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- 2021-06-11 发布
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海南中学2018—2019学年第一学期期中考试
高二数学试题卷
(考试范围:选修2—1)
考试时间:120分钟 满分:150分
一、选择题:(本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。)
1、若命题p:,则命题为( )
A.不存在 B.
C. D.
2、“”是“直线和直线互相垂直”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3、已知椭圆C的方程为,则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
4、已知向量=(0,1,-1),=(2,1,0),且+k与2互相垂直,则k的值为( )
A. 1 B. -1 C. D.
5、已知双曲线的焦点为F1、F2,点M在双曲线上,且M⊥x轴,则到直线M的距离为( )
A. B. C. D.
6、已知四面体ABCD的各棱长均为1,E、F、G分别是BC、AD、DC的中点,则的值为( )
A. 0 B. 1 C. D.
7、在正方体中,E是AB的中点,则直线与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
8、已知点P是抛物线上的一个动点,设点P到y轴的距离为d,点A(3,4),则|PA|+d的最小值为( )
A.3 B. C. D.
9、在直三棱柱中,已知AB=AC=1,,,M、N、分别是、AC的中点,则直线MN与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
10、已知双曲线的两条渐近线均和
圆C:相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的
方程为( )
A. B.
C. D.
11、在三棱锥P-ABC中,已知AB=AC=BC=2,PA=4,且PA底面ABC,若点D满足:,则二面角P-AC-D的余弦值为( )
A. B. C. D.
12、已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点A、B,则|AB|等于( )
A. B. C. D.
二、填空题:(本题共4小题,每小题5分,共20分。)
13、若命题是真命题,则实数的取值范围是 .
14、若双曲线的一个焦点在抛物线y2=8x的准线上,则双曲线的渐近线方程为 .
15、已知长方体中,,E为CD的中点,则点到平面的距离为 .
16、若椭圆的焦点在x轴上,过点P(1,2)作圆的切线,切点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是 .
三、 解答题:(本题共6小题,共70分。)
17、(10分)已知双曲线.
(1)求该双曲线的焦点坐标,离心率,渐近线方程;
(2)已知抛物线的准线过该双曲线的焦点,求抛物线方程.
18.(12分)长方体中,,
(1)求直线与所成角;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
19. (12分)若直线与椭圆相交,
(1) 求的范围;
(2)当截得弦长最大时,求的值,并求出最大弦长值。
20、(12分)如图,四边形为矩形,且,,为上的动点.
(1) 当为的中点时,求证:;
(2)设,在线段上存在这样的点,使得二面角的平面角大小为,试确定点的位置.
21、(12分)如图,正方形与梯形所在平面互相垂直,,, ,点在线段上且不与重合。
(1)当点是中点时,求证: //平面;
(2)当平面与平面所成锐二面角的余弦值为时,求三棱锥的体积.
22、(12分)给定椭圆C:+=1(a>b>0),称圆心在原点O,半径为的圆是椭圆C的“海中圆”.若椭圆C的一个焦点为
F(,0),其短轴上的一个端点到F的距离为.
(1)求椭圆C的方程和其“海中圆”方程;
(2)点P是椭圆C的“海中圆”上的一个动点,过点P作直线l1,l2,使得l1,l2与椭圆C都只有一个交点.求证:l1⊥l2.
海南中学2018—2019学年第一学期期中考试
高二数学试题
参考答案
一、 选择题
D C C A B A D B D B A C
二、 填空题
13、 14、 15、 16、
三、解答题
17、(满分:10分)已知双曲线.
(1)求该双曲线的焦点坐标,离心率,渐近线方程;
(2)已知抛物线的准线过该双曲线的焦点,求抛物线方程.
【答案】解:(1), ....................................... 2分
焦点坐标为和, ....................................... 3分
离心率为, ....................................... 4分
渐近线方程为. ....................................... 5分
(2),, ....................................... 8分
所以抛物线方程为或. ....................................... 10分
【解析】本题考查双曲线,抛物线的标准方程与几何性质.
由题可得,进而得出双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程;
根据已知可得,求得抛物线中的参数p,进而求出抛物线的方程.
18.(满分:12分)长方体中,,
(1)求直线与所成角;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
解: 建立如图所示的空间直角坐标系,则
, .......................................2分
,, .......................................4分, .......................................5分
,即直线与所成角为。 .......................................6分
(2) 设平面的法向量.则
.......................................8分
所以,即,可取, .......................................10分
则 .......................................11分
直线与平面所成角的正弦为. .......................................12分
【解析】本题考查线线角,考查线面角,考查向量知识的运用,正确求向量是关键.
