数学理卷·2018届甘肃省兰州市高三4月实战考试（二模）（2018 10页

‎2018届甘肃省兰州市高三第二次实战考试 理科数学 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，则（ ） ‎ A．或 B．或 C． D． ‎ ‎2. 已知在复平面内，复数对应的点是 ，则复数的共轭复数（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3. 等比数列中各项均为正数，是其前项和，满足，则 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4. 在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，若曲线的方程为，则落入阴影部分的点的个数的估计为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎ ‎ ‎5. 已知非零单位向量满足，则与的夹角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6. 已知点为双曲线的左右焦点，点在双曲线上，为等腰三角形，且顶角为 ，则该双曲线的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为为抛物线上一点，为垂足，若直线的斜率，则线段的长为 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎8. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《九章算术》中提出多项式求值的秦九韶算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，依次输入的的值为，则输出的 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎9. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎10. 设 ，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.已知函数，如果时，函数的图象恒过在直线的下方，则的取值范围是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12. 已知是定义在上的可导函数，若在上有恒成立，且为自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知变量具有线性相关关系，它们之间的一组数据如下表所示，‎ 若关于的回归方程为，则 ．‎ ‎14.若变量满足约束条件 ，则目标函数的最大值是 ．‎ ‎15.的展开式中，常数项的值为 ．（用数字作答）‎ ‎16.已知数列满足，若，则数列的通项 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎（一）必做题 ‎17. 已知向量，函数.‎ ‎（1）求函数的图象对称轴的方程；‎ ‎（2）求函数在上的最大值和最小值.‎ ‎18. 如图所示，四边形是边长为的菱形，平面 平面，.‎ ‎（1）求证：‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎19.某智能共享单车备有两种车型，采用分段计费的方式营用型单车每分钟收费元（不足分钟的部分按分钟计算），型单车每分钟收费元（不足分钟的部分按分钟计算），现有甲乙丙三人，分别相互独立第到租车点租车骑行（各租一车一次），设甲乙丙不超过分钟还车的概率分别为，并且三个人每人租车都不会超过分钟，甲乙均租用型单车，丙租用型单车.‎ ‎（1）求甲乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率；‎ ‎（2）设甲乙丙三人所付费用之和为随机变量，求的分布列和数学期望.‎ ‎20. 已知为椭圆的左右焦点，点在椭圆上，且.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过的直线分别交椭圆于和，且，问是否存在常数，使得等差数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.‎ ‎21.已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直（其中为自然对数的底数）‎ ‎（1）求的解析式及单调递减区间；‎ ‎（2）若存在，使函数成立，求实数的取值范围.‎ ‎22.已知直线的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线的参数方程是为参数）.‎ ‎（1）求直线被曲线截得的弦长；‎ ‎（2）从极点作曲线的弦，求各位中点轨迹的极坐标方程.‎ ‎23.设函数.‎ ‎（1）当时，求的图象与直线围成的区域的面积；‎ ‎（2）若的最小值为，求的值.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: ADBDD 6-10: BCCAA 11、B 12：C 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）由已知 ‎，‎ 对称轴的方程为，即.‎ ‎（2）因为，则，所以，‎ ‎ 所以.‎ ‎18.（1）证明：连接，交于，由菱形性质，有，‎ 又平面平面，所以；‎ 所以平面，而平面，所以.‎ ‎（2）以为原点，为轴，为轴，过且垂直于平面，方向向上的直线为轴，‎ 建立空间直角坐标系，‎ 则，‎ ‎，则，‎ 则，令的平面的一个法向量，‎ 设直线与平面所成的角为，‎ 因为，所以.‎ ‎19.解：（1）由题意，甲乙丙在分钟以上且不超过分钟还车的概率分别为，‎ 设“甲乙两人所付费用之和等于丙所付费用”为事件,‎ 则；‎ ‎（2）随机变量所有可能取值有，‎ ‎ 则，‎ ‎，‎ 所以甲乙丙三人所付费用之和的分别为 所以 ‎ ‎20.解：（1）因为，所以，椭圆的方程为，‎ 将代入可得，所以椭圆的方程为；‎ ‎（2）若的斜率为零或不存在，易知,‎ 存在满足条件的，使成等差数列；‎ 若的斜率为，设的方程为，代入方程，‎ 化简得，‎ 设，则有，‎ 于是，‎ 同理，由于直线的斜率为，，‎ 同理，由于直线的斜率为，，‎ 所以，‎ 总之，存在满足条件，使得成等差数列.‎ ‎21.解：（1）因为，所以，‎ ‎ 所以，所以，此时，‎ 由得或，‎ 所以函数的单调递减区间为和；‎ ‎（2），‎ 若存在，使函数成立，只需时，，‎ 因为，‎ 若，则在时恒成立，所以在上单调递增，‎ ‎，所以，‎ 又，则在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以在上的最小值为，‎ 又，而，所以一定满足条件，‎ 综上，实数的取值范围是.‎ ‎22.解：（1）由题意可知，直线的直角坐标方程是，‎ 曲线的普通方程是，‎ 其圆心到直线的距离是，所求的弦长是.‎ ‎（2）从极点作曲线的弦，弦的中点的轨迹的参数方程为为参数）‎ 且，其普通方程为，‎ 极坐标方程，化简得.‎ ‎23.解：（1）当时 ‎，‎ 的图象与直线围成区域的面积为；‎ ‎（2）当，即时，‎ ‎ ，所以，‎ 当，即时，‎ ‎，所以，‎ 所以或.‎