2019届二轮复习不等关系与不等式课件（58张）（全国通用） 58页

§7.1 　不等关系与不等式 第七章　 不等式 ZUIXINKAOGANG 最新考纲 1. 通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系 . 2 . 了解不等式 ( 组 ) 的实际背景 . NEIRONGSUOYIN 内容索引 基础 知识 自主学习 题型分类 深度 剖析 课时作业 1 基础知识 自主学习 PART ONE 1. 两个实数比较大小的方法 知识梳理 ZHISHISHULI > ＝ < > ＝ < 2. 不等式的基本性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 a > b ⇔ ____ ⇔ 传递性 a > b ， b > c ⇒ ____ ⇒ 可加性 a > b ⇔ __________ ⇔ 可乘性 ⇒ _____ 注意 c 的符号 ⇒ ______ b < a a > c a ＋ c > b ＋ c ac > bc ac < bc 同向可加性 ⇒ __________ ⇒ 同向同正可乘性 ⇒ ______ ⇒ 可乘方性 a > b >0 ⇒ _____ ( n ∈ N ， n ≥ 1) a ， b 同为正数 a ＋ c > b ＋ d ac > bd a n > b n 2. 两个同向不等式可以相加和相乘吗？ 提示　 可以相加但不一定能 相乘 ， 例如 2> － 1 ， － 1> － 3. 【 概念方法微思考 】 题组一　思考辨析 1. 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) 两个实数 a ， b 之间 ， 有 且只有 a > b ， a ＝ b ， a < b 三种关系中的一种 .( 　　 ) 基础自测 JICHUZICE 1 2 3 4 5 6 (3) 一个不等式的两边同加上或同乘以同一 个数 ， 不等号 方向不变 .( 　　 ) √ × √ × √ 题组二　教材改编 A. 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C. 充要条件 D . 既不充分也不必要条件 √ 1 2 3 4 5 6 3 . 设 b < a ， d < c ， 则 下列不等式中一定成立的是 A. a － c < b － d B. ac < bd C. a ＋ c > b ＋ d D. a ＋ d > b ＋ c 1 2 3 4 5 6 解析　 由同向不等式具有可加性可知 C 正确 . √ 4. 若 a > b >0 ， c < d <0 ， 则 一定有 1 2 3 4 5 6 题组三　易错自纠 解析　 ∵ c < d <0 ， ∴ 0< － d < － c ， 又 0< b < a ， ∴ － bd < － ac ， 即 bd > ac ， 又 ∵ cd >0 ， √ 5. 设 a ， b ∈ R ， 则 “ a >2 且 b >1 ” 是 “ a ＋ b >3 且 ab >2 ” 的 A. 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C. 充要条件 D . 既不充分也不必要条件 解析　 若 a >2 且 b >1 ， 则 由不等式的同向可加性可得 a ＋ b >2 ＋ 1 ＝ 3 ， 由 不等式的同向同正可乘性可得 ab >2 × 1 ＝ 2 . 即 “ a >2 且 b >1 ” 是 “ a ＋ b >3 且 ab >2 ” 的充分条件 ； 反之 ， 若 “ a ＋ b >3 且 ab >2 ” ， 则 “ a >2 且 b >1 ” 不一定 成立 ， 所以 “ a >2 且 b >1 ” 是 “ a ＋ b >3 且 ab >2 ” 的充分不必要条件 . 故选 A. 1 2 3 4 5 6 √ 得－ π< α － β <0. 1 2 3 4 5 6 ( － π ， 0 ) 2 题型分类　深度剖析 PART TWO 题型一　比较两个数 ( 式 ) 的大小 A. p < q B. p ≤ q C. p > q D. p ≥ q √ 师生共研 因为 a <0 ， b <0 ， 所以 a ＋ b <0 ， ab >0 . 若 a ＝ b ， 则 p － q ＝ 0 ， 故 p ＝ q ； 若 a ≠ b ， 则 p － q <0 ， 故 p < q . 综 上 ， p ≤ q . 故选 B. (2) 已知 a > b >0 ， 比较 a a b b 与 a b b a 的大小 . 又 a b b a >0 ， ∴ a a b b > a b b a ， ∴ a a b b 与 a b b a 的大小关系为： a a b b > a b b a . 比较大小的常用方法 (1) 作差法： ① 作差； ② 变形； ③ 定号； ④ 结论 . (2) 作商法： ① 作商； ② 变形； ③ 判断商与 1 的大小关系； ④ 结论 . (3) 函数的单调性法 . 思维升华 跟踪训练 1 　 (1) 已知 p ∈ R ， M ＝ (2 p ＋ 1)( p － 3 ) ， N ＝ ( p － 6)( p ＋ 3) ＋ 10 ， 则 M ， N 的大小关系为 _____. 解析　 因为 M － N ＝ (2 p ＋ 1)( p － 3) － [( p － 6)( p ＋ 3) ＋ 1 0 ] ＝ p 2 － 2 p ＋ 5 ＝ ( p － 1) 2 ＋ 4>0 ， 所以 M > N . M > N (2) 若 a >0 ， 且 a ≠ 7 ， 则 A.7 7 a a <7 a a 7 B.7 7 a a ＝ 7 a a 7 C.7 7 a a >7 a a 7 D.7 7 a a 与 7 a a 7 的大小不确定 √ 综上 ， 7 7 a a >7 a a 7 . 题型二　不等式的性质 例 2 　 (1) 对于任意实数 a ， b ， c ， d ， 下列命题中正确的是 A. 