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  • 2021-06-11 发布

甘肃省河西五市部分普通高中2020届高三第一次联合考试数学文科试卷

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‎2020年1月甘肃省河西五市部分普通高中高三第一次联合考试 数学试卷(文科)‎ 第Ⅰ卷(选择题,共60分)‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合,,则( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简集合,进而求并集即可.‎ ‎【详解】由题意可得,,‎ 所以,‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查集合的并集运算,考查一元二次不等式的解法,属于基础题.‎ ‎2.已知角的终边经过点,则的值为( )‎ A. B. C. D. -2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出到原点的距离,进而可求的值.‎ ‎【详解】解:由题意知,到原点的距离 ,‎ 所以.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查了已知角的三角函数值的求解.当已知角 终边上一点的坐标为 ,则代入公式 ,其中即可.‎ ‎3.已知,为单位向量,且满足,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平面向量的数量积定义及乘法运算,即可求得 ‎【详解】因为 则 由向量数量积的定义可得 ‎,为单位向量 则 即 由向量夹角的取值范围为 可得 故选:C ‎【点睛】本题考查了向量数量积的定义,向量的夹角求法,属于基础题.‎ ‎4.《周髀算经》是我国古代的天文学和数学著作.其中有一个问题大意为:一年有二十四个节气,每个节气晷长损益相同(即太阳照射物体影子的长度增加和减少大小相同).‎ 二十四个节气及晷长变化如图所示,若冬至晷长一丈三尺五寸,夏至晷长一尺五寸(注:一丈等于十尺,一尺等于十寸),则夏至后的那个节气(小暑)晷长为( )‎ A. 五寸 B. 二尺五寸 C. 三尺五寸 D. 四尺五寸 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意知,从夏至到冬至,冕长组成了等差数列,其中,,结合等差数列通项公式,可求公差,进而可求小暑晷长.‎ ‎【详解】解:设从夏至到冬至,每个节气冕长为,即夏至时冕长为,冬至时冕长为,‎ 由每个节气晷长损益相同可知,常数,所以 为等差数列,设公差为,‎ 由题意知,,解得,则.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的定义,考查了等差数列的通项公式的求解及应用.本题的关键是将各个节气的冕长抽象成等差数列.‎ ‎5.将函数的图像上所有的点向右平移个单位长度,再把图形上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变),则所得图像的解析式为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角函数平移伸缩的变换求解即可.‎ ‎【详解】将函数的图像上所有的点向右平移个单位长度得到 ‎.再把图形上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)则变成.‎ 故选:A ‎【点睛】本题主要考查了三角函数图像的变换,属于基础题型.‎ ‎6.已知函数,是的导函数,则函数的图像大致为()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为,显然是奇函数,求导易得在R上单调递增.‎ ‎【详解】因为,显然是奇函数,‎ 又,所以在R上单调递增.只有C符合,‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的奇偶性以及利用导数判断函数的单调性,属中档题.‎ ‎7.等比数列中,,则“”是“”的( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等比数列的通项公式,结合充分必要条件的判断即可得解.‎ ‎【详解】因为为等比数列,‎ 若,即,可得 解得或.‎ 则 当时, ;当时, ,所以“”是“”非充分条件 若,则,即,解得 故,所以“”是“”的必要条件 综上可知, “”是“”的必要不充分条件 故选:B ‎【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的简单应用,充分必要条件的判断,属于基础题.