东北三省三校2020届高三第一次联合模拟考试数学（理）试题 23页

三省三校2019—2020（上）第一次内考卷 理科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简集合,即可求出.‎ ‎【详解】由题意得，，∵B中，，‎ ‎∴，∴，故选B.‎ ‎【点睛】本题考查集合间的运算,属于基础题.‎ ‎2.设：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解不等式，求出命题,成立的解集,把是的必要不充分条件转化为解集间的集合关系，即可求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】由不等式，解得，‎ 由得，‎ 是的必要不充分条件，可知,‎ 所以，故实数的取值范围是.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查命题的必要不充分条件,转化为集合间真子集关系,属于基础题 ‎3.已知向量 ，若，则实数（ ）‎ A. B. 5 C. 4 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题意，得到，，再根据向量垂直，即可列出方程求解，得出结果.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，，‎ 又，所以，即，‎ 解得：.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查由向量垂直求参数，熟记向量数量积的坐标运算即可，属于常考题型.‎ ‎4.若是三角形的一个内角，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知条件,求出,再利用诱导公式化简所求式子,即可得出结果.‎ ‎【详解】∵，，，‎ ‎，又∵，‎ ‎∴，，‎ ‎.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查同角间的三角函数关系,以及诱导公式,属于基础题.‎ ‎5.曲线在点处的切线与直线平行，则（ ）‎ A. B. C. 1 D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出，即为切线的斜率，可求出.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，因此，‎ 曲线在处 的切线斜率为，‎ 又该切线与直线平行，‎ 所以，∴.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义,属于基础题.‎ ‎6.等比数列的前项和为，公比为，若，，则（ ）‎ A. 50 B. 100 C. 146 D. 128‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知条件，先求出，再应用等比数列前项和为的性质，即可求出结果.‎ ‎【详解】由题意得∵，，‎ ‎∴，根据等比数列的性质可 知，，，构成等比数列，‎ 故，∴，‎ 故.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列前项和的性质，对等比数列的性质的熟练掌握是解题的关键，属于基础题.‎ ‎7.已知函数，设，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断的奇偶性，再证明单调性，判断出对应自变量的大小关系，利用单调性比，即可得出答案.‎ ‎【详解】∵，∴‎ ‎，∴，∴，‎ ‎∴函数是奇函数，∴当时，易得 为增函数，‎ 故在上单调递增，‎ ‎∵，，，‎ ‎∴，∴.‎ 故选D ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性，单调性及单调性的应用，困难在于要想到证明函数奇偶性，属于中档题.‎ ‎8.关于函数，下列说法错误的是（ ）‎ A. 是奇函数 B. 是周期函数 C. 有零点 D. 在上单调递增 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据奇偶性定义可判断选项A正确；依据周期性定义，选项B错误；，选项C正确；求，判断选项D正确.‎ 详解】，‎ 则为奇函数，故A正确；‎ 根据周期的定义，可知它一定不是周期函数，‎ 故B错误；‎ 因为，在 上有零点，故C正确；‎ 由于，故在 上单调递增，故D正确.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查函数的性质，涉及到奇偶性、单调性、周期性、零点，属于基础题.‎ ‎9.已知偶函数的图象经过点，且当时，不等式恒成立，则使得成立的的取值范围为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题意，得到点也在函数图象上，函数在上为减函数，将不等式化为 ‎，根据函数单调性，即可得出结果.‎ ‎【详解】根据题意，为偶函数， 且经过点，则点也在函数图象上，‎ 又当时，不等式恒成立，‎ 则函数在上为减函数，‎ 因为，所以 解得或.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查由函数单调性与奇偶性解不等式，熟记函数奇偶性与单调性的概念即可，属于常考题型.‎ ‎10.已知实数，满足不等式组，目标函数的最大值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出可行域，利用目标函数的几何意义，即可求出目标函数最大值.‎ ‎【详解】不等式组所表示的平面区域如图所示：‎ 表示过可行域内的点与 点的直线的斜率的最大值，‎ 由，解得，‎ 这时，‎ 故目标函数的最大值是.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查非线性目标函数最优解，对目标函数的几何意义理解是解题的关键，属于基础题.‎ ‎11.