甘肃省河西五市部分普通高中2020届高三第一次联合考试数学文科试卷 18页

‎2020年1月甘肃省河西五市部分普通高中高三第一次联合考试 数学试卷（文科）‎ 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简集合，进而求并集即可.‎ ‎【详解】由题意可得，，‎ 所以，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查集合的并集运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.‎ ‎2.已知角的终边经过点，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. -2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出到原点的距离，进而可求的值.‎ ‎【详解】解：由题意知，到原点的距离 ，‎ 所以.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查了已知角的三角函数值的求解.当已知角 终边上一点的坐标为 ，则代入公式 ，其中即可.‎ ‎3.已知，为单位向量，且满足，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平面向量的数量积定义及乘法运算,即可求得 ‎【详解】因为 则 由向量数量积的定义可得 ‎,为单位向量 则 即 由向量夹角的取值范围为 可得 故选:C ‎【点睛】本题考查了向量数量积的定义,向量的夹角求法,属于基础题.‎ ‎4.《周髀算经》是我国古代的天文学和数学著作.其中有一个问题大意为：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（即太阳照射物体影子的长度增加和减少大小相同）.‎ 二十四个节气及晷长变化如图所示，若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸（注：一丈等于十尺，一尺等于十寸），则夏至后的那个节气（小暑）晷长为（ ）‎ A. 五寸 B. 二尺五寸 C. 三尺五寸 D. 四尺五寸 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意知，从夏至到冬至，冕长组成了等差数列，其中，，结合等差数列通项公式，可求公差，进而可求小暑晷长.‎ ‎【详解】解：设从夏至到冬至，每个节气冕长为，即夏至时冕长为，冬至时冕长为，‎ 由每个节气晷长损益相同可知，常数，所以 为等差数列，设公差为，‎ 由题意知，，解得，则.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的定义，考查了等差数列的通项公式的求解及应用.本题的关键是将各个节气的冕长抽象成等差数列.‎ ‎5.将函数的图像上所有的点向右平移个单位长度，再把图形上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图像的解析式为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角函数平移伸缩的变换求解即可.‎ ‎【详解】将函数的图像上所有的点向右平移个单位长度得到 ‎.再把图形上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变）则变成.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查了三角函数图像的变换,属于基础题型.‎ ‎6.已知函数，是的导函数，则函数的图像大致为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为，显然是奇函数，求导易得在R上单调递增.‎ ‎【详解】因为，显然是奇函数，‎ 又,所以在R上单调递增.只有C符合,‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查了函数的奇偶性以及利用导数判断函数的单调性,属中档题.‎ ‎7.等比数列中，，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等比数列的通项公式,结合充分必要条件的判断即可得解.‎ ‎【详解】因为为等比数列,‎ 若,即,可得 解得或.‎ 则 当时, ;当时, ,所以“”是“”非充分条件 若,则,即,解得 故,所以“”是“”的必要条件 综上可知, “”是“”的必要不充分条件 故选:B ‎【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的简单应用,充分必要条件的判断,属于基础题.‎ ‎8.若是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用空间线面、面面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解．‎ 详解】对于A中，若，则，所以不正确；‎ 对于B中，若，则与的关系不能确定，所以不正确；‎ 对于C中，若，则与的关系不能确定，所以不正确；‎ 对于D中，若，可得，又由，可得，所以是正确的．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了空间线面、面面位置关系的判定定理与性质定理，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理与性质定理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题．‎ ‎9.已知，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数与对数的转化,结合指数与对数的图像与性质,即可比较大小.‎ ‎【详解】因为.由指数与对数的转化可知,‎ 根据对数函数的图像与性质可得 因为,由指数函数的图像可知 ‎ 因为,由对数函数的图像与性质可知 综上可知, ‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查了指数式与对数式的转化,指数函数与对数函数的图像与性质,属于基础题.