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  • 2021-06-11 发布

东北三省三校2020届高三第一次联合模拟考试数学(理)试题

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三省三校2019—2020(上)第一次内考卷 理科数学 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.‎ ‎1.已知集合,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简集合,即可求出.‎ ‎【详解】由题意得,,∵B中,,‎ ‎∴,∴,故选B.‎ ‎【点睛】本题考查集合间的运算,属于基础题.‎ ‎2.设:,:,若是的必要不充分条件,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解不等式,求出命题,成立的解集,把是的必要不充分条件转化为解集间的集合关系,即可求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】由不等式,解得,‎ 由得,‎ 是的必要不充分条件,可知,‎ 所以,故实数的取值范围是.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查命题的必要不充分条件,转化为集合间真子集关系,属于基础题 ‎3.已知向量 ,若,则实数( )‎ A. B. 5 C. 4 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题意,得到,,再根据向量垂直,即可列出方程求解,得出结果.‎ ‎【详解】因为,‎ 所以,,‎ 又,所以,即,‎ 解得:.‎ 故选:A ‎【点睛】本题主要考查由向量垂直求参数,熟记向量数量积的坐标运算即可,属于常考题型.‎ ‎4.若是三角形的一个内角,且,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知条件,求出,再利用诱导公式化简所求式子,即可得出结果.‎ ‎【详解】∵,,,‎ ‎,又∵,‎ ‎∴,,‎ ‎.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查同角间的三角函数关系,以及诱导公式,属于基础题.‎ ‎5.曲线在点处的切线与直线平行,则( )‎ A. B. C. 1 D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出,即为切线的斜率,可求出.‎ ‎【详解】因为,‎ 所以,因此,‎ 曲线在处 的切线斜率为,‎ 又该切线与直线平行,‎ 所以,∴.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义,属于基础题.‎ ‎6.等比数列的前项和为,公比为,若,,则( )‎ A. 50 B. 100 C. 146 D. 128‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知条件,先求出,再应用等比数列前项和为的性质,即可求出结果.‎ ‎【详解】由题意得∵,,‎ ‎∴,根据等比数列的性质可 知,,,构成等比数列,‎ 故,∴,‎ 故.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列前项和的性质,对等比数列的性质的熟练掌握是解题的关键,属于基础题.‎ ‎7.已知函数,设,,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断的奇偶性,再证明单调性,判断出对应自变量的大小关系,利用单调性比,即可得出答案.‎ ‎【详解】∵,∴‎ ‎,∴,∴,‎ ‎∴函数是奇函数,∴当时,易得 为增函数,‎ 故在上单调递增,‎ ‎∵,,,‎ ‎∴,∴.‎ 故选D ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性,单调性及单调性的应用,困难在于要想到证明函数奇偶性,属于中档题.‎ ‎8.关于函数,下列说法错误的是( )‎ A. 是奇函数 B. 是周期函数 C. 有零点 D. 在上单调递增 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据奇偶性定义可判断选项A正确;依据周期性定义,选项B错误;,选项C正确;求,判断选项D正确.‎ 详解】,‎ 则为奇函数,故A正确;‎ 根据周期的定义,可知它一定不是周期函数,‎ 故B错误;‎ 因为,在 上有零点,故C正确;‎ 由于,故在 上单调递增,故D正确.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查函数的性质,涉及到奇偶性、单调性、周期性、零点,属于基础题.‎ ‎9.已知偶函数的图象经过点,且当时,不等式恒成立,则使得成立的的取值范围为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题意,得到点也在函数图象上,函数在上为减函数,将不等式化为 ‎,根据函数单调性,即可得出结果.‎ ‎【详解】根据题意,为偶函数, 且经过点,则点也在函数图象上,‎ 又当时,不等式恒成立,‎ 则函数在上为减函数,‎ 因为,所以 解得或.‎ 故选:C ‎【点睛】本题主要考查由函数单调性与奇偶性解不等式,熟记函数奇偶性与单调性的概念即可,属于常考题型.‎ ‎10.已知实数,满足不等式组,目标函数的最大值是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出可行域,利用目标函数的几何意义,即可求出目标函数最大值.‎ ‎【详解】不等式组所表示的平面区域如图所示:‎ 表示过可行域内的点与 点的直线的斜率的最大值,‎ 由,解得,‎ 这时,‎ 故目标函数的最大值是.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查非线性目标函数最优解,对目标函数的几何意义理解是解题的关键,属于基础题.