(1)建立空间直角坐标系,求出直线与的方向向量,利用向量的夹角公式,即可求直线与所成角;
(2)求出平面的法向量,利用向量的夹角公式,即可求直线与平面所成角的正弦.
19.若直线与椭圆相交,(1)求的范围;(2)当截得弦长最大时,求的值,并求出最大弦长值。
解:由消去得:,......................................2分
, .......................................3分
(1)若直线与椭圆相交,则,............4分
所以,的范围为。 .......................................6分
(3) 设直线被椭圆截得的弦长为,则
, .......................................8分
即=, .......................................10分
所以当时弦长最大,最大值为 .......................................12分
【解析】本题考查直线和椭圆的位置关系,考查弦长公式。
20、如图,四边形为矩形,且,,为上的动点.
(1) 当为的中点时,求证:;
(2)设,在线段上存在这样的点,使得二面角的平面角大小为,试确定点的位置.
【答案】证明:以为原点,所在直线为,建立空间直角坐标系,如图........................................ 1分
(1) 不妨设则,, ............................. 2分
从而,,................ 4分
于是,........ 5分
所以,所以....................................... 6分
解:设,则则
....................................... 7分
向量为平面的一个法向量设平面的法向量为,
则应有即解之得令则从而
....................................... 10分
依题意=,即,解之得(舍去)
所以点E在线段BC上距B点的处....................................... 12分
【解析】建立空间直角坐标系,设,用坐标表示点与向量,证明,即可证;
设,求得向量为平面AED的一个法向量,平面PDE的法向量,利用向量的夹角公式,即可求得结论.
本题考查线面垂直,考查面面角,考查利用向量方法解决立体几何问题,建系设点是关键.
21. (12分)如图,正方形与梯形所在平面互相垂直,,, ,点在线段上且不与重合。
(1)当点是中点时,求证: //平面;
(2)当平面与平面所成锐二面角的余弦值为时,求三棱锥的体积.
21、 解:(1)以分别为轴建立空间直角坐标系
....................................... 1分
则 ....................................... 3分
的一个法向量. ...................................... 4分
,。即. ...................................... 5分
(2)依题意设,设面的法向量
则, ....................................... 7分
令,则,面的法向量......................... 8分
,解得............................. 10分
为EC的中点,,到面的距离
....................................... 12分
22. (12分)给定椭圆C:+=1(a>b>0),称圆心在原点O,半径为的圆是椭圆C的“海中圆”.若椭圆C的一个焦点为
F(,0),其短轴上的一个端点到F的距离为.
(1)求椭圆C的方程和其“海中圆”方程;
(2)点P是椭圆C的“海中圆”上的一个动点,过点P作直线l1,l2,使得l1,l2与椭圆C都只有一个交点.求证:l1⊥l2.
解:(1)因为c=,a=,所以b=1,
所以椭圆的方程为+y2=1,“海中圆”的方程为x2+y2=4............................... 4分
(2)①当l1,l2中有一条无斜率时,不妨设l1无斜率,
因为l1与椭圆只有一个公共点,则其方程为x=或x=-......... 5 分
当l1方程为x=时,此时l1与“海中圆”交于点(,1),(,-1),
此时经过点(,1)(或(,-1))且与椭圆只有一个公共点的直线是y=1(或y=-1),即l2为y=1(或y=-1),显然直线l1,l2垂直;
同理可证l1方程为x=-时,直线l1,l2垂直...................... 8分
②当l1,l2都有斜率时,设点P(x0,y0),其中x+y=4,
设经过点P(x0,y0),与椭圆只有一个公共点的直线为y=t(x-x0)+y0,
则,
消去y得到x2+3[tx+(y0-tx0)]2-3=0,
即(1+3t2)x2+6t(y0-tx0)x+3(y0-tx0)2-3=0,
Δ=[6t(y0-tx0)]2-4·(1+3t2)[3(y0-tx0)2-3]=0,
化简得:(3-x)t2+2x0y0t+1-y=0,
因为x+y=4,所以有(3-x)t2+2x0y0t+(x-3)=0,
设l1,l2的斜率分别为t1,t2,因为l1,l2与椭圆都只有一个公共点,
所以t1,t2满足上述方程(3-x)t2+2x0y0t+(x-3)=0,
所以t1·t2=-1,即l1,l2垂直. ..................... 12分