‎ ‎8.若是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列命题正确的是( )‎ A. 若,则 B. 若,则 C. 若,则 D. 若,则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用空间线面、面面位置关系的判定定理和性质定理,逐项判定,即可求解.‎ 详解】对于A中,若,则,所以不正确;‎ 对于B中,若,则与的关系不能确定,所以不正确;‎ 对于C中,若,则与的关系不能确定,所以不正确;‎ 对于D中,若,可得,又由,可得,所以是正确的.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了空间线面、面面位置关系的判定定理与性质定理,其中解答中熟记线面位置关系的判定定理与性质定理是解答的关键,着重考查了推理与论证能力,属于中档试题.‎ ‎9.已知,,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数与对数的转化,结合指数与对数的图像与性质,即可比较大小.‎ ‎【详解】因为.由指数与对数的转化可知,‎ 根据对数函数的图像与性质可得 因为,由指数函数的图像可知 ‎ 因为,由对数函数的图像与性质可知 综上可知, ‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查了指数式与对数式的转化,指数函数与对数函数的图像与性质,属于基础题.‎ ‎10.已知,为双曲线的左、右焦点,直线与双曲线的一个交点在以线段为直径的圆上,则双曲线的离心率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题意得到,不妨令在第一象限内,再得到为等边三角形,求出,,结合双曲线的定义,即可求出结果.‎ ‎【详解】因为直线与双曲线的一个交点在以线段为直径的圆上,‎ 所以,不妨令在第一象限内,‎ 又为中点,,所以,‎ 因为直线的倾斜角为,‎ 所以为等边三角形,所以,‎ 因此,在中,,‎ 由双曲线的定义可得:,‎ 所以双曲线的离心率为.‎ 故选C ‎【点睛】本题主要考查求双曲线的离心率,熟记双曲线的简单性质以及双曲线的定义即可,属于常考题型.‎ ‎11.已知,为正实数,直线与曲线相切,则的最小值为( )‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 4 D. 8‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直线与曲线相切,则切点在直线与曲线上,且切点处的导数相等,求出 的关系,再利用基本不等式求所求分式的最值.‎ ‎【详解】由得;由得;‎ 因为与曲线相切,‎ 令,则可得,代入得;‎ 所以切点为.则,所以.‎ 故=‎ 当且仅当,即时等号成立,此时取得最小值2.选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数的意义及基本不等式的综合应用.关于直线与曲线相切,求未知参数的问题,一般有以下几步:1、分别求直线与曲线的导函数;2、令两导数相等,求切点横坐标;3、代入两方程求参数关系或值.‎ ‎12.设函数,若关于x的方程对任意的有三个不相等的实数根,则a的取值范围是()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将问题转化为当时,恒有两个正根,再根据二次方程实根分布列式可解得.‎ ‎【详解】因为关于x的方程对任意的有三个不相等的实数根 所以当时, ,有一根,‎ 当时,恒有两个正根,由二次函数的图象可知 对任意的恒成立,所以 解得.故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了函数与方程,不等式恒成立,属中档题.‎ 第Ⅱ卷(非选择题,共90分)‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.‎ ‎13.设满足约束条件, 则的最大值为______.‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】作可行域,则直线过点B(5,2)时取最大值8.‎ ‎14.已知向量,,且,则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量平行可得,结合可得,结合诱导公式化简得即可得解.‎ ‎【详解】向量,,且,所以.‎ ‎.‎ 由,所以.