‎ ‎11.的内角,,的对边为,,,若,且的面积为,则的最大值为( )‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据余弦定理,以及题中三角形的面积,得到,求出,再由,结合基本不等式,即可求出结果.‎ ‎【详解】由余弦定理可得:,又,‎ ‎,因此,故.‎ 所以,‎ 即 ‎,即,当且仅当时,等号成立,故的最大值为4. ‎ 故选:D ‎【点睛】本题主要考查解三角形,以及基本不等式求最值,熟记余弦定理,三角形面积公式,以及基本不等式即可,属于常考题型.‎ ‎12.已知函数,令函数,若函数有两个不同零点,则实数的取值范围是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造新函数,问题转化为与有两个交点,作出,利用数学结合思想,即可求得结果.‎ ‎【详解】令,‎ 当时,函数,‎ 由得得,得,‎ 由得得,得,‎ 当值趋向于正无穷大时,值也趋向于负无穷大,‎ 即当时,函数取得极大值,极大值为 ‎,‎ 当时,,‎ 是二次函数,在轴处取得最大值,作出函数 的图象如图:‎ 要使(为常数)有两个不相等的实根,‎ 则或,即若函数有两个不同零点,‎ 实数的取值范围是.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查函数的零点,构造新函数,转化为两个函数的交点,考查数行结合思想,作出函数图像是解题的关键,属于较难题.‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.若是偶函数,当时,,则=.______.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据偶函数的性质,以及题中条件,结合对数运算,可直接得出结果.‎ ‎【详解】因为时,,且函数是偶函数,‎ 所以.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求函数值,熟记偶函数性质,以及对数运算法则即可,属于基础题型.‎ ‎14.若关于的不等式的解集是,则_______.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题意得到关于的方程的两根分别是和,进而可求出结果.‎ ‎【详解】因为关于的不等式的解集是,‎ 所以关于的方程的两根分别是和,‎ 所以有,解得:或.‎ 故答案为:或 ‎【点睛】本题主要考查由不等式的解集求参数,熟记三个二次之间关系即可,属于常考题型.‎ ‎15.设为所在平面内一点,,若,则=__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题意,作出图形,根据平面向量的基本定理,得到,再由题意确定的值,即可得出结果.‎ ‎【详解】如图所示,由,可知,、、三点在同一 直线上,图形如右:‎ 根据题意及图形,可得: ,‎ ‎,‎ ‎,解得: ,则 故答案为:‎ ‎【点睛】本题主要考查由平面向量基本定理求参数,熟记平面向量的基本定理即可,属于常考题型.‎ ‎16.下列命题中:‎ ‎①已知函数的定义域为,则函数的定义域为;‎ ‎②若集合中只有一个元素,则;‎ ‎③函数在上是增函数;‎ ‎④方程的实根的个数是1.‎ 所有正确命题的序号是______(请将所有正确命题的序号都填上).‎ ‎【答案】①②③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对于①根据复合函数与函数自变量的关系,即可判断为正确;‎ 对于②等价于方程有等根,故,求出的值为正确;对于对于③,可化为反比例函数,根据比例系数,可判断为正确;对于④,作出,的图象,根据图像判断两函数有两个交点,故不正确.‎ ‎【详解】对于①,因为函数的定义域 为,即,‎ 故的定义域应该是,故①正确;‎ 对于②,,故,故②正确;‎ 对于③,的图象由反比例函数 向右平移个单位,故其单调性与 函数单调性相同,故可判定 在上是增函数,③正确;‎ 对于④,在同一坐标系中作出,‎ 的图象,由图可知有两个交点.‎ 故方程的实根的个数为2,故④错误.‎ 故答案为①②③.‎ ‎【点睛】本题考查复合函数的定义域、函数的单调性、集合的元素、方程零点问题,要求全面掌握函数的性质,较为综合.‎ 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题,考生根据要求作答.‎ ‎(一)必考题:共60分.‎ ‎17.已知命题,不等式恒成立;命题:函数,;‎ ‎(1)若命题为真,求的取值范围;‎ ‎(2)若命题是真命题,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据为真,得到时,即可,根据函数单调性,求出的最小值,进而可求出结果;‎ ‎(2)若为真命题,根据题意得到,由函数单调性,求出在上的最大值,进而可求出结果.‎ ‎【详解】(1) 若为真,即,不等式恒成立;‎ 只需时,即可,‎ 易知:函数在递减,所以的最小值为,‎ 因此. ‎ ‎(2)若为真命题,则,‎ 易知:在上单调递减,所以;‎ 因此,故或,‎ 因为命题是真命题,所以,均为真命题,故满足或 解得:,‎ 因此实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查由命题的真假求参数,以及由复合命题真假求参数,根据转化与化归的思想即可求解 ,属于常考题型.‎ ‎18.已知函数 ‎(1)求函数的最小正周期和单调递减区间;‎ ‎(2)求函数在区间上的最小值,并求出取得最值时的值.‎ ‎【答案】(1),;(2) 最小值为, .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先将函数解析式化简整理,得到,根据正弦函数的周期与单调区间求解,即可得出结果;‎ ‎(2)由得,根据正弦函数的性质,即可得出结果.‎ ‎【详解】(1)因为 所以函数的最小正周期为.‎ 由,得 故函数的单调递减区间为.