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  • 2021-06-11 发布

四川省泸县第一中学2020届高三下学期第四学月考试数学(理)试题

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‎2020年春四川省泸县第一中学高三第四学月考试 理科数学 注意事项:‎ ‎1.答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷 选择题(60分)‎ 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知集合,,则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.若复数,则当时,复数在复平面内对应的点在 ‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎3.已知向量,,且,则 ‎ A. B. C.1 D.2‎ ‎4.对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩(单位:分)进行统计得到折线图,下面是关于这两位同学的数学成绩分析.‎ ‎①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性,故平均成绩为130分;‎ ‎②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计,估计该同学平均成绩在区间内;‎ ‎③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性,且为正相关;‎ ‎④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步.其中正确的个数为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎5.当时,函数的图象大致是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.已知是两条不重合的直线,是两个不重合的平面,下列命题正确的是 ‎ A. 若,,,,则 B. 若,,,则 C. 若,,,则 D. 若,,,则 ‎7.设等差数列的前项和为,若,,则 ‎ A.21 B.22 C.11 D.12‎ ‎8.已知角的终边与单位圆交于点,则等于 ‎ A. B. C. D.‎ ‎9.从5名学生中选出4名分别参加数学,物理,化学,生物四科竞赛,其中甲不能参加生物竞赛,则不同的参赛方案种数为 A.48 B.72 C.90 D.96‎ ‎10.已知双曲线(,),以点()为圆心,为半径作圆,圆与双曲线的一条渐近线交于,两点,若,则的离心率为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎11.棱长为2的正方体内有一个内切球,过正方体中两条异面直线,的中点作直线,则该直线被球面截在球内的线段的长为 ‎ A. B. C. D.1‎ ‎12.若函数,在区间上任取三个实数,,均存在以,,为边长的三角形,则实数的取值范围是 ‎ A. B. C. D.‎ 第II卷 非选择题(90分)‎ 二、 填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。‎ ‎13.若函数的图象在点处的切线平行于轴,则________.‎ ‎14.已知,,分别为三个内角,,的对边,若,,的面积为,则的值等于________.‎ ‎15.学校艺术节对四件参赛作品只评一件一等奖,在评奖揭晓前,甲,乙,丙,丁四位同学对这四件参赛作品预测如下:‎ 甲说:“是或作品获得一等奖”; 乙说:“ 作品获得一等奖”;‎ 丙说:“ 两件作品未获得一等奖”; 丁说:“是作品获得一等奖”.‎ 评奖揭晓后,发现这四位同学中只有两位说的话是对的,则获得一等奖的作品是_________.‎ ‎16.若过点且斜率为的直线与抛物线的准线相交于点,与的一个交点为,若,则____.‎ 三.解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。‎ ‎(一)必考题:共60分。‎ ‎17.(12分)等比数列中,.‎ ‎(Ⅰ)求的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)记为的前项和.若,求.‎ ‎18.(12分)万众瞩目的第14届全国冬季运动运会(简称“十四冬”)于2020年2月16日在呼伦贝尔市盛大开幕,期间正值我市学校放寒假,寒假结束后,某校工会对全校100名教职工在“十四冬”期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查,得到如图频数分布直方图:‎ ‎(I)若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“冰雪迷”,否则定义为“非冰雪迷”,请根据频率分布直方图补全列联表;并判断能否有的把握认为该校教职工是否为“冰雪迷”与“性别”有关;‎ ‎(II)在全校“冰雪迷”中按性别分层抽样抽取6名,再从这6名“冰雪迷”中选取2名作冰雪运动知识讲座.