2019届二轮复习　等差数列、等比数列作业（全国通用） 5页

专题限时集训(三)　等差数列、等比数列 ‎(建议用时：60分钟)‎ ‎(对应学生用书第91页)‎ 一、选择题 ‎1．(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　)‎ A．1 B．2 C．4 D．8‎ C　[设{an}的公差为d，则 由得解得d＝4.‎ 故选C．]‎ ‎2．设公比为q(q>0)的等比数列的前n项和为Sn，若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则a1等于(　　)‎ A．－2 B．－1 C． D． B　[S4－S2＝a3＋a4＝3a4－3a2 ，即3a2＋a3－2a4＝0，即3a2＋a2q－2a2q2＝0 ，即2q2－q－3＝0，解得q＝－1 (舍)或q＝，当q＝ 时，代入S2＝3a2＋2，‎ 得a1＋a1q＝3a1q＋2，解得a1＝－1，故选B．]‎ ‎3．(2018·莆田市3月质量检测)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S2＝a1＋2a3，a4＝1，则S4＝(　　)‎ A． B． ‎ C．14 D．15‎ D　[由S2＝a1＋2a3，得a1＋a2＝a1＋2a3，即a2＝2a3，又{an}为等比数列，所以公比q＝＝，又a4＝a1q3＝＝1，所以a1＝8.S4＝＝8×＝15.故选D．]‎ ‎4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1>0，a3＋a10>0，a6a7<0，则满足Sn ‎>0的最大自然数n的值为(　　)‎ A．6 B．7 ‎ C．12 D．13‎ C　[∵a1>0，a6a7<0，∴a6>0，a7<0，等差数列的公差小于零，又a3＋a10＝a1＋a12>0, a1＋a13＝2a7<0，∴S12>0，S13<0，∴满足Sn>0的最大自然数n的值为12.]‎ ‎5．(2018·衡水模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝5，Sm＝－11，Sm＋1＝21，则m等于(　　 )‎ A．3 B．4 ‎ C．5 D．6‎ C　[在等比数列中，因为Sm－1＝5，Sm＝－11，Sm＋1＝21，‎ 所以am＝Sm－Sm－1＝－11－5＝－16，am＋1＝Sm＋1－Sm＝32.则公比q＝＝＝－2，因为Sm＝－11，‎ 所以＝－11，①‎ 又am＋1＝a1(－2)m＝32，②‎ 两式联立解得m＝5，a1＝－1.]‎ ‎6．等差数列{an}中，是一个与n无关的常数，则该常数的可能值的集合为(　　)‎ A．{1} B． ‎ C． D． B　[＝＝，若a1＝d，则＝；若a1≠0，d＝0，则＝1.∵a1＝d≠0，∴≠0，∴该常数的可能值的集合为.]‎ ‎7．已知等比数列{an}中，a2a10＝6a6，等差数列{bn}中，b4＋b6＝a6，则数列{bn}的前9项和为(　　 )‎ A．9 B．27 ‎ C．54 D．72‎ B　[根据等比数列的基本性质有a2a10＝a＝6a6，a6＝6，所以b4＋b6＝a6＝6，所以S9＝＝＝27.]‎ ‎8．(2018·安阳模拟)正项等比数列{an}中，a2＝8,16a＝a1a5，则数列{an}的前n项积Tn中的最大值为(　　 )‎ A．T3 B．T4 ‎ C．T5 D．T6‎ A　[设正项等比数列{an}的公比为q(q＞0)，则16a＝a1a5＝a2a4＝8a4，a4＝，q2＝＝，又q＞0，则q＝，an＝a2qn－2＝8×＝27－2n，则Tn＝a1a2…an＝25＋3＋…＋(7－2n)＝2n(6－n)，当n＝3时，n(6－n)取得最大值9，此时Tn最大，即(Tn)max＝T3，故选A．]‎ 二、填空题 ‎9．已知公差不为0的等差数列{an}满足a1，a3，a4成等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，则的值为________．‎ ‎2　[根据等比中项有a＝a1·a4，即(a1＋2d)2＝a1(a1＋3d)，化简得a1＝－4d，＝＝＝＝2.]‎ ‎10．已知数列{an}满足a1＝－40，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n，则an取最小值时n的值为________．‎ ‎10或11　[由nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n＝2n(n＋1)，两边同时除以n(n＋1)，得－＝2，所以数列是首项为－40、公差为2的等差数列，所以＝－40＋(n－1)×2＝2n－42，所以an＝2n2－42n，对于二次函数f(x)＝2x2－42x，在x＝－＝－＝10.5时，f(x)取得最小值，因为n取正整数，且10和11到10.5的距离相等，所以n取10或11时，an取最小值．]‎ ‎11．已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，S10＝40，则a3·a8的最大值为________．‎ ‎16　[S10＝＝40⇒a1＋a10＝a3＋a8＝8，‎ a3·a8≤＝＝16，‎ 当且仅当a3＝a8＝4时“＝”成立．]‎ ‎12．已知函数{an}满足an＋1＋1＝，且a1＝1，则数列的前20项和为________．‎ ‎780　[由an＋1＋1＝得＝，即－＝2，∴数列是以为首项，2为公差的等差数列，则＝2n－，∴数列是以1为首项，4为公差的等差数列，其前20项的和为20＋10×19×4＝780.]‎ 三、解答题 ‎13．(2018·德阳二诊)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1 .‎ ‎(1)求证：数列{an＋1}为等比数列；‎ ‎(2)求数列的前n项和Tn.‎ ‎[解]　(1)∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)．‎ 又a1＝1，∴a1＋1＝2≠0，an＋1≠0.‎ ‎∴{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列．‎ ‎(2)由(1)知an＝2n－1，‎ ‎∴＝＝－，‎ ‎∴Tn＝－＋－＋…＋－＝1－.‎ ‎14．已知数列的前n项和为Sn，且Sn＝2an－3n(n∈N*)．‎ ‎(1)求a1，a2，a3的值；‎ ‎(2)是否存在常数λ，使得数列{an＋λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式an；若不存在，请说明理由．‎ ‎[解]　(1)当n＝1时，由S1＝2a1－3×1，得a1＝3；‎ 当n＝2时，由S2＝2a2－3×2，可得a2＝9；‎ 当n＝3时，由S3＝2a3－3×3，得a3＝21.‎ ‎(2)令(a2＋λ)2＝(a1＋λ)·(a3＋λ)，‎ 即(9＋λ)2＝(3＋λ)·(21＋λ)，解得λ＝3.‎ 由Sn＝2an－3n及Sn＋1＝2an＋1－3(n＋1)，‎ 两式相减，得an＋1＝2an＋3.‎ 由以上结论得an＋1＋3＝(2an＋3)＋3＝2(an＋3)，‎ 所以数列{an＋3}是首项为6，公比为2的等比数列，‎ 因此存在λ＝3，使得数列{an＋3}为等比数列，‎ 所以an＋3＝(a1＋3)×2n－1，‎ an＝3(2n－1)(n∈N*)．‎