‎ ‎10.已知，为双曲线的左、右焦点，直线与双曲线的一个交点在以线段为直径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题意得到，不妨令在第一象限内，再得到为等边三角形，求出，，结合双曲线的定义，即可求出结果.‎ ‎【详解】因为直线与双曲线的一个交点在以线段为直径的圆上，‎ 所以，不妨令在第一象限内，‎ 又为中点，，所以，‎ 因为直线的倾斜角为，‎ 所以为等边三角形，所以，‎ 因此，在中，，‎ 由双曲线的定义可得：，‎ 所以双曲线的离心率为.‎ 故选C ‎【点睛】本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质以及双曲线的定义即可，属于常考题型.‎ ‎11.已知，为正实数，直线与曲线相切，则的最小值为（ ）‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 4 D. 8‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直线与曲线相切，则切点在直线与曲线上，且切点处的导数相等，求出 的关系，再利用基本不等式求所求分式的最值.‎ ‎【详解】由得；由得；‎ 因为与曲线相切，‎ 令，则可得，代入得；‎ 所以切点为.则，所以.‎ 故=‎ 当且仅当，即时等号成立，此时取得最小值2.选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数的意义及基本不等式的综合应用．关于直线与曲线相切，求未知参数的问题，一般有以下几步：1、分别求直线与曲线的导函数；2、令两导数相等，求切点横坐标；3、代入两方程求参数关系或值.‎ ‎12.设函数，若关于x的方程对任意的有三个不相等的实数根，则a的取值范围是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将问题转化为当时，恒有两个正根,再根据二次方程实根分布列式可解得.‎ ‎【详解】因为关于x的方程对任意的有三个不相等的实数根 所以当时， ，有一根，‎ 当时，恒有两个正根，由二次函数的图象可知 对任意的恒成立，所以 解得．故选B．‎ ‎【点睛】本题考查了函数与方程,不等式恒成立,属中档题.‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.‎ ‎13.设满足约束条件, 则的最大值为______.‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】作可行域，则直线过点B(5,2)时取最大值8.‎ ‎14.已知向量，，且，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量平行可得，结合可得，结合诱导公式化简得即可得解.‎ ‎【详解】向量，，且，所以.‎ ‎.‎ 由，所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量共线的向量表示及同角三角函数关系，属于基础题.‎ ‎15.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若A到抛物线的准线的距离为4，则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：∵，∴抛物线的准线为，，又到抛物线准线的距离为4，∴，∴，∵，∴，∴.‎ 考点：1.直线与抛物线的位置关系；2.抛物线的定义及性质.‎ ‎16.已知边长为的空间四边形的顶点都在同一个球面上，若，平面平面，则该球的球面面积为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意,画出空间几何图形.由几何关系,找出球心.由勾股定理解方程即可求得球的半径,进而得球的面积.‎ ‎【详解】根据题意, G为底面等边三角形的重心,作底面.作交于,过作交于.连接画出空间几何图形如下图所示:‎ 因为等边三角形与等边三角形的边长为,且 所以 G为底面等边三角形的重心,则, ‎ 面平面 因而四边形为矩形,设,则,球的半径为 ‎ 和中 解得 所以球的表面积为 ‎ 故答案为: ‎ ‎【点睛】本题考查了空间几何体的结构特征,三棱锥外接球的半径与表面积求法,属于中档题.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知直线：，：，圆：.‎ ‎（1）当为何值时，直线与平行；‎ ‎（2）当直线与圆相交于，两点，且时，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，由直线平行，可得两直线斜率相等，即可求出或，将 的值带回直线方程进行验证，可舍去；当，求出两直线方程进行验证是否平行，进而可求出的值.‎ ‎（2）将已知圆的方程整理成标准方程形式，得到圆的半径和圆心，求出圆心到直线的距离，由勾股定理可知，得到关于 的方程，从而可求出的值，进而可求直线的方程.‎ ‎【详解】解：（1）当 时，直线的斜率，的斜率，由两直线平行可知，‎ ‎，解得或.当时，：，：，符合题意，‎ 当时，：，：，此时两直线重合，不符合题意.‎ 当时，：，：，两直线垂直，不符合题意；‎ 综上所述：.‎ ‎（2）由题意知，：，则圆的半径，圆心为，‎ 则圆心到直线的距离.由，得 ‎ 整理得， ，解得或.‎ 故所求直线方程为或.‎ ‎【点睛】本题考查了两直线的位置关系，考查了直线与圆相交的弦长问题.本题的易错点，一是未讨论 的值，直接令斜率相等；二是求出 的值未带回 直线方程进行验证.涉及到直线和圆相交的弦长问题时，通常是结合勾股定理表示弦长.‎ ‎18.已知等差数列中，为其前项和，若，.‎ ‎（1）求通项；‎ ‎（2）设是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的通项公式及其前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2），‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设公差为，由等差数列的通项公式和前 项和公式，可得，从而可求出首项和公差，进而可求出通项公式.