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- 2021-06-11 发布
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2019-2020年大同中学高三上10月月考数学卷
一.填空题
1.不等式的解集是________
【答案】
【解析】
【分析】
转化为两个不等式组可解得.
【详解】因为,
所以或,
解得.
故答案为:.
【点睛】本题考查了分式不等式解法,属于基础题.
2.已知数列为等差数列,若,则________
【答案】
【解析】
【分析】
利用等差数列的性质,转化为进行计算可得.
【详解】因为,
根据等差数列的性质可得,,所以,
所以.
故答案为:.
【点睛】本题考查了等差数列的性质,属于基础题.
3.若,,且为纯虚数,则实数=________
【答案】8
【解析】
【分析】
根据复数的除法运算化简复数,然后令实部为0,虚部不为0可得.
【详解】因为为纯虚数,
所以且 ,即.
故答案为:8
【点睛】本题考查了复数的除法运算,纯虚数的概念,属于基础题.
4.幂函数的图象经过点,则它的单调减区间为________
【答案】
【解析】
【分析】
将点代入,解得,从而可得幂函数的单调递减区间.
【详解】依题意得,,即,
所以,
所以的解析式为:,
所以单调递减区间为.
故答案为: .
【点睛】本题考查了幂函数的单调区间,属于基础题.
5.已知,,则=_____
【答案】
【解析】
【分析】
,然后由两角和的正切公式可得.
【详解】根据两角和的正切公式可得:
.
故答案为:.
【点睛】本题考查了两角和的正切公式,属于基础题.解题关键是将拆成两个已知角之和.
6.设实数、满足,则最大值为________
【答案】2
【解析】
【分析】
作出可行域后,观察图象利用直线的纵截距最大找到最优解,代入即可求得.
【详解】作出不等式所表示的平面区域,如图:
令,则,
要使最大,即直线的纵截距最大,观察图象可知,最优解为,
所以的最大值为.
故答案为:2
【点睛】本题考查了利用线性规划求目标函数的最大值.
7.正四面体相邻两侧面所成角的大小为________
【答案】
【解析】
【分析】
转化为侧面与底面所成角,取底面中心,连,延长交与,连,则可得为二面角的平面角,然后在直角三角形中计算可得.
【详解】如图:
因为正四面体的相邻两个侧面所成的角和侧面与底面所成的角相等,
所以只需求侧面与底面所成角的大小,
设正四面体的棱长为1,底面中心为,连,则平面,
,连,并延长交于,则,连,则,且为的中点,
所以就是侧面与底面所成二面角的平面角,
因为,
所以,
所以直角三角形中,
所以.
故答案为:.
【点睛】本题考查了二面角的求法,解题关键是利用三垂线定理作出平面角,属于基础题.
8.从8名女生和4名男生中选出6名学生组成课外活动小组,则按4位女生和2位男生组成课外活动小组的概率为________
【答案】
【解析】
【分析】
根据排列组合知识求出基本事件总数和所求事件的总数后,利用古典概型概率公式可得.
【详解】从8名女生和4名男生中选出6名学生组成课外活动小组,总共有,
按4位女生和2位男生组成课外活动小组共有,
根据古典概型概率公式得所求概率为:.
故答案为:.
【点睛】本题考查了排列组合以及古典概型的概率公式,属于中档题.
9.已知F是抛物线的焦点,M是这条抛物线上的一个动点,P(3,1)是一个定点,则的最小值是 .
【答案】
【解析】
试题分析:设点在准线上的射影为,则根据抛物线定义可得:,所以
的最小值,即为的最小值,当三点共线时最小,其值为,故答案为.
考点:1.抛物线定义;2.抛物线的最值问题.
【方法点晴】本题主要考查的是抛物线定义以及最值问题,属于中档题.解题时一定注意点的位置,该题点在抛物线内,利用抛物线的定义,转化为求的最小值,若点在抛物线外,比如为,根据图象可得最小距离为,所以在解此类题时一定注意判断点与抛物线的位置关系.
10.已知函数,数列满足,,则的值为________
【答案】6
【解析】
【分析】
根据为递增函数可得,再根据为等比数列,可求得,最后由的表达式可求得.
【详解】因为函数为递增函数,且,
所以,又,
所以数列是首项为,公比为的等比数列,
所以,
所以.
