高中数学模块综合评价一达标检测含解析新人教A版必修5 10页

模块综合评价(一)‎ ‎(时间：120分钟　满分：150分)‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．若a＞b，则下列正确的是(　　)‎ A．a2＞ b2　　　　 B．ac＞ bc C．ac2＞ bc2 D．a－c＞ b－c 解析：A选项不正确，因为若a＝0，b＝－1，则不成立；B选项不正确，c≤0时不成立；C选项不正确，c＝0时不成立；D选项正确，因为不等式的两边加上或者减去同一个数，不等号的方向不变．‎ 答案：D ‎2．在△ABC中，A＝60°，a＝4，b＝4，则B等于(　　)‎ A．45°或135° B．135°‎ C．45° D．30°‎ 解析：因为A＝60°，a＝4，b＝4，‎ 由正弦定理＝，得 sin B＝＝＝.‎ 因为a＞b，所以A＞B，‎ 所以B＝45°.‎ 答案：C ‎3．已知数列{an}，{bn}满足an＋1＝2an＋bn，bn＋1＝an＋2bn＋ln(n∈N*)，a1＋b1>0.给出下列四个命题，其中的真命题是(　　)‎ A．数列{an－bn}单调递增 B．数列{an＋bn}单调递增 C．数{an}从某项以后单调递增 D．数列{bn}从某项以后单调递增 解析：因为an＋1＝2an＋bn，bn＋1＝an＋2bn＋ln ，所以an＋1－bn＋1＝an－bn－ln ，‎ - 10 -‎ 当n＝1时，a2－b2＝a1－b1－ln 2，所以a2－b20，C项正确；‎ 因为bn＋1＝bn＋an＋bn＋ln ，所以bn＋1－bn＝ln(n＋1)－2ln n＋(a1＋b1)3n－1，‎ 根据指数函数性质，知数列从某一项以后单调递增，所以D项正确．‎ 答案：BCD ‎4．若集合M＝{x|x2＞4}，N＝，则M∩N＝(　　)‎ A．{x|x＜－2}‎ B．{x|2＜x＜3}‎ C．{x|x＜－2或x＞3}‎ D．{x|x＞3}‎ 解析：由x2＞4，得x＜－2或x＞2，‎ 所以M＝{x|x2＞4}＝{x|x＜－2或x＞2}．‎ 又＞0，得－1＜x＜3，‎ 所以N＝{x|－1＜x＜3}；‎ 所以M∩N＝{x|x＜－2或x＞2}∩{x|－1＜x＜3}＝{x|2＜x＜3}．‎ 答案：B ‎5．下列各函数中，最小值为2的是(　　)‎ A．y＝x＋ B．y＝sin x＋，x∈ C．y＝ D．y＝x－2＋3‎ 解析：A中，当x<0时，y<0，不合题意；B中，y＝sin x＋≥2，等号成立时，sin x＝，即sin x＝1，与x∈矛盾；C中，y＝＝＋≥2，等号成立时，＝，得x2＝－1，不合题意；D中，y＝(－1)2＋2≥2.‎ - 10 -‎ 答案：D ‎6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若acos B＝bcos A，则△ABC是(　　)‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 解析：因为＝＝2R，‎ 即a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，‎ 所以acos B＝bcos A变形得：sin Acos B＝sin Bcos A，‎ 整理得：sin Acos B－cos Asin B＝sin(A－B)＝0.‎ 又A和B都为三角形的内角，‎ 所以A－B＝0，即A＝B，‎ 则△ABC为等腰三角形．‎ 答案：A ‎7．若实数x，y满足则S＝2x＋y－1的最大值为(　　)‎ A．6 B．4‎ C．3 D．2‎ 解析：作出不等式组对应的平面区域(如图阴影部分)，由图可知，当目标函数过图中点(2，3)时取得最大值6.‎ 答案：A ‎8．公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4是a3与a7的等比中项，S8＝32，则S10等于(　　)‎ A．18 B．24‎ C．60 D．90‎ 解析：因为a4是a3与a7的等比中项，所以a＝a3a7，‎ 即(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋6d)，整理得2a1＋3d＝0.