ‎，再利用“乘法”与基本不等式即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由抛物线，可得焦点，‎ 代入直线方程可得： ‎ 又 ‎ ‎ ‎ 当且仅当时取等号. ‎ 的最小值为 ‎ ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抛物线的性质以及基本不等式求最值，需掌握抛物线的性质，属于基础题.‎ ‎15．设F1、F2分别是双曲线x21的左、右焦点．若点P在双曲线上，且•0，则||＝________________‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】由点P在双曲线上，且•0可知||＝2||＝||．由此可以求出||的值．‎ ‎【详解】‎ 解：根据题意，F1、F2分别是双曲线x21的左、右焦点．‎ ‎∵点P在双曲线上，且•0，‎ ‎∴||＝2||＝||＝2．‎ ‎【点睛】‎ 把||转化为|||是正确解题的关键步骤．‎ ‎16．给出下列三种说法：‎ ‎①命题p：∃x0∈R，tan x0＝1，命题q：∀x∈R，x2－x＋1>0，则命题“p∧()”是假命题．‎ ‎②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是＝－3.‎ ‎③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”．‎ 其中所有正确说法的序号为________________．‎ ‎【答案】①③‎ ‎【解析】试题分析：①若命题p：存在x∈R，使得tanx=1；命题q：对任意x∈R，x2-x+1＞0，则命题“p且¬q”为假命题，此结论正确，对两个命题进行研究发现两个命题都是真命题，故可得“p且¬q”为假命题.‎ ‎②已知直线l1：ax+3y-1=0，l2：x+by+1=0.则l1⊥l2的充要条件为＝−3，若两直线垂直时，两直线斜率存在时，斜率乘积为＝−3，当a=0，b=0时，此时两直线垂直，但不满足＝−3，故本命题不对.‎ ‎③命题“若x2-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1则x2-3x+2≠0”，由四种命题的书写规则知，此命题正确；‎ ‎【考点】复合命题的真假；四种命题 三、解答题 ‎17．（本小题满分12分）‎ 某位同学进行寒假社会实践活动，为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究，他分别记录了1月11日至1月15日的白天平均气温（°C）与该奶茶店的这种饮料销量（杯），得到如下数据：‎ 日 期 ‎ ‎1月11日 ‎ ‎1月12日 ‎ ‎1月13日 ‎ ‎1月14日 ‎ ‎1月15日 ‎ 平均气温（°C） ‎ ‎9 ‎ ‎10 ‎ ‎12 ‎ ‎11 ‎ ‎8 ‎ 销量（杯） ‎ ‎23 ‎ ‎25 ‎ ‎30 ‎ ‎26 ‎ ‎21 ‎ ‎（1）若从这五组数据中随机抽出2组，求抽出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；‎ ‎（2）请根据所给五组数据，求出y关于x的线性回归方程．‎ ‎（参考公式：．）‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）利用列举法写出抽出2组数据的所有基本事件，并从中找出2组数据恰好是相邻2天数据的基本事件，利用古典概型公式求出概率；（2）先求出和，再利用参考公式算出和，代入即可得线性回归方程．‎ 试题解析：（1）解：设“选取的2组数据恰好是相邻2天数据”为事件. 1分 所有基本事件（m，n）（其中m，n为1月份的日期数）有：（11,12），（11,13），（11,14），‎ ‎（11,15），（12,13），（12,14），（12,15），（13,14），（13,15），（14,15）共10种． 3分 事件包括的基本事件有（11,12），（12,13），（13,14），（14,15）共4种． 5分 ‎∴． 6分 ‎（2）解：由数据，求得，． 8分 ‎， 10分 ‎∴ y关于x的线性回归方程为． 12分 ‎【考点】1、古典概型；2、回归直线方程．‎ ‎18．已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆；命题：方程表示离心率的双曲线。若为真命题，为假命题，求实数的取值范围。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】命题为真命题,, 命题为真命题,, 若为真命题，为假命题，则和有且只有1个为真命题,则分情况讨论即可.‎ ‎【详解】‎ 若命题为真命题，则：，解得：‎ 若命题为真命题，则：，解得：‎ 若为真命题，为假命题，则和有且只有1个为真命题。‎ 若为真命题，为假命题，则：，无解.‎ 若为假命题，为真命题，则：，解得：.‎ 综上所述，实数的取值范围为 ‎【点睛】‎ ‎(1)由简单命题和逻辑连接词构成的复合命题的真假可以用真值表来判断，反之根据复合命题的真假也可以判断简单命题的真假．假若p且q真，则p 真，q也真；若p或q真，则p，q至少有一个真；若p且q假，则p，q至少有一个假．（2）可把“p或q”为真命题转化为并集的运算；把“p且q”为真命题转化为交集的运算．‎ ‎19．某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本称出它们的质量（单位：克），质量值落在（495，510]的产品为合格品，否则为不合格品．