故答案为:.
【点睛】本题考查了函数的单调性,等比数列的通项公式,属于中档题.
11.已知正方形的四个项点分别为,,,,点、分别在线段、上运动,且,设与交于点,则点的轨迹方程是________
【答案】
【解析】
【分析】
设,则,然后写出两条直线的方程,联立解得点的坐标,然后消去参数可得.
【详解】如图:
设,则,
所以直线的方程为:,
直线的方程为:,
联立解得消去得,
所以点的轨迹方程是.
故答案为.
【点睛】本题考查了交轨法求曲线的轨迹方程,易错警示是容易遗漏范围,属于中档题.
12.平面直角坐标系中,为单位向量,向量满足,其中为正常数,若对任意实数成立,则的取值范围是________
【答案】.
【解析】
【分析】
将两边平方后,化为关于的一元二次不等式恒成立,由判别式小于等于零,再解关于的不等式可得.
【详解】由两边平方得,
得对任意实数都成立,
所以,
所以,
所以,
所以,
因为,
所以,
所以,
故答案为: .
【点睛】本题考查了平面向量的数量积以及一元二次不等式恒成立问题,属于中档题.
二.选择题
13.已知,,则是的( )条件
A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充分必要 D. 既非充分又非必要
【答案】A
【解析】
【分析】
解出两个不等式的解集,根据真子集关系可得.
【详解】因为;
,
又Ü,
所以命题是的充分非必要条件,
故选.
【点睛】本题考查了充分非必要条件,对数不等式和一元二次不等式的解法,属于基础题.
14.已知的反函数为,则的定义域为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据原函数的定义域是反函数值域,只需求反函数的值域即可得到.
【详解】因为的反函数为,
所以的定义域为的值域,
因为,
所以,
即的值域为,
所以的定义域为.
故选.
【点睛】本题考查了原函数与其反函数的定义域和值域的关系,属于基础题.
15.设函数,方程有且只有两个不相等实数根,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
将方程根的问题转化为函数图象的交点问题解决即可.
【详解】因为方程有且只有两个不相等实数根,所以函数与函数图象有且只有两个交点,
函数的图象如下:
由图可知:.
故选.
【点睛】本题考查了由方程实根的个数求参数取值范围,解题关键是转化为两个函数图象的交点个数问题解决,属于中档题.
16.对于数集,其中,,定义向量集,若对任意,存在,使得,若,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
取,设,满足,根据向量数量积运算,结合,
可得中必有一个另一个为,再通过反证法假设,推出矛盾,即可得到.
【详解】取,,设,满足,可得,即,
因为,所以,所以异号,
因为是数集中的唯一一个负数,所以中负数必为,另一个数为,
假设,其中,则,
再取,设,满足,可得,
所以异号,其中一个为,
①若,则,矛盾;
②若,则,矛盾;
说明假设不成立,由此可得当时,.
故选.
【点睛】本题考查了平面向量的数量积的坐标运算以及反证法,属于中档题.
三.解答题
17.设,为常数.
(1)试判断函数奇偶性;
(2)若对于任意,的值域为,求实数的集合.
【答案】(1)奇函数;(2).
【解析】
【分析】
(1)利用奇函数的定义判断可得;
(2)对分两种情况和讨论,求出最小值与已知值域比较可得.
【详解】(1)因为,所以,定义域为
,
所以,
所以函数为奇函数.
(2)因为,
当时,为上的递增函数,所以时,,
解得;
当时,,值域不可能为,
所以.
综上所示:.
【点睛】本题考查了函数的奇偶性的判断,利用单调性求函数的最小值,属于中档题.
18.已知向量和向量,且∥.
(1)求函数的最小正周期和最大值;
(2)已知△的三个内角分别为,,,若有,,求△面积的最大值.
【答案】(1)最小正周期为,最大值为2;(2).
【解析】
【分析】
(1)利用向量平行的坐标表示可得的表达式,然后可求出最小正周期和最大值;
(2)利用(1)中的以及可解得,再根据余弦定理可得以及重要不等式可得 ,再利用面积公式可得.
【详解】(1)因为 向量和向量,且∥.
所以,
所以,
所以最小正周期,最大值为2.
(2)由(1)知,所以,
所以,
因为,所以,所以,
所以,
在三角形中,设三个内角分别为,,所对的边为,
由余弦定理得,
所以,
所以(当时等号成立),
所以,
所以△面积.