‎ ‎ (2)因为,‎ 所以当即时,‎ 所以函数在区间上的最小值为,此时.‎ ‎【点睛】本题主要考查求正弦型函数的周期,单调区间,以及最值,熟记正弦函数的性质即可,属于常考题型.‎ ‎19.已知二次函数满足,,且0为函数的零点.‎ ‎(1)求的解析式;‎ ‎(2)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据已知条件可得对称轴方程,结合,,即可求出;‎ ‎(2)从不等式中分离,不等式恒成立转为与函数的最值关系,即可求出结果.‎ ‎【详解】(1)设,‎ 由题意可知,,‎ 得到,即得到,‎ 又因为0是函数的零点,‎ 即0是方程的根,‎ 即满足,得,又∵,‎ ‎∴,‎ ‎∵,∴,‎ ‎∴.‎ ‎(2)当时,恒成立,‎ 即恒成立;‎ 令,,‎ 则,‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查用待定系数法求解析式,考查不等式恒成立问题,转化为函数的最值问题,属于中档题题.‎ ‎20.已知数列是等差数列,,,数列的前项和为,且.‎ ‎(1)求数列、的通项公式;‎ ‎(2)记中,求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1), (2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对于根据已知条件求出公差,即可求得通项;对于利用已知前项和与通项关系,可求得通项;‎ ‎(2)根据的通项公式,用裂项相消法,可求出的前项和.‎ 详解】(1)由已知得,‎ 解得,,所以,‎ 当时,,∴‎ ‎,‎ 两式相减得,‎ 以2为首项公比为2的等比数列,‎ ‎.‎ ‎(2)由(1)知,所以 ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查等差、等比数列的通项,考查已知前项和求通项,以及求数列的前项和,属于中档题.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎(1)当时,求函数的最小值;‎ ‎(2)当时,求函数的单调区间;‎ ‎(3)当时,设函数,若存在区间,使得函数在上的值域为,求实数的最大值.‎ ‎【答案】(1) (2)答案不唯一,见解析 (3)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求导,接着单调区间,即可得出最小值;‎ ‎(2)求导,对分类讨论,可求出函数的单调区间;‎ ‎(3)求出,通过分析,可得到在增函数,从而有,转化为在上至少有两个不同的正根,,转化为与至少有两个交点,即可求出实数的最大值.‎ ‎【详解】(1)当时,,‎ 这时的导数,‎ 令,即,解得,‎ 令得到,‎ 令得到,‎ 故函数在单调递减,在单调递增;‎ 故函数在时取到最小值,‎ 故;‎ ‎(2)当时,函数 导数为,‎ 若时,,单调递减,‎ 若时,,‎ 当或时,,‎ 当时,,‎ 即函数在区间,上单调递减,‎ 区间上单调递增.‎ 若时,,‎ 当或时,,‎ 当时,,‎ 函数在区间,上单调递减,‎ 在区间上单调递增.‎ 综上,若时,函数的减区间为,无增区间,‎ 若时,函数的减区间为,,增区间为,‎ 若时,函数的减区间为,,增区间为.‎ ‎(3)当时,设函数.‎ 令,,‎ 当时,,为增函数,‎ ‎,为增函数,‎ 在区间上递增,‎ ‎∵在上的值域是,‎ 所以在上至少有两个不同 的正根,,‎ 令,求导得,,‎ 令,‎ 则,‎ 所以在递增,,,‎ 当,,∴,‎ 当,,∴,‎ 所以在上递减,在上递增,‎ ‎∴,∴,‎ ‎∴的最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查函数的极值最值、单调性、值域、零点问题,其实质就是应用求导方法研究函数性质,关键是能结合题意构造函数,是一道综合题.‎ ‎(二)选考题:共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.‎ ‎22.在直角坐标系中,曲线的参数方程为: 为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求的极坐标方程;‎ ‎(2)若直线与曲线相交于,两点,求.‎ ‎【答案】(1) ;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据曲线的参数方程消去参数,得到普通方程,再转化为极坐标方程即可;‎ ‎(2)先将直线的极坐标方程化为参数方程,代入,根据参数方程下的弦长公式,即可求出结果.‎ ‎【详解】(1)曲线的参数方程为: 为参数),‎ 转换为普通方程为: ,‎ 转换为极坐标方程为: .‎ ‎(2)直线的极坐标方程为.转换为参数方程为: (为参数).‎ 把直线的参数方程代入,‎ 得到: ,(和为,对应的参数),‎ 故: ,,‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化,极坐标方程与直角坐标方程的互化,以及求弦长的问题,熟记公式即可,属于常考题型.‎ ‎23.已知.‎ ‎(1)当时,求不等式的解集;‎ ‎(2)若时,不等式恒成立,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先由得,分别讨论,,三种情况,即可得出结果;‎ ‎(2)先由题意,得到当时,不等式恒成立转化为或恒成立,进而可求出结果.‎ ‎【详解】(1)当时,不等式可化简为. ‎ 当时,,解得,所以 当时,,无解;‎ 当时,,解得,所以;‎ 综上,不等式的解集为;‎ ‎(2)当时,不等式可化简为. ‎ 由不等式的性质得或,‎ 即或. ‎ 当时,不等式恒成立转化为或恒成立; ‎ 则或.‎ 综上,所求的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题主要考查解含绝对值不等式,以及由不等式恒成立求参数的问题,灵活运用分类讨论法求解即可,属于常考题型.‎ ‎ ‎

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