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- 2021-06-11 发布
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秘密★启用前【考试时间：10月12日 16:20~18:20】
2020年文山州中小学教育教学质量检测
高三年级理科数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页．考试结束后，请将答题卡交回．满分150分，考试用时120分钟．
第I卷（选择题，共60分）
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、姓名、考场号、座位号、准考证号在答题卡上填写清楚．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，其中x，y是实数，i为虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
3．直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
4．2020年6月17日15时19分，星期三，酒泉卫星发射中心，我国成功发射长征二号丁运载火箭，并成功将高分九号03星、皮星三号A星和德五号卫星送入预定轨道，携三星入轨，全程发射获得圆满成功，祖国威武．已知火箭的最大速度v（单位：）和燃料质量M（单位：），火箭质量m（单位：）的函数关系是：，若已知火箭的质量为3100公斤，燃料质量为310吨，则此时v的值为多少（参考数值为；）（ ）
A．13.8 B．9240 C．9.24 D．1380
5．执行如图所示的程序框图，运行相应程序，则输出的s的值为（ ）
A． B． C． D．
6．在的展开式中，常数项为（ ）
A． B．15 C． D．60
7．若a，b为正实数，且，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．4
8．对于奇函数，若对任意的，，且，则当时，实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．已知的内角的对边分别为a，b，c，若，则的面积为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
10．已知，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数，则下列说法错误的是（ ）
A．的一条对称轴为
B．
C．的对称中心为
D．的最大值为
12．已知双曲线上关于原点对称的两个点P，Q，右顶点为A，线段的中点为E，直线交x轴于，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
注意事项：
本卷包括必考题和选考题两部分．第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．把答案填写在答题卡上相应的位置，在试题卷上作答无效．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知x，y满足约束条件则目标函数的最小值为_____．
14．已知，且，则_____．
15．在正三棱锥中，，，则三棱锥外接球的表面积为_____．
16．已知函数（e为自然对数的底数），若有三个零点，则实数a的取值范围为_____．
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
已知数列成等差数列，各项均为正数的数列成等比数列，，且，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
18．（本小题满分12分）
某中学高三年级组织了西南四省第一次联考，为了了解学生立体几何得分情况，现在在高三年级中随机抽取100名同学进行调查，其中男生和女生的人数之比为，满分为12分，得分大于等于8分为优秀，否则为知识点存在欠缺，已知男生优秀的人数为35人，女生得分在8分以下的有15人．
（1）完成列联表，并回答能否有85%的把握认为“得分是否优秀与性别有关”？
优秀
知识点欠缺
合计
男生
女生
100
合计
（2）从被调查的女生中，利用分层抽样抽取13名学生，再从这13名学生中随机抽取2名学生介绍答题经验，求被抽取的两名学生均为优秀学生的概率．
参考公式：．
附：
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.842
5.024
6.635
7.879
10.828
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，E为上的动点．
（1）确定E的位置，使平面；
（2）设，，且在第（1）问的结论下，求二面角的余弦值．
20．（本小题满分12分）
已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率为1的直线l与曲线交于A，B两点，设，，则．
（1）求曲线的方程；
（2）设离心率为且长轴为4的椭圆的方程为．又曲线与过点且斜率存在的直线相交于M，N两点，已知，O为坐标原点，求直线的方程．
21．（本小题满分12分）
已知函数，．
（1）当在点处的切线与直线平行时，求实数a的值；
（2）若恒成立，求实数a的取值范围．
请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区堿指定位置答题．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
已知在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；
（2）已知，直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值．
23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若函数的最大值为n，且，求最小值．
2020年文山州中小学教育教学质量检测
高三年级理科数学参考答案
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
C
B
C
D
A
D
A
A
C
D
【解析】
1．由已知得，或，∴，故选B．
2．∵，∴，故选A．
3．已知，即圆心，半径，∴圆心到直线的距离为，即，故选C．
4．，故选B．
5．，故选C．
6．，令，即，∴常数项为60，故选D．
7．，当且仅当时，即
时，“=”成立，故选A．
8．由已知得在上为单调递增函数，∴，∴，故选D．
9．，由已知得：∵，∴，又，∴，故选A．
10．由已知得，故，故选A．
11．由已知得：对于选项A，，正确；对于选项B，，正确；对于选项C，，错误；对于选项D，令，∴，∴当时，，正确，故选C．
12．由已知得M为的重心，∴，又，∴，即，故选D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
题号
13
14
15
16
答案
2
【解析】
13．在点处取得最小值2．
14．∵，∴，即，∴．
15．由题意得外接球的半径为，即．
16．设，则求导后得在上为增函数，在上为减函数．令由图象可知，有三个零点，则a的取值范围为．
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
解：（1）由，∴，
又，
∴． （6分）
（2），
． （12分）
18．（本小题满分12分）
解：（1）列联表如下：
优秀
知识点欠缺
合计
男生
35
20
55
女生
30
15
45
男生
65
35
100
，
∴不能有85%的把握认为“得分是否优秀与性别有关”． （6分）
（2）抽取的13人中，男生、女生人数分别为7人、6人，记“两名学生中恰有一名男生与一名女生”为事件A，则，
∴两名学生中恰有一名男生与一名女生的概率为． （12分）
19．（本小题满分12分）
解：（1）E为的中点．
证明：连接，使交于点O，取的中点为E，连接，
∵O，E分别为，的中点，
∴．
又平面，平面，
∴平面． （6分）
（2）分别以，，为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
，，，，，
∴，，
∴平面的法向量为．
设平面的法向量为，
由
令，则，，
∴，
∴二面角的平面角的余弦值为． （12分）
20．（本小题满分12分）
解：（1）由已知得，设直线l的方程为，
∴，
∴，
∴曲线的方程为． （5分）
（2）由已知得，，∴，
∴曲线的方程为，
设直线的方程为，
则．
设，
，
∴
，
∴直线的方程为． （12分）
21．（本小题满分12分）
解：（1），
∴斜率． （4分）
（2）由已知得对任意的恒成立
恒成立．
令，
则，
令，
则．
∵，
∴．
又，∴，即恒成立，
∴在上单调递增，又，
∴当时，，即为减函数，
当时，，即为增函数，
∴，
∴． （12分）
22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
解：（1）直线l的普通方程为，
由，
∴曲线C的直角坐标方程为． （5分）
（2）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得，
∴，
∴． （10分）
23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】
解：（1）由已知得
∴当无解；
当；
当，
综上所述，不等式的解集为． （5分）
（2）由（1）可知，
∵，
∴，
当且仅当，即时，“=”成立． （10分）
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