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- 2021-06-11 发布
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课时作业47 椭圆
[基础达标]
一、选择题
1．[2020·福建省三明市第一中学周测]设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为( )
A．4 B．3
C．2 D．5
解析：连接PF2，由题意知，a＝5，在△PF1F2中，|OM|＝|PF2|＝3，
∴|PF2|＝6，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝10－6＝4.故选A.
答案：A
2．[2019·洛阳期中]“－3b>0)的左、右焦点，B为C的短轴的一个端点，直线BF1与C的另一个交点为A，若△BAF2为等腰三角形，则＝( )
A. B.
C. D．3
解析：
如图，不妨设点B在y轴的正半轴上，根据椭圆的定义，得|BF1|＋|BF2|＝2a，|AF1|＋|AF2|＝2a，由题意知|AB|＝|AF2|，|BF1|＝|BF2|＝a，所以|AF1|＝，|AF2|＝.所以＝.故选A.
答案：A
二、填空题
6．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.
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解析：由题意知|PF1|＋|PF2|＝2a，⊥，
所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，
所以(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝4c2，
所以2|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2，
所以|PF1||PF2|＝2b2，
所以S△PF1F2＝|PF1||PF2|＝×2b2＝b2＝9.
所以b＝3.
答案：3
7．[2020·湖北武汉调研测试]已知F为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点，O为坐标原点，M为线段OF的垂直平分线与椭圆C的一个交点，若cos∠MOF＝，则椭圆C的离心率为________．
解析：由题意知F(c,0)，则可设M.将M代入椭圆C的方程，得＋＝1，即b2＝y.设E为线段OF的垂直平分线与x轴的交点，则△MOE为直线三角形．由于cos∠MOF＝，所以不妨设＝3，则|OM|＝7，c＝6.由勾股定理可得|ME|＝|y0|＝＝2，即b21－＝40，得b2＝40.又a2－b2＝36，所以a4－85a2＋324＝0，解得a2＝81或a2＝4(舍去)，故a＝9，所以椭圆C的离心率e＝＝＝.
答案：
8．[2019·全国卷Ⅲ]设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．
解析：不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c＝＝4.因为△MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，设M(x，y)，
则得所以M的坐标为(3，)．
答案：(3，)
三、解答题
9．已知椭圆的两焦点为F1(－，0)，F2(，0)，离心率e＝.
(1)求此椭圆的方程；
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(2)设直线l：y＝x＋m，若l与此椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m的值．
解析：(1)设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则c＝，＝，所以a＝2，b＝1，所求椭圆方程为＋y2＝1.
(2)由消去y，得5x2＋8mx＋4(m2－1)＝0，则Δ>0，得m2<5.(*)
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，
|PQ|＝ ＝2.
解得m＝±，满足(*)，所以m＝±.
10．[2020·贵州适应性考试]设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，E的离心率为，点(0,1)是E上一点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，且＝2，求直线BF2的方程．
解析：(1)由题意知，b＝1，且e2＝＝＝，
解得a2＝2，所以椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)由题意知，直线AB的斜率存在且不为0，
故可设直线AB的方程为x＝my－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得(m2＋2)y2－2my－1＝0，
Δ＝5m2＋8>0恒成立．
则y1＋y2＝，①
y1y2＝－，②
因为F1(－1,0)，
所以＝(－1－x2，－y2)，＝(x1＋1，y1)，
由＝2可得，－y2＝2y1，③
由①②③可得B，
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则kBF2＝或－，
所以直线BF2的方程为
y＝x－或y＝－x＋.
[能力挑战]
11．[2020·广州综合测试]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，直线y＝x与C相交于A，B两点，且AF⊥BF，则C的离心率为( )
A. B.－1
C. D.－1
解析：由得到(3a2＋b2)x2＝a2b2，解得x＝±，分别代入y＝x，可得y＝±，不妨令A，B，
则＝，＝，因为AF⊥BF，所以·＝0，即c2－－＝0，即c2＝，又b2＝a2－c2，所以c2(3a2＋a2－c2)＝4a2(a2－c2)，整理得4a2c2－c4＝4a2(a2－c2)，两边同除以a4并整理得e4－8e2＋4＝0，解得e2＝4－2或e2＝4＋2(舍去)，由e2＝4－2可得e＝－1，选D.
答案：D
12．[2020·山东检测]已知椭圆C的两个焦点分别为F1(－1，0)，F2(1,0)，短轴的两个端点分别为M，N，左、右顶点分别为A1，A2，若△F1MN为等腰直角三角形，点T在椭圆C上且直线TA2斜率的取值范围是，那么直线TA1斜率的取值范围是( )
A．[1,2] B.
C．[－4，－2] D．[－2，－1]
解析：设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)．根据△F1MN为等腰直角三角形且F1(－1,0)，知解得则椭圆C的方程为＋y2＝1，A1(－，0)，A2(，0)．设T(x0，y0)(x0≠±)，则＋y＝1，得＝－.因为kTA2＝，kTA1＝，所以kTA2·kTA1＝·＝＝－
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eq f(1,2)，又≤kTA2≤，所以≤－≤，解得－4≤kTA1≤－2.故选C.
答案：C
13．[2020·山西月考]设F1、F2为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若△F2AB是面积为4的等边三角形，则椭圆C的方程为______________．
解析：∵△F2AB是面积为4的等边三角形，
∴AB⊥x轴，∴A，B两点的横坐标为－c，代入椭圆方程，可求得|F1A|＝|F1B|＝.
又|F1F2|＝2c，∠F1F2A＝30°，
∴＝×2c ①.
又S△F2AB＝×2c×＝4 ②，a2＝b2＋c2 ③，
由①②③解得a2＝9，b2＝6，c2＝3，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
答案：＋＝1
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