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  • 2021-06-11 发布

高考数学专题复习:复数代数形式的加、减运算及其几何意义

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‎3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义 一、选择题 ‎1、复平面内点A、B、C对应的复数分别为i、1、4+2i,由A→B→C→D按逆时针顺序 作平行四边形ABCD,则||等于(  )‎ A.5 B. C. D. ‎2、若|z-1|=|z+1|,则复数z对应的点在(  )‎ A.实轴上 B.虚轴上 C.第一象限 D.第二象限 ‎3、设向量、、对应的复数分别为z1、z2、z3,那么(  )‎ A.z1+z2+z3=0 B.z1-z2-z3=0‎ C.z1-z2+z3=0 D.z1+z2-z3=0‎ ‎4、在复平面内,O是原点,,,表示的复数分别为-2+i,3+2i,1+5i,则表 示的复数为(  )‎ A.2+8i B.-6-6i C.4-4i D.-4+2i ‎5、若z+3-2i=4+i,则z等于(  )‎ A.1+i B.1+3i C.-1-i D.-1-3i ‎6、设m∈R,复数z=(‎2m2‎+3i)+(m-m2i)+(-1+‎2mi),若z为纯虚数,则m等于(  )‎ A.-1 B.‎3 ‎‎ C. D.-1或3‎ 二、填空题 ‎7、设复数z满足条件|z|=1,那么|z+2+i|的最大值是________.‎ ‎8、在复平面上,复数-3-2i,-4+5i,2+i,z分别对应点A,B,C,D,且ABCD为 平行四边形,则z=________.‎ ‎9、(2x+3yi)-(3x-2yi)+(y-2xi)-3xi=____________.(x,y∈R)‎ 三、解答题 ‎10、若z∈C,且|z|=1,求|z-i|的最大值.‎ ‎11、已知ABCD是复平面内的平行四边形,且A,B,C三点对应的复数分别是1+3i,‎ ‎-i,2+i,求点D对应的复数.‎ ‎12、已知复数z满足z+|z|=2+8i,求复数z.‎ ‎13、计算 ‎(1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i);‎ ‎(2)5i-[(3+4i)-(-1+3i)];‎ ‎(3)(a+bi)-(‎2a-3bi)-3i (a,b∈R).‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、B [由复数加法的几何意义,知=+.‎ ‎∵对应的复数为zA-zB=i-1,对应的复数为zC-zB=(4+2i)-1=3+2i,‎ ‎∴对应的复数为(i-1)+(3+2i)=2+3i.‎ ‎∴||==.]‎ ‎2、B [∵|z-1|=|z+1|,‎ ‎∴点Z到(1,0)和(-1,0)的距离相等,即点Z在以(1,0)和(-1,0)为端点的线段的中垂线上.]‎ ‎3、D [∵+-=-=0,‎ ‎∴z1+z2-z3=0.]‎ ‎4、C [=-=-(+)‎ ‎=(3,2)-(1,5)-(-2,1)=(4,-4).]‎ ‎5、B [z=(4+i)-(3-2i)=1+3i.]‎ ‎6、C [z=(‎2m2‎+m-1)+(3+‎2m-m2)i.‎ 令,得m=.]‎ 二、填空题 ‎7、4‎ 解析 复数z满足条件|z|=1,z所对应的点的轨迹是单位圆,而|z+2+i|即表示单位 圆上的动点到定点(-2,-1)的距离.‎ 从图形上可得|z+2+i|的最大值是4.‎ ‎8、3-6i 解析 由于=,‎ ‎∴2+i-z=(-4+5i)-(-3-2i),‎ ‎∴z=3-6i.‎ ‎9、(y-x)+5(y-x)i 解析 原式=(2x-3x+y)+(3y+2y-2x-3x)i ‎=(y-x)+5(y-x)i.‎ 三、解答题 ‎10、解 方法一 设z=a+bi(a,b∈R),‎ 则|z-i|=.‎ ‎∵a2+b2=1,∴|z-i|=.‎ 又∵|b|≤1,∴0≤2-2b≤4,‎ ‎∴当b=-1时,|z-i|=2为最大值.‎ 方法二 因为|z|=1,所以点Z是单位圆x2+y2=1上的点,|z-i|=表示点Z 与点(0,1)之间的距离,当点Z位于(0,-1)时,|z-i|有最大值2.‎ ‎11、解 方法一 设D点对应复数为x+yi (x,y∈R),‎ 则D(x,y),又由已知A(1,3),B(0,-1),C(2,1).‎ ‎∴AC中点为,BD中点为.‎ ‎∵平行四边形对角线互相平分,‎ ‎∴,∴.‎ 即点D对应的复数为3+5i.‎ 方法二 设D点对应的复数为x+yi (x,y∈R).‎ 则对应的复数为(x+yi)-(1+3i)=(x-1)+(y-3)i,又对应的复数为(2+i)-(-i)‎ ‎=2+2i,由已知=.‎ ‎∴(x-1)+(y-3)i=2+2i.‎ ‎∴,∴.‎ 即点D对应的复数为3+5i.‎ ‎12、解 方法一 设z=a+bi(a,b∈R),‎ 则|z|=,‎ 代入方程得a+bi+=2+8i.‎ ‎∴,解得.‎ ‎∴z=-15+8i.‎ 方法二 原式可化为:z=2-|z|+8i,‎ ‎∵|z|∈R,∴2-|z|是z的实部.‎ 于是|z|=,‎ 即|z|2=68-4|z|+|z|2,‎ ‎∴|z|=17.‎ 代入z=2-|z|+8i 得:z=-15+8i.‎ ‎13、解 (1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i)‎ ‎=(4-2i)-(5+6i)=-1-8i.‎ ‎(2)5i-[(3+4i)-(-1+3i)]=5i-(4+i)‎ ‎=-4+4i.‎ ‎(3)(a+bi)-(‎2a-3bi)-3i ‎=(a-‎2a)+[b-(-3b)-3]i=-a+(4b-3)i.‎

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