的内角，，的对边为，，，若，且的面积为，则的最大值为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据余弦定理，以及题中三角形的面积，得到，求出，再由，结合基本不等式，即可求出结果.‎ ‎【详解】由余弦定理可得：，又，‎ ‎，因此，故.‎ 所以，‎ 即 ‎，即，当且仅当时，等号成立，故的最大值为4. ‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查解三角形，以及基本不等式求最值，熟记余弦定理，三角形面积公式，以及基本不等式即可，属于常考题型.‎ ‎12.已知函数，令函数，若函数有两个不同零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造新函数，问题转化为与有两个交点，作出，利用数学结合思想，即可求得结果.‎ ‎【详解】令，‎ 当时，函数，‎ 由得得，得，‎ 由得得，得，‎ 当值趋向于正无穷大时，值也趋向于负无穷大，‎ 即当时，函数取得极大值，极大值为 ‎，‎ 当时，，‎ 是二次函数，在轴处取得最大值，作出函数 的图象如图：‎ 要使（为常数）有两个不相等的实根，‎ 则或，即若函数有两个不同零点，‎ 实数的取值范围是．‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查函数的零点，构造新函数，转化为两个函数的交点，考查数行结合思想，作出函数图像是解题的关键，属于较难题.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.若是偶函数，当时，，则=.______.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据偶函数的性质，以及题中条件，结合对数运算，可直接得出结果.‎ ‎【详解】因为时，，且函数是偶函数，‎ 所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求函数值，熟记偶函数性质，以及对数运算法则即可，属于基础题型.‎ ‎14.若关于的不等式的解集是，则_______.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题意得到关于的方程的两根分别是和，进而可求出结果.‎ ‎【详解】因为关于的不等式的解集是，‎ 所以关于的方程的两根分别是和，‎ 所以有，解得：或.‎ 故答案为：或 ‎【点睛】本题主要考查由不等式的解集求参数，熟记三个二次之间关系即可，属于常考题型.‎ ‎15.设为所在平面内一点，，若，则=__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题意，作出图形，根据平面向量的基本定理，得到，再由题意确定的值，即可得出结果.‎ ‎【详解】如图所示，由，可知，、、三点在同一 直线上，图形如右:‎ 根据题意及图形，可得: ，‎ ‎，‎ ‎，解得: ，则 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查由平面向量基本定理求参数，熟记平面向量的基本定理即可，属于常考题型.‎ ‎16.下列命题中：‎ ‎①已知函数的定义域为，则函数的定义域为；‎ ‎②若集合中只有一个元素，则；‎ ‎③函数在上是增函数；‎ ‎④方程的实根的个数是1.‎ 所有正确命题的序号是______（请将所有正确命题的序号都填上）.‎ ‎【答案】①②③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对于①根据复合函数与函数自变量的关系，即可判断为正确；‎ 对于②等价于方程有等根，故，求出的值为正确；对于对于③，可化为反比例函数，根据比例系数，可判断为正确；对于④，作出，的图象，根据图像判断两函数有两个交点，故不正确.‎ ‎【详解】对于①，因为函数的定义域 为，即，‎ 故的定义域应该是，故①正确；‎ 对于②，，故，故②正确；‎ 对于③，的图象由反比例函数 向右平移个单位，故其单调性与 函数单调性相同，故可判定 在上是增函数，③正确；‎ 对于④，在同一坐标系中作出，‎ 的图象，由图可知有两个交点.‎ 故方程的实根的个数为2，故④错误.‎ 故答案为①②③.‎ ‎【点睛】本题考查复合函数的定义域、函数的单调性、集合的元素、方程零点问题，要求全面掌握函数的性质，较为综合.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17.已知命题，不等式恒成立；命题:函数，；‎ ‎(1)若命题为真，求的取值范围；‎ ‎(2)若命题是真命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据为真，得到时，即可，根据函数单调性，求出的最小值，进而可求出结果；‎ ‎（2）若为真命题，根据题意得到，由函数单调性，求出在上的最大值，进而可求出结果.‎ ‎【详解】(1) 若为真，即，不等式恒成立;‎ 只需时，即可，‎ 易知：函数在递减，所以的最小值为，‎ 因此. ‎ ‎(2)若为真命题，则，‎ 易知：在上单调递减，所以；‎ 因此，故或，‎ 因为命题是真命题，所以，均为真命题，故满足或 解得：，‎ 因此实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查由命题的真假求参数，以及由复合命题真假求参数，根据转化与化归的思想即可求解 ，属于常考题型.‎ ‎18.已知函数 ‎(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；‎ ‎(2)求函数在区间上的最小值，并求出取得最值时的值.‎ ‎【答案】(1),；(2) 最小值为， .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先将函数解析式化简整理，得到，根据正弦函数的周期与单调区间求解，即可得出结果；‎ ‎（2）由得，根据正弦函数的性质，即可得出结果.‎ ‎【详解】(1)因为 所以函数的最小正周期为.‎ 由，得 故函数的单调递减区间为.‎ ‎ (2)因为，‎ 所以当即时，‎ 所以函数在区间上的最小值为，此时.