若 a > b ， c ≠ 0 ， 则 ac > bc B. 若 a > b ， 则 ac 2 > bc 2 C. 若 ac 2 > bc 2 ， 则 a > b √ 师生共研 解析 　 对于选项 A ， 当 c <0 时 ， 不 正确； 对于选项 B ， 当 c ＝ 0 时 ， 不 正确； 对于选项 C ， ∵ ac 2 > bc 2 ， ∴ c ≠ 0 ， ∴ c 2 >0 ， ∴ 一定有 a > b . 故选项 C 正确； 对于选项 D ， 当 a >0 ， b <0 时 ， 不 正确 . 又正数大于 负数 ， 所以 ① 正确 . ①②④ 常用方法：一是用性质逐个验证；二是用特殊值法排除 . 利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件 . 思维升华 跟踪训练 2 　 (1) 已知 a ， b ， c 满足 c < b < a ， 且 ac <0 ， 那么 下列选项中一定成立的是 A. ab > ac B. c ( b － a )<0 C. cb 2 < ab 2 D. ac ( a － c )>0 解析　 由 c < b < a 且 ac <0 ， 知 c <0 且 a >0. 由 b > c ， 得 ab > ac 一定成立 . √ 所以 a ＋ b < ab ， | a |<| b | ， 在 b < a 两边同时乘以 b ， 因为 b <0 ， 所以 ab < b 2 . 因此正确的是 ①④ . ①④ 题型三　不等式性质的应用 命题点 1 　应用性质判断不等式是否成立 多维探究 例 3 　 已知 a > b >0 ， 给 出下列四个不等式： ① a 2 > b 2 ； ② 2 a >2 b － 1 ； ； ④ a 3 ＋ b 3 >2 a 2 b . 其中一定成立的不等式为 A. ①②③ B . ①②④ C. ①③④ D . ②③④ √ 解析　 方法一　由 a > b >0 可得 a 2 > b 2 ， ① 成立； 由 a > b >0 可得 a > b － 1 ， 而 函数 f ( x ) ＝ 2 x 在 R 上是 增函数 ， ∴ f ( a )> f ( b － 1 ) ， 即 2 a >2 b － 1 ， ② 成立； 若 a ＝ 3 ， b ＝ 2 ， 则 a 3 ＋ b 3 ＝ 35 ， 2 a 2 b ＝ 36 ， a 3 ＋ b 3 <2 a 2 b ， ④ 不成立 . 故选 A. 方法二　令 a ＝ 3 ， b ＝ 2 ， 可以得到 ① a 2 > b 2 ， ② 2 a >2 b － 1 ， 而 ④ a 3 ＋ b 3 >2 a 2 b 不 成立 ， 故 选 A. 解析　 ∵ － 1< x <4 ， 2< y <3 ， ∴ － 3< － y < － 2 ， ∴ － 4< x － y <2. 由－ 1< x <4 ， 2< y <3 ， 得 － 3<3 x <12 ， 4<2 y <6 ， ∴ 1<3 x ＋ 2 y <18. 命题点 2 　求代数式的取值范围 例 4 　 已知 － 1< x <4 ， 2< y <3 ， 则 x － y 的取值范围是 ________ ， 3 x ＋ 2 y 的取值范围 是 ________. ( － 4 ， 2 ) ( 1 ， 18 ) 若将本例条件改为－ 1< x ＋ y <4 ， 2< x － y <3 ， 求 3 x ＋ 2 y 的取值范围 . 引申探究 解　 设 3 x ＋ 2 y ＝ m ( x ＋ y ) ＋ n ( x － y ) ， 又 ∵ － 1< x ＋ y <4 ， 2< x － y <3 ， (1) 判断不等式是否成立的方法 ① 逐一给出推理判断或反例说明 . ② 结合不等式的 性质 ， 对数函数 、指数函数的性质进行判断 . (2) 求代数式的取值范围 一般是利用整体 思想 ， 通过 “ 一次性 ” 不等关系的运算求得整体范围 . 思维升华 跟踪训练 3 (1) 若 a < b <0 ， 则 下列不等式一定成立的是 解析　 ( 特值法 ) 取 a ＝－ 2 ， b ＝－ 1 ， 逐个检验 ， 可知 A ， B ， D 项均不正确； ⇔ | a || b | ＋ | b |<| a || b | ＋ | a | ⇔ | b |<| a | ， ∵ a < b <0 ， ∴ | b |<| a | 成立 ， 故 选 C. √ (2) 已知－ 1< x < y <3 ， 则 x － y 的取值范围 是 ________. 解析　 ∵ － 1< x <3 ， － 1< y <3 ， ∴ － 3< － y <1 ， ∴ － 4< x － y <4. 又 ∵ x < y ， ∴ x － y <0 ， ∴ － 4< x － y <0 ， 故 x － y 的取值范围为 ( － 4 ， 0 ). ( － 4 ， 0 ) 3 课时作业 PART THREE 1 . 下列命题 中 ， 正确 的是 A. 若 a > b ， c > d ， 则 ac > bd B. 若 ac > bc ， 则 a > b D . 若 a > b ， c > d ， 则 a － c > b － d 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 基础 保分练 解析　 A 项 ， 取 a ＝ 2 ， b ＝ 1 ， c ＝－ 1 ， d ＝－ 2 ， 可知 A 错误； B 项 ， 当 c <0 时 ， ac > bc ⇒ a < b ， 所以 B 错误； D 项 ， 取 a ＝ c ＝ 2 ， b ＝ d ＝ 1 ， 可知 D 错误 ， 故 选 C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　 由题意 知 ， b < a <0 ， ∵ b < a <0 ， ∴ e a >e b >0 ， － b > － a >0 ∴ － b e a > － a e b ， ∴ a e b > b e a ， 故 选 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 3. 