‎ ‎（2）由题意知，结合分组求和法，可求出.‎ ‎【详解】（1）解：设公差为 ，由题意可得，解得.‎ 所以.‎ ‎（2）由题意，故.由（1）知，，‎ 因此 ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前 项和，考查了等比数列的前 项和，考查了分组求和.本题第一问的关键是用基本量即首项和公差，表示出已知.对于数列求和问题，常见的方法有公式法、分组求和法、错位相减法、裂项求和法.‎ ‎19.已知是斜三角形，内角所对的边的长分别为．己知．‎ ‎（I）求角；‎ ‎（II）若=，且求的面积.‎ ‎【答案】（I）；（II）.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（I）根据正弦定理算出，与题中等式比较可得，结合为三角形内角，可得的大小；（II）余弦定理的式子，列式解出，再利用三角形的面积公式加以计算，即可得到的面积．‎ 试题解析：（I）根据正弦定理，可得，‎ ‎，可得，得 ‎,；‎ ‎（II）‎ ‎，‎ 为斜三角形，，，‎ 由正弦定理可知……（1）‎ 由余弦定理…..（2）‎ 由（1）（2）解得 ‎ 考点：1.正弦定理的运用；2.余弦定理的运用；3.面积公式的运用.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查的是正弦定理，余弦定理和面积公式的运用，三角函数的化简和求值，运算能力，属于中档题，此类题目的解题方法主要是在对正弦定理与余弦定理的灵活运用，对正弦定理进行变形可得，从而求出的大小，通过三角函数之间的转化加上正弦定理可求出，再利用余弦定理可求出，从而求出的面积，因此此类题目灵活运用正余弦定理是解决问题的关键.‎ ‎20.如图，在几何体中，四边形是菱形，，平面平面，.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，，求三棱锥和三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）1,1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接，与交于点，连接易知，，由线面垂直的判定定理可得平面，从而可证明；‎ ‎（2）由面面垂直的性质可知，平面，即 为三棱锥的高，结合菱形、等边三角形的性质，可求出，从而可求三棱锥的体积；由平面，可知点到平面的距离也为，由菱形的性质可知 ‎，从而可求出三棱锥的体积.‎ ‎【详解】（1）证明:如图，连接，与交于点，则为的中点，连接，‎ 由四边形是菱形可得，因为，所以，‎ 因为，所以平面，因为平面，所以.‎ ‎（2）因为平面平面，平面平面，且，‎ 所以平面，即 为三棱锥的高.‎ 由，四边形是菱形，且，‎ 可得与都是边长为2的等边三角形，所以，‎ 因为的面积，故. ‎ 因为， 平面， 平面，所以平面，‎ 故点到平面的距离也为，由四边形是菱形得 因此.‎ ‎【点睛】本题考查了线线垂直的证明，考查了线面垂直的判定，考查了锥体体积的求解，考查了面面垂直的性质.证明线线垂直时，可借助勾股定理、菱形的对角线、矩形的临边、线面垂直的性质证明.求三棱锥的体积时，注意选择合适的底面和高，会使得求解较为简单.‎ ‎21.已知椭圆：的离心率，左、右焦点分别为、，抛物线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知直线：与圆：相切，且直线与椭圆相交于、两点，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由抛物线的焦点是该椭圆的一个顶点，可得，结合离心率，可求，进而可求出，从而可求椭圆的方程.‎ ‎（2）由直线和圆相切，可知圆心到直线的距离等于半径，即，设，，联立直线和圆的方程，整理后由韦达定理可知，，，从而可求.‎ ‎【详解】解：（1）因为椭圆的离心率，所以，即． ‎ 因为抛物线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点，所以，‎ 所以，则，所以椭圆的方程为．‎ ‎（2）由圆的方程可知，圆心为 ，半径为 ；由于直线与圆相切，‎ 故圆心到直线的距离，整理得，‎ 则联立直线和椭圆的方程，即，消去，得，设，，则，，则 ‎．‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线焦点的求解，考查了椭圆标准方程的求解，考查了直线和圆的位置关系，考查了直线和椭圆的位置关系.本题的难点是第二问中的计算化简.本题的关键是由直线和圆相切得两个参数的关系.‎ ‎22.设，函数，.‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）求函数的极值；‎ ‎（3）若函数在区间上有唯一零点，试求的值.‎ ‎【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）有极大值，无极小值；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出，解得或，则可探究当时，当时， 的变化，从而求出单调区间；‎ ‎（2）求出，令，结合导数探究 在 的单调性，结合，可探究出随的变化情况，从而可求极值；‎ ‎（3）令，可得在只有一个解，借助第二问可知，从而可求出的值.‎ ‎【详解】解：（1）当时，.易知定义域为，‎ 令，解得或，‎ 当时，，则 递减；当时，，则 递增，‎ 因此，的减区间为，增区间为.‎ ‎（2）的定义域为，则，令，‎ 则，故在单调递减，又知，‎ 当时，，即；当时，，即 因此在单调递增，在单调递减. ‎ 即当 时， 有极大值，无极小值.‎ ‎（3）令，整理得：在只有一个解，‎ 即图像与的图像在只有一个交点，由（2）知，‎ 在单调递增，在单调递减，且有极大值，‎ 所以，，解得.‎ ‎【点睛】本题考查了运用导数求函数的单调性，考查了运用导数求解函数的极值，考查了方程的根与函数的零点.本题的难点在于第二问，需要二次求导来确定导数为零的解.本题的易错点是求极值时，混淆了极值和极值点的概念，或漏写了极小值.‎