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- 2021-06-11 发布
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六安一中2017~2018年度高二年级第一学期期末考试
数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.抛物线的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
2.已知双曲线的离心率为,则的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
3.下列不等式证明过程正确的是( )
A.若,则 B.若,,则
C.若,则 D.若,则
4.直线是曲线的一条切线,则实数的值为( )
A.2 B. C. D.
5.函数的单调减区间为( )
A. B. C. D.
6.已知椭圆的中心在坐标原点,离心率为,的右焦点与抛物线的焦点重合,是的准线与的两个焦点,则( )
A.3 B.6 C. 9 D.12
7.设满足约束条件,则的最小值是( )
A.-15 B.-9 C.1 D.9
8.已知函数的图像如图,是的导函数,则下列数值排序正确的是( )
A.
B.
C.
D.
9.已知为双曲线的左、右焦点,点在上,,则( )
A. B. C. D.
10.已知椭圆的右焦点为,过点的直线交于两点.若的中点坐标为,则的方程为( )
A. B. C. D.
11.椭圆的左、右顶点分别为,点在上且直线斜率的取值范围是,那么直线斜率的取值范围是( )
A. B. C. D.
12.设双曲线的渐近线与抛物线相切,则该双曲线的离心率等于( )
A. B. C. D.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.“,使得”的否定为 .
14.已知是双曲线上的一点,是的两个焦点,若,则的取值范围是 .
15.已知函数的导函数为且满足,则 .
16.设抛物线的焦点为,准线为,为抛物线上一点,,为垂足,如果直线的斜率为,那么 .
三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.命题方程表示双曲线;
命题不等式的解集是.
为假,为真,求的取值范围.
18.如图,设是圆上的动点,点是在轴上的投影,为上一点,且.
(1)当在圆上运动时,求点的轨迹的方程;
(2)求过点且斜率为的直线被所截线段的长度.
19.已知等差数列的前项和为,等比数列的前项和为,,,.
(1)若,求的通项公式;
(2)若,求.
20.如图,已知直线与抛物线相交于两点,且,交于,且点的坐标为.
(1)求的值;
(2)若为抛物线的焦点,为抛物线上任一点,求的最小值.
21.已知函数在和处取得极值.
(1)求函数的解析式和极值;
(2)若函数在区间上是单调函数,求实数的取值范围.
22.如图,设椭圆的中心为原点,长轴在轴上,上顶点为,左、右焦点分别为,线段的中点分别为,且是面积为4的直角三角形.
(1)求该椭圆的离心率和标准方程;
(2)过作直线交椭圆于,两点,使,求直线的方程.
试卷答案
一、选择题
1-5:CCDCB 6-10:BACCD 11、12:BD
二、填空题
13. ,使 14. 15. 16.8
三、解答题
17.真
真 或
∴
真假
假真
∴范围为
18.(1)设点的坐标为,点的坐标为,由已知得.
∵在圆上,,
即,整理得,即的方程为.
(2)过点且斜率为的直线方程为,
设直线与的交点为,,将直线方程代入的方程,
得,即.
∴,.
∴线段的长度为
.
∴直线被所截线段的长度为.
19.设的公差为,的公比为,则,.
由得.①
(1)由得.②
联立①和②解得,(舍去)或.
因此的通项公式为.
(2)由,得.
解得或.
当时,由①得,则;
当时,由①得,则.
20.(1)设,,,
则,直线的方程为,
即.将代入上式,
整理得,∴,由得,即
,∴,又,∴.
(2)由抛物线定义知的最小值为点到抛物线准线的距离,又准线方程为,因此的最小值为4.
21.解(1)由题意知的两实数根为-1和2,
∴,∴,,
则,
故
令,得或;
令,得.
故是函数的极大值点,是函数的极小值点,
即,.
(2)由(1)知在和上单调递增,在上单调递减.
则或或,
解得或,故实数的取值范围是.
22.(1)因为是面积为4的直角三角形,又,∴为直角,
因此,得,又,
故,,所以离心率.
在中,,
故.
由题设条件得,从而.
因此所求椭圆的标准方程为
(2)由(1)知,.
由题意知直线的倾斜角不为0,故可设直线的方程为.
代入椭圆方程得.
设,,则是上面方程的两根,
因此,.
又,,
所以,
,
由,得,即,
解得.
所以满足条件的直线有两条,其方程分别为和.