若 a > b >0 ， 则 下列不等式中一定成立的是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　 取 a ＝ 2 ， b ＝ 1 ， 排除 B 与 D ； 所以 ， 当 a > b >0 时 ， f ( a )> f ( b ) 必定 成立 ， 4. 已知 x > y > z ， x ＋ y ＋ z ＝ 0 ， 则 下列不等式成立的是 A. xy > yz B. xz > yz C. xy > xz D. x | y |> z | y | 解析　 ∵ x > y > z 且 x ＋ y ＋ z ＝ 0 ， ∴ 3 x > x ＋ y ＋ z ＝ 0 ， 3 z < x ＋ y ＋ z ＝ 0 ， ∴ x >0 ， z <0 ， 又 y > z ， ∴ xy > xz . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5. 设 x >0 ， P ＝ 2 x ＋ 2 － x ， Q ＝ (sin x ＋ cos x ) 2 ， 则 A. P > Q B. P < Q C. P ≤ Q D. P ≥ Q √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又 (sin x ＋ cos x ) 2 ＝ 1 ＋ sin 2 x ， 而 sin 2 x ≤ 1 ， 所以 Q ≤ 2. 于是 P > Q . 故选 A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵ a ＋ b >0 ， ( a － b ) 2 ≥ 0 ， 8. 已知有三个条件： ① ac 2 > bc 2 ； ② > ； ③ a 2 > b 2 ，其中能成为 a > b 的充分条件的是 ___. ① 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　 由 ac 2 > bc 2 可知 c 2 >0 ，即 a > b ，故 “ ac 2 > bc 2 ” 是 “ a > b ” 的充分条件 ； ② 当 c <0 时， a < b ； ③ 当 a <0 ， b <0 时， a < b ，故 ②③ 不是 a > b 的充分条件 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 已知 a ， b ， c ， d 均为实数，有下列命题： ①②③ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　 ∵ ab >0 ， bc － ad >0 ， ∴ bc － ad >0 ， ∴② 正确； ∴ ab >0 ， ∴③ 正确 . 故 ①②③ 都正确 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 T 1 < T 2 解析　 T 1 － T 2 ＝ (cos 1cos α － sin 1sin α ) － (cos 1cos α ＋ sin 1sin α ) ＝－ 2sin 1sin α <0 . 故 T 1 < T 2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 证明　 ∵ c > a > b >0 ， ∴ c － a >0 ， c － b >0. 解　 因为 1< a <4 ， 2< b <8 ， 所以－ 8< － b < － 2. 所以 1 － 8< a － b <4 － 2 ， 即－ 7< a － b <2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 技能提升练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二　 ( 单调性法 ) ： 0< b < a ⇒ b 2 < ab ， A 不对； y ＝ x 在 (0 ，＋ ∞ ) 上为减函数 ， ∴ b > a ， B 不对 ； a > b >0 ⇒ a 2 > ab ， D 不对，故选 C. A. a < b < c B. c < b < a C. c < a < b D. b < a < c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 易知当 x >e 时，函数 f ( x ) 单调递减 . 因为 e<3<4<5 ，所以 f (3)> f (4)> f (5) ，即 c < b < a . 所以 b > c . 即 c < b < a . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓展冲刺练 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　 方法一　因为实数 x ， y 满足 a x > a y (0< a <1) ， 所以 x < y . 对于 A ，取 x ＝ 0 ， y ＝ 3 ，不成立； 对于 B ，取 x ＝－ π ， y ＝ π ，不成立； 对于 C ，由于 f ( x ) ＝ x 3 在 R 上单调递增，故 x 3 < y 3 成立； 对于 D ，取 x ＝－ 2 ， y ＝ 1 ，不成立 . 故选 C. 方法二　根据指数函数的性质得 x < y ，此时 x 2 ， y 2 的大小不确定，故选项 A ， D 中的不等式不恒成立 ； 根据 三角函数的性质，选项 B 中的不等式也不恒成立 ； 根据 不等式的性质知，选项 C 中的不等式成立 .