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量共线的向量表示及同角三角函数关系,属于基础题.‎ ‎15.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点,若A到抛物线的准线的距离为4,则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:∵,∴抛物线的准线为,,又到抛物线准线的距离为4,∴,∴,∵,∴,∴.‎ 考点:1.直线与抛物线的位置关系;2.抛物线的定义及性质.‎ ‎16.已知边长为的空间四边形的顶点都在同一个球面上,若,平面平面,则该球的球面面积为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意,画出空间几何图形.由几何关系,找出球心.由勾股定理解方程即可求得球的半径,进而得球的面积.‎ ‎【详解】根据题意, G为底面等边三角形的重心,作底面.作交于,过作交于.连接画出空间几何图形如下图所示:‎ 因为等边三角形与等边三角形的边长为,且 所以 G为底面等边三角形的重心,则, ‎ 面平面 因而四边形为矩形,设,则,球的半径为 ‎ 和中 解得 所以球的表面积为 ‎ 故答案为: ‎ ‎【点睛】本题考查了空间几何体的结构特征,三棱锥外接球的半径与表面积求法,属于中档题.‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知直线:,:,圆:.‎ ‎(1)当为何值时,直线与平行;‎ ‎(2)当直线与圆相交于,两点,且时,求直线的方程.‎ ‎【答案】(1);(2)或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)当时,由直线平行,可得两直线斜率相等,即可求出或,将 的值带回直线方程进行验证,可舍去;当,求出两直线方程进行验证是否平行,进而可求出的值.‎ ‎(2)将已知圆的方程整理成标准方程形式,得到圆的半径和圆心,求出圆心到直线的距离,由勾股定理可知,得到关于 的方程,从而可求出的值,进而可求直线的方程.‎ ‎【详解】解:(1)当 时,直线的斜率,的斜率,由两直线平行可知,‎ ‎,解得或.当时,:,:,符合题意,‎ 当时,:,:,此时两直线重合,不符合题意.‎ 当时,:,:,两直线垂直,不符合题意;‎ 综上所述:.‎ ‎(2)由题意知,:,则圆的半径,圆心为,‎ 则圆心到直线的距离.由,得 ‎ 整理得, ,解得或.‎ 故所求直线方程为或.‎ ‎【点睛】本题考查了两直线的位置关系,考查了直线与圆相交的弦长问题.本题的易错点,一是未讨论 的值,直接令斜率相等;二是求出 的值未带回 直线方程进行验证.涉及到直线和圆相交的弦长问题时,通常是结合勾股定理表示弦长.‎ ‎18.已知等差数列中,为其前项和,若,.‎ ‎(1)求通项;‎ ‎(2)设是首项为1,公比为2的等比数列,求数列的通项公式及其前项和.‎ ‎【答案】(1);(2),‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设公差为,由等差数列的通项公式和前 项和公式,可得,从而可求出首项和公差,进而可求出通项公式.‎ ‎(2)由题意知,结合分组求和法,可求出.‎ ‎【详解】(1)解:设公差为 ,由题意可得,解得.‎ 所以.‎ ‎(2)由题意,故.由(1)知,,‎ 因此 ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的通项公式,考查了等差数列的前 项和,考查了等比数列的前 项和,考查了分组求和.本题第一问的关键是用基本量即首项和公差,表示出已知.对于数列求和问题,常见的方法有公式法、分组求和法、错位相减法、裂项求和法.‎ ‎19.已知是斜三角形,内角所对的边的长分别为.己知.‎ ‎(I)求角;‎ ‎(II)若=,且求的面积.‎ ‎【答案】(I);(II).‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析:(I)根据正弦定理算出,与题中等式比较可得,结合为三角形内角,可得的大小;(II)余弦定理的式子,列式解出,再利用三角形的面积公式加以计算,即可得到的面积.‎ 试题解析:(I)根据正弦定理,可得,‎ ‎,可得,得 ‎,;‎ ‎(II)‎ ‎,‎ 为斜三角形,,,‎ 由正弦定理可知……(1)‎ 由余弦定理…..(2)‎ 由(1)(2)解得 ‎ 考点:1.正弦定理的运用;2.余弦定理的运用;3.面积公式的运用.