①‎ 又因为S8＝8a1＋d＝32，‎ 整理得2a1＋7d＝8.②‎ - 10 -‎ 由①②联立，解得d＝2，a1＝－3，‎ 所以S10＝10a1＋d＝60.‎ 答案：C ‎9．在坐标平面内，不等式组所表示的平面区域的面积为(　　)‎ A． B． C． D．2‎ 解析：该不等式组所表示的平面区域是如图所示的阴影部分，可求得A(0，1)，B(0，－1)，C，D(－1，－2)，所以 S△ACD＝S△ABD＋S△ABC＝·|AB|·|xD|＋|AB|·|xC|＝.‎ 答案：B ‎10．关于等差数列和等比数列，下列四个选项中不正确的有(　　)‎ A．若数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn＋c(a，b，c为常数)则数列{an}为等差数列 B．若数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1－2，则数列{an}为等差数列 C．数列{an}是等差数列，Sn为前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍为等差数列 D．数列{an}是等比数列，Sn为前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍为等比数列 解析：根据题意，依次分析选项：‎ 对于A项，若数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn＋c，‎ 若c＝0，由等差数列的性质可得数列{an}为等差数列，‎ 若c≠0，则数列{an}从第二项起为等差数列，故A项不正确；‎ 对于B项，若数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1－2，‎ 可得a1＝4－2＝2，a2＝S2－S1＝8－2－2＝4，a3＝S3－S2＝16－2－6＝8，‎ 则a1，a2，a3成等比数列，则数列{an}不为等差数列，故B项不正确；‎ 对于C项，数列{an}是等差数列，Sn为前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，‎ 即为a1＋a2＋…＋an，an＋1＋…＋a2n，a2n＋1＋…＋a3n，…，‎ 即为S2n－Sn－Sn＝S3n－S2n－(S2n－Sn)＝n2d为常数，仍为等差数列，‎ - 10 -‎ 故C项正确；‎ 对于D项，数列{an}是等比数列，Sn为前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…不一定为等比数列，比如公比q＝－1，n为偶数，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，均为0，不为等比数列．故D项不正确．‎ 答案：ABD ‎11．一轮船从A点沿北偏东70°的方向行驶10海里至海岛B，又从B沿北偏东10°的方向行驶10海里至海岛C，若此轮船从A点直接沿直线行驶至海岛C，则此船沿________方向行驶________海里至海岛C.(　　)‎ A．北偏东50°；10 B．北偏东40°；10 C．北偏东30°；10 D．北偏东20°；10 解析：由已知得在△ABC中，∠ABC＝180°－70°＋10°＝120°，AB＝BC＝10，故∠BAC＝30°，所以从A到C的航向为北偏东 ‎70°－30°＝40°，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝102＋102－2×10×10×＝300，所以AC＝10.‎ 答案：B 12． 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若 a＝4，A＝，则该三角形面积的最大值是(　　)‎ A．2 B．3 C．4 D．4 解析：a2＝b2＋c2－2bccos A≥2bc－bc＝bc，即bc≤16，当且仅当b＝c＝4时取等号，‎ 所以S△ABC＝bcsin A≤×16×sin＝8×＝4.‎ 答案：C 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)‎ ‎13．若△ABC的内角A满足sin 2A＝，则sin A＋cos A＝________．