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- 2021-06-11 发布
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专题06 函数的奇偶性与周期性
1.设函数,,“是偶函数”是“的图象关于原点对称”( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
“y=f(x)的图象关于原点对称”,x∈R,可得y=|f(x)|是偶函数.
反之不成立,例如f(x)=x2,满足y=|f(x)|是偶函数,x∈R.
因此,“y=|f(x)|是偶函数”是“y=f(x)的图象关于原点对称”的必要不充分条件.
故选:B.
2.“”是“函数为奇函数”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
3.已知是定义在上的奇函数,满足,若,则( )
A.-1 B.0 C.1 D.3
【答案】B
4.设,且,则下列结论必成立的是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
f(x)=f(﹣x),故f(x)是偶函数,
而当时,=cosx•e1+sinx﹣cosx•e1﹣sinx=cosx•(e1+sinx﹣e1﹣sinx)>0,
即f(x)在是单调递增的.
由f(x1)>f(x2),可得f(|x1|)>f(|x2|),
即有|x1|>|x2|,即,
故选:D.
8.已知定义在R上的奇函数满足,则( )
A.1 B. C.2 D.
【答案】B
9.若对,,有,函数,则的值
A.0 B.4 C.6 D. 9
【答案】C
10.已知是定义在上的函数,和分别为奇函数和偶函数,当时,,若函数在上有四个零点,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
由于是奇函数,与函数的图像关于点对称.由于是偶函数,故函数的图像关于对称.结合函数在的解析式和图像,画出函数在上的图像如下图所示.由图可知,要使有四个解,,故选C.
11.已知函数,且,则__________.
【答案】1
12.已知数列的首项,函数为奇函数,记为数列的前项和,则的值为_____________.
【答案】
【解析】
是奇函数,,,,
,,如此继续,得, .
13.设函数,则使成立的取值范围是_____
【答案】
【解析】
函数,
∵f(﹣x)=f(x),故函数为偶函数且在[0,+∞)上单调递增.
∵f(2x)<f(3x﹣2),
∴|2x|<|3x﹣2|,
∴(2x)2<(3x﹣2)2,
化为:(x﹣2)(5x﹣2)>0,
解得:x>2,或x<.
∴使得f(2x)<f(3x﹣2)成立的x的取值范围是.
故答案为:.
16.是定义在实数集上的奇函数,,,若,则__________.
【答案】49
17.设.
(1)若,判断并证明函数的奇偶性;
(2)令,,求函数的最大值和最小值.
【答案】(1)见证明;(2)当时,即时,当时即时
【解析】
(1)
的定义域为
18.已知函数(常数)
(1)讨论函数的奇偶性,并说明理由;
(2)当为奇函数时,若对任意的,都有成立,求的最大值.
【答案】(1)详见解析(2)
【解析】
(1)若为奇函数,必有,得,
当时,,
∴当且仅当时,为奇函数
又,,∴对任意实数,都有
∴不可能是偶函数
(2)由条件可得:恒成立,
记,则由 得,
此时函数在上单调递增,
所以的最小值是,
所以 ,即的最大值是.
20.已知定义域为R的函数是奇函数.
(1)求实数m,n的值;
(2)若对于任意的,不等式恒成立,求实数a的取值范围.
【答案】(1),(2)