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查的是正弦定理,余弦定理和面积公式的运用,三角函数的化简和求值,运算能力,属于中档题,此类题目的解题方法主要是在对正弦定理与余弦定理的灵活运用,对正弦定理进行变形可得,从而求出的大小,通过三角函数之间的转化加上正弦定理可求出,再利用余弦定理可求出,从而求出的面积,因此此类题目灵活运用正余弦定理是解决问题的关键.‎ ‎20.如图,在几何体中,四边形是菱形,,平面平面,.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)若,,求三棱锥和三棱锥的体积.‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2)1,1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)连接,与交于点,连接易知,,由线面垂直的判定定理可得平面,从而可证明;‎ ‎(2)由面面垂直的性质可知,平面,即 为三棱锥的高,结合菱形、等边三角形的性质,可求出,从而可求三棱锥的体积;由平面,可知点到平面的距离也为,由菱形的性质可知 ‎,从而可求出三棱锥的体积.‎ ‎【详解】(1)证明:如图,连接,与交于点,则为的中点,连接,‎ 由四边形是菱形可得,因为,所以,‎ 因为,所以平面,因为平面,所以.‎ ‎(2)因为平面平面,平面平面,且,‎ 所以平面,即 为三棱锥的高.‎ 由,四边形是菱形,且,‎ 可得与都是边长为2的等边三角形,所以,‎ 因为的面积,故. ‎ 因为, 平面, 平面,所以平面,‎ 故点到平面的距离也为,由四边形是菱形得 因此.‎ ‎【点睛】本题考查了线线垂直的证明,考查了线面垂直的判定,考查了锥体体积的求解,考查了面面垂直的性质.证明线线垂直时,可借助勾股定理、菱形的对角线、矩形的临边、线面垂直的性质证明.求三棱锥的体积时,注意选择合适的底面和高,会使得求解较为简单.‎ ‎21.已知椭圆:的离心率,左、右焦点分别为、,抛物线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)已知直线:与圆:相切,且直线与椭圆相交于、两点,求的值.‎ ‎【答案】(1);(2)0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由抛物线的焦点是该椭圆的一个顶点,可得,结合离心率,可求,进而可求出,从而可求椭圆的方程.‎ ‎(2)由直线和圆相切,可知圆心到直线的距离等于半径,即,设,,联立直线和圆的方程,整理后由韦达定理可知,,,从而可求.‎ ‎【详解】解:(1)因为椭圆的离心率,所以,即. ‎ 因为抛物线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点,所以,‎ 所以,则,所以椭圆的方程为.‎ ‎(2)由圆的方程可知,圆心为 ,半径为 ;由于直线与圆相切,‎ 故圆心到直线的距离,整理得,‎ 则联立直线和椭圆的方程,即,消去,得,设,,则,,则 ‎.‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线焦点的求解,考查了椭圆标准方程的求解,考查了直线和圆的位置关系,考查了直线和椭圆的位置关系.本题的难点是第二问中的计算化简.本题的关键是由直线和圆相切得两个参数的关系.‎ ‎22.设,函数,.‎ ‎(1)当时,求函数的单调区间;‎ ‎(2)求函数的极值;‎ ‎(3)若函数在区间上有唯一零点,试求的值.‎ ‎【答案】(1)的减区间为,增区间为;(2)有极大值,无极小值;(3).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求出,解得或,则可探究当时,当时, 的变化,从而求出单调区间;‎ ‎(2)求出,令,结合导数探究 在 的单调性,结合,可探究出随的变化情况,从而可求极值;‎ ‎(3)令,可得在只有一个解,借助第二问可知,从而可求出的值.‎ ‎【详解】解:(1)当时,.易知定义域为,‎ 令,解得或,‎ 当时,,则 递减;当时,,则 递增,‎ 因此,的减区间为,增区间为.‎ ‎(2)的定义域为,则,令,‎ 则,故在单调递减,又知,‎ 当时,,即;当时,,即 因此在单调递增,在单调递减. ‎ 即当 时, 有极大值,无极小值.‎ ‎(3)令,整理得:在只有一个解,‎ 即图像与的图像在只有一个交点,由(2)知,‎ 在单调递增,在单调递减,且有极大值,‎ 所以,,解得.‎ ‎【点睛】本题考查了运用导数求函数的单调性,考查了运用导数求解函数的极值,考查了方程的根与函数的零点.本题的难点在于第二问,需要二次求导来确定导数为零的解.本题的易错点是求极值时,混淆了极值和极值点的概念,或漏写了极小值.‎

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