表是甲流水线样本频数分布表，图是乙流水线样本频率分布直方图．‎ 表甲流水线样本频数分布表 产品质量/克 频数 ‎（490，495]‎ ‎6‎ ‎（495，500]‎ ‎8‎ ‎（500，505]‎ ‎14‎ ‎（505，510]‎ ‎8‎ ‎（510，515]‎ ‎4‎ ‎（1）若以频率作为概率，试估计从两条流水线分别任取1件产品，该产品恰好是合格品的概率分别是多少；‎ ‎（2）由以上统计数据作出2×2列联表，并回答能否有95%的把握认为“产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关”‎ χ2‎ 甲流水线 乙流水线 总计 合格品 不合格品 总计 ‎【答案】(1) 0.75 ；0.9 (2) 不能有95％的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关．‎ ‎【解析】（1）由表和频率分布直方图计算出合格品数，根据频率合格数样本总数即可求解. ‎ ‎（2）根据列联表以及χ2即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由表1知甲样本合格品数为8＋14＋8＝30，由图1知乙样本中合格品数为(0.06＋0.09＋0.03)×5×40＝36，故甲样本合格品的频率为＝0.75，乙样本合格品的频率为＝0.9，‎ 据此可估计从甲流水线任取1件产品，该产品恰好是合格品的概率为0.75.‎ 从乙流水线任取1件产品，该产品恰好是合格品的概率为0.9 ‎ ‎(2)2×2列联表如下：‎ 甲流水线 乙流水线 总计 合格品 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎66‎ 不合格品 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎14‎ 总计 ‎40‎ ‎40‎ ‎80‎ ‎…‎ χ2＝≈3.117>2.706，‎ 所以不能有95％的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查频率分布直方图、频率求法以及列联表，考查概率的基本知识，属于基础题.‎ ‎20．已知椭圆的两个焦点分别为,离心率.‎ ‎（1）求椭圆的方程.‎ ‎（2）一条不与坐标轴平行的直线与椭圆交于不同的两点，且线段的中点的横坐标为，求直线的斜率的取值范围.‎ ‎【答案】(1)设椭圆方程为，由已知，‎ ‎ 椭圆方程为。——————5分 ‎（2）设方程为，联立得————————7分 ‎————————9分 由（3）的代入（2）的 或 ‎【解析】略 ‎21．已知椭圆C1：x2＝1（a＞1）与抛物线C2：x2＝4y有相同焦点F1．‎ ‎（1）求椭圆C1的标准方程；‎ ‎（2）已知直线l1过椭圆C1的另一焦点F2，且与抛物线C2相切于第一象限的点A，设平行l1的直线l交椭圆C1于B，C两点，当△OBC面积最大时，求直线l的方程．‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】（1）求出抛物线的焦点，再由椭圆中即可求解. ‎ ‎（2）设出直线方程，与抛物线联立，求出直线的方程，再由直线平行设出直线的方程，与椭圆联立，由韦达定理求弦长，根据三角形的面积公式配方即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由于抛物线的焦点为，得到c=1,又到．‎ 椭圆的标准方程为 ‎（2）设的方程为y=kx-1，由题可知，k>0.联立 得 所以得,k=1‎ 切线方程 由设直线的方程为，联立方程组 由，消y整理得 设，应用韦达定理 可得 ‎ 由点O到直线l的距离为则 当，面积最大.‎ 所以 所以直线l的方程为：y=x ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆与抛物线的性质、直线与抛物线、椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题.‎ ‎22．（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程 已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ。‎ ‎（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）‎ ‎【答案】（1）因为，消去参数，得，即，‎ 故极坐标方程为；‎ ‎（2）的普通方程为，联立、的方程，解得或，所以交点的极坐标为.‎ ‎【解析】试题分析：（1） 先根据同角三角函数关系cos2t＋sin2t=1消参数得普通方程：（x－4）2＋（y－5）2＝25 ，再根据将普通方程化为极坐标方程：（2）将代入得得，也可利用直角坐标方程求交点，再转化为极坐标 试题解析： （1）∵C1的参数方程为 ‎∴（x－4）2＋（y－5）2＝25（cos2t＋sin2t）＝25，‎ 即C1的直角坐标方程为（x－4）2＋（y－5）2＝25，‎ 把代入（x－4）2＋（y－5）2＝25，‎ 化简得：.‎ ‎（2）C2的直角坐标方程为x2＋y2＝2y，C1的直角坐标方程为（x－4）2＋（y－5）2＝25，‎ ‎∴C1与C2交点的直角坐标为（1，1），（0，2）.‎ ‎∴C1与C2交点的极坐标为.‎ ‎【考点】参数方程化普通方程，直角坐标方程化极坐标方程