‎ ‎【点睛】本题主要考查求正弦型函数的周期，单调区间，以及最值，熟记正弦函数的性质即可，属于常考题型.‎ ‎19.已知二次函数满足，，且0为函数的零点.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据已知条件可得对称轴方程，结合，，即可求出;‎ ‎（2）从不等式中分离，不等式恒成立转为与函数的最值关系，即可求出结果.‎ ‎【详解】（1）设，‎ 由题意可知，，‎ 得到，即得到，‎ 又因为0是函数的零点，‎ 即0是方程的根，‎ 即满足，得，又∵，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴.‎ ‎（2）当时，恒成立，‎ 即恒成立；‎ 令，，‎ 则，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查用待定系数法求解析式，考查不等式恒成立问题，转化为函数的最值问题，属于中档题题.‎ ‎20.已知数列是等差数列，，，数列的前项和为，且.‎ ‎（1）求数列、的通项公式；‎ ‎（2）记中，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）， （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对于根据已知条件求出公差，即可求得通项；对于利用已知前项和与通项关系，可求得通项；‎ ‎（2）根据的通项公式，用裂项相消法，可求出的前项和.‎ 详解】（1）由已知得，‎ 解得，，所以，‎ 当时，，∴‎ ‎，‎ 两式相减得,‎ 以2为首项公比为2的等比数列，‎ ‎.‎ ‎（2）由（1）知，所以 ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查等差、等比数列的通项，考查已知前项和求通项，以及求数列的前项和，属于中档题.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）当时，求函数的最小值；‎ ‎（2）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（3）当时，设函数，若存在区间，使得函数在上的值域为，求实数的最大值.‎ ‎【答案】（1） （2）答案不唯一，见解析 （3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求导，接着单调区间，即可得出最小值；‎ ‎（2）求导，对分类讨论，可求出函数的单调区间；‎ ‎（3）求出，通过分析，可得到在增函数，从而有，转化为在上至少有两个不同的正根，，转化为与至少有两个交点，即可求出实数的最大值.‎ ‎【详解】（1）当时，，‎ 这时的导数，‎ 令，即，解得，‎ 令得到，‎ 令得到，‎ 故函数在单调递减，在单调递增；‎ 故函数在时取到最小值，‎ 故；‎ ‎（2）当时，函数 导数为，‎ 若时，，单调递减，‎ 若时，，‎ 当或时，，‎ 当时，，‎ 即函数在区间，上单调递减，‎ 区间上单调递增.‎ 若时，，‎ 当或时，，‎ 当时，，‎ 函数在区间，上单调递减，‎ 在区间上单调递增.‎ 综上，若时，函数的减区间为，无增区间，‎ 若时，函数的减区间为，，增区间为，‎ 若时，函数的减区间为，，增区间为.‎ ‎（3）当时，设函数.‎ 令，，‎ 当时，，为增函数，‎ ‎，为增函数，‎ 在区间上递增，‎ ‎∵在上的值域是，‎ 所以在上至少有两个不同 的正根，，‎ 令，求导得，，‎ 令，‎ 则，‎ 所以在递增，，，‎ 当，，∴，‎ 当，，∴，‎ 所以在上递减，在上递增，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴的最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查函数的极值最值、单调性、值域、零点问题，其实质就是应用求导方法研究函数性质，关键是能结合题意构造函数，是一道综合题.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.‎ ‎22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为: 为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求的极坐标方程；‎ ‎(2)若直线与曲线相交于，两点，求.‎ ‎【答案】(1) ；(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据曲线的参数方程消去参数，得到普通方程，再转化为极坐标方程即可；‎ ‎（2）先将直线的极坐标方程化为参数方程，代入，根据参数方程下的弦长公式，即可求出结果.‎ ‎【详解】(1)曲线的参数方程为: 为参数)，‎ 转换为普通方程为: ，‎ 转换为极坐标方程为: .‎ ‎(2)直线的极坐标方程为.转换为参数方程为: (为参数).‎ 把直线的参数方程代入，‎ 得到: ，(和为，对应的参数)，‎ 故: ，，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及求弦长的问题，熟记公式即可，属于常考题型.‎ ‎23.已知.‎ ‎(1)当时，求不等式的解集；‎ ‎(2)若时，不等式恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先由得，分别讨论，，三种情况，即可得出结果；‎ ‎（2）先由题意，得到当时，不等式恒成立转化为或恒成立，进而可求出结果.‎ ‎【详解】(1)当时，不等式可化简为. ‎ 当时，，解得，所以 当时，，无解；‎ 当时，，解得，所以；‎ 综上，不等式的解集为；‎ ‎(2)当时，不等式可化简为. ‎ 由不等式的性质得或，‎ 即或. ‎ 当时，不等式恒成立转化为或恒成立; ‎ 则或.‎ 综上，所求的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题主要考查解含绝对值不等式，以及由不等式恒成立求参数的问题，灵活运用分类讨论法求解即可，属于常考题型.‎ ‎ ‎