记其中女职工的人数为,求的分布列与数学期望. 附表及公式:‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎,‎ ‎19.(12分)如图,三棱柱中,侧面是菱形,其对角线的交点为,且.‎ ‎(I)求证:平面;‎ ‎(II)设,若直线与平面所成 的角为,求二面角的正弦值.‎ ‎20.(12分)已知椭圆的右焦点为,过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为,且与短轴两端点的连线相互垂直.‎ ‎(I)求椭圆的方程;‎ ‎(II)若圆上存在两点,,椭圆上存在两个点满足:三点共线,三点共线,且,求四边形面积的取值范围.‎ ‎21.(12分)已知函数,.‎ ‎(I)当时,讨论函数的单调性;‎ Ⅱ若函数有两个极值点,,且,求证.‎ ‎(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。‎ ‎22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)‎ 在直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴,以相同的长度单位建立极坐标系,已知直线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为,‎ ‎(I)设t为参数,若,求直线的参数方程;‎ ‎(II)已知直线与曲线交于设,且,求实数的值.‎ ‎23.[选修4-5:不等式选讲](10分)‎ 已知函数. ‎ ‎(I)求的最小值;‎ ‎(II)若, , 均为正实数,且满足,求证: .‎ ‎2020年春四川省泸县第一中学高三第四学月考试 理科数学答案 ‎1.B 2.B 3.A 4.C 5.B 6.B 7.A 8.B 9.D 10.A 11.C 12.D ‎13. 14. 15.B 16.‎ ‎17解:(Ⅰ)设数列的公比为,∴,∴,∴或,‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知或,‎ ‎∴或(舍去),解得.‎ 解:(1)由题意得下表:‎ 男 女 合计 冰雪迷 ‎40‎ ‎20‎ ‎60‎ 非冰雪迷 ‎20‎ ‎20‎ ‎40‎ 合计 ‎60‎ ‎40‎ ‎100‎ 的观测值为 所以有的把握认为该校教职工是“冰雪迷”与“性别”有关.‎ ‎(2)由题意知抽取的6名“冰雪迷”中有4名男职工,2名女职工,‎ 所以的可能取值为0,1,2.‎ 且,,,所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎19.(1)证明:∵四边形是菱形,,‎ ‎ 平面 平面,又是的中点,‎ ‎,又平面 ‎(2)∴直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角.‎ 平面,∴直线与平面所成的角为,即.‎ 因为,则在等腰直角三角形中,所以.在中,由得,‎ 以为原点,分别以为轴建立空间直角坐标系.‎ 则 所以设平面的一个法向量为,‎ 则,可得,‎ 取平面的一个法向量为,则,‎ 所以二面角的正弦值的大小为.‎ ‎20.(1)由焦点与短轴两端点的连线相互垂直及椭圆的对称性可知,,‎ ‎∵过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.‎ 又,解得.∴椭圆的方程为 ‎(2)由(1)可知圆的方程为,‎ ‎(i)当直线的斜率不存在时,直线的斜率为0,‎ 此时 ‎(ii)当直线的斜率为零时,.‎ ‎(iii)当直线的斜率存在且不等于零时,设直线的方程为,‎ 联立,得,‎ 设的横坐标分别为,则.‎ 所以,‎ ‎(注:的长度也可以用点到直线的距离和勾股定理计算.)‎ 由可得直线的方程为,联立椭圆的方程消去,‎ 得 设的横坐标为,则.‎ ‎.‎ 综上,由(i)(ii)(ⅲ)得的取值范围是.‎ ‎21.解:,‎ ‎,‎ 令,,,‎ 令则,当,即时,‎ 令则;令则.‎ 此时函数在上单调递减;在上单调递增.‎ 当,即时,‎ 令,则;‎ 令则,‎ 此时函数在上单调递减;在和上单调递增.‎ 由知,若有两个极值点,‎ 则且,‎ 又,是的两个根,则,‎ ‎,‎ 令,则,‎ 令,则,令,则,‎ 所以在上单调递减;在上单调递增.‎ ‎,,,得证.‎ ‎22.(1)直线的极坐标方程为即,‎ 因为为参数,若,代入上式得,‎ 所以直线的参数方程为(为参数)‎ ‎(2)由,得,‎ 由,代入,得 ‎ 将直线的参数方程与的直角坐标方程联立,得.(*)‎ 则且,,‎ 设点,分别对应参数,恰为上述方程的根.则,,,‎ 由题设得.,则有,得或.因为,所以 ‎23.(1)当时, ;‎ 当时, ;‎ 当时, .综上, 的最小值.‎ ‎(2)证明: , , 均为正实数,且满足,‎ 因为,, .(当且仅当时,取等号),‎ 所以,即.‎

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