所以△面积的最大值为.
【点睛】本题考查了向量平行的坐标表示,三角函数的最小正周期,最大值,余弦定理,重要不等式,面积公式,属于中档题.
19.图(1)为东方体育中心,其设计方案侧面外轮廓线如图(2)所示;曲线是以点为圆心的圆的一部分,其中,曲线是抛物线的一部分;且恰好等于圆的半径,与圆相切且.
(1)若要求米,米,求与的值;
(2)当时,若要求不超过45米,求的取值范围.
【答案】(1),;(2).
【解析】
【分析】
(1)根据圆的半径,求出的值,再利用圆的方程求出点的坐标,代入抛物线方程可求出的值;
(2)根据圆的半径,利用抛物线方程求出的值,写出的表达式,求在上时,恒成立即可.
【详解】(1)依题意得,所以所以,
此时圆,
令,得,
所以,所以,
将点代入中,解得,
综上:.
(2)因为圆的半径为,所以,
将代入可得,所以,
在中,令,解得,
所以对任意恒成立,
所以对任意恒成立,
令(,则,
因为时,,
所以为单调递减函数,
所以时,函数取得最小值,
所以,
解得.
所以的取值范围是.
【点睛】本题考查了圆的方程,抛物线方程,不等式恒成立,利用函数单调性求最值,本题属于中档题.
20.给定椭圆,称圆心在坐标原点,半径为的圆是椭圆的“伴椭圆”,若椭圆右焦点坐标为,且过点.
(1)求椭圆的“伴椭圆”方程;
(2)在椭圆的“伴椭圆”上取一点,过该点作椭圆的两条切线、,证明:两线垂直;
(3)在双曲线上找一点作椭圆的两条切线,分别交于切点、使得,求满足条件的所有点的坐标.
【答案】(1);(2)证明见解析;(3)或或或.
【解析】
【分析】
(1) 利用和联立解方程可得;
(2) 设切线方程为:,代入椭圆的方程,利用判别式等于0,可得关于斜率的一元二次方程,利用韦达定理可得斜率之积为,从而可证两条切线垂直;
(3) 设经过点与椭圆相切的直线为:,代入椭圆的方程,利用判别式为0, 可得关于斜率的一元二次方程,然后根据斜率之积为可得点的轨迹方程为,最后联立此方程与双曲线方程可解得的坐标即可.
【详解】(1)依题意可得,,所以,①
又椭圆过点,所以 ②
由①②可得,
椭圆的“伴椭圆”方程为:.
(2)由(1)可得椭圆,
设切线方程为:,将其代入椭圆,消去并整理得:
,
由,
得,
设,的斜率为,则,
所以两条切线垂直.
(3)当两条切线的斜率存在时,设经过点与椭圆相切的直线为:,
则
消去并整理得,,
所以,
经过化简得到:,
设两条切线的斜率分别为,
则,
因为,所以,所以,
所以,
所以,
当两条切线的斜率不存在时,也满足,
所以的轨迹为椭圆的”伴随圆”,其方程为:,
联立,解得,
所以或或或,
所以满足条件的所有点的坐标为: 或或或.
【点睛】本题考查了直线与椭圆相切的位置关系,圆的方程 ,韦达定理,两条直线垂直关系,运算求解能力,设直线方程时,要注意讨论斜率是否存在,本题属于难题.
21.已知整数满足,定义,.
(1)求证:;
(2)若为等比数列,公比为,且,求;
(3)若,求的最小值.
【答案】(1)证明见解析;(2)若,,若,;(3).
【解析】
【分析】
(1)作差、分解因式后利用已知可证;
(2)根据等比数列的性质得,,,,,代入可得,再用等比数列的前项和公式可求得;
(3)对利用完全平方公式变形,再利用,,放缩后配方可得.
【详解】(1) 证明:
,
因为,
所以,
故.
(2) 若为等比数列,则根据等比数列的性质可得:,,,,,
所以
=
,
所以,
①当时,,
②当时,
.
(3)因为,
所以,
因为,,,所以
,
所以,等号成立的条件为: ,或,(不唯一).
所以的最小值为.
【点睛】本题考查了等比数列前项公式,放缩法,二次函数求最小值,属于难题.