‎ 解析：由sin 2A＝2sin Acos A＞0，可知A是锐角，所以sin A＋cos A＞0，又(sin A＋cos A)2＝1＋sin 2A＝，‎ 所以sin A＋cos A＝.‎ 答案： ‎14．已知a＜b∈R，且ab＝50，则|a＋2b|的最小值为_______．‎ 解析：因为ab＝50＞0，所以a、b同号，从而|a＋2b|＝|a|＋2|b|≥2＝2‎ - 10 -‎ ·＝20，‎ 其中“＝”成立的条件是 或 又因为a＜b∈R，所以a＝－10，b＝－5.‎ 所以|a＋2b|的最小值为20.‎ 答案：20‎ ‎15．不等式组所表示的平面区域的面积为____．‎ 解析：作出不等式组对应的区域为△BCD，由题意知xB＝1，xC＝2.由得yD＝，‎ 所以S△BCD＝×(xC－xB)×＝.‎ 答案： ‎16．对于使－x2＋2x≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做－x2＋2x的上确界，则函数y＝2－3x－(x>0)的上确界为________．‎ 解析：因为x>0，所以3x＋≥2＝4(当且仅当即x＝时取等号)．‎ 所以y＝2－3x－＝2－≤2－4，‎ 当且仅当x＝时取等号．故y的上确界为2－4.‎ 答案：2－4 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(本小题满分10分)已知不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集为A.‎ ‎(1)若a＝2，求集合A；‎ - 10 -‎ ‎(2)若集合A是集合{x|－4≤x≤2}的真子集，求实数a的取值范围．‎ 解：(1)由题意，当a＝2时，不等式x2－(a＋1)x＋a≤0，即x2－3x＋2≤0，‎ 即(x－1)(x－2)≤0，解得1≤x≤2，所以集合A＝{x|1≤x≤2}．‎ ‎(2)由x2－(a＋1)x＋a≤0，可得(x－1)·(x－a)≤0，‎ 当a<1时，不等式(x－1)(x－a)≤0的解集为{x|a≤x≤1}．‎ 由集合A是集合{x|－4≤x≤2}的真子集可得a≥－4，所以－4≤a≤1，‎ 当a＝1时，不等式(x－1)(x－a)≤0的解集为{x|x＝1}，满足题意；‎ 当a>1时，不等式(x－1)(x－a)≤0的解集为{x|1≤x≤a}，‎ 由集合A是集合{x|－4≤x≤2}的真子集，可得a≤2，所以11)，m·n的最大值为5，求k的值．‎ 解：(1)由正弦定理及(2a－c)cos B＝bcos C，得 ‎(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，‎ 整理得2sin Acos B＝sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin(B＋C)＝sin A，‎ 因为A∈(0，π)，所以sin A≠0，‎ 故cos B＝，所以B＝.‎ ‎(2)m·n＝4ksin A＋cos 2A＝－2sin2A＋4ksin A＋1，‎ 其中A∈，设sin A＝t，t∈(0，1]，‎ 则m·n＝－2t2＋4kt＋1＝－2(t－k)2＋1＋2k2.‎ 由于k>1，故当t＝1时，m·n取得最大值．‎ 由题意得－2＋4k＋1＝5，解得k＝.‎ ‎21．(本小题满分12分)已知，，(x≥0)成等差数列．又数列{an}(an＞0)中，a1＝3 ，此数列的前n项的和Sn(n∈N*)对所有大于1的正整数n都有Sn＝f(Sn－1)．‎ ‎(1)求数列{an}的第n＋1项；‎ - 10 -‎ ‎(2)若是，的等比中项，且Tn为{bn}的前n项和，求Tn.‎ 解：因为，，(x≥0)成等差数列，‎ 所以×2＝＋.‎ 所以f(x)＝(＋)2.‎ 因为Sn＝f(Sn－1)(n≥2)，‎ 所以Sn＝f(Sn－1)＝(＋)2.‎ 所以＝＋，－＝.‎ 所以{}是以为公差的等差数列．‎ 因为a1＝3，所以S1＝a1＝3.‎ 所以＝＋(n－1)＝＋－＝n.‎ 所以Sn＝3n2(n∈N*)．‎ 所以an＋1＝Sn＋1－Sn＝3(n＋1)2－3n2＝6n＋3.‎ ‎(2)因为数列是，的等比中项，‎ 所以()2＝·，‎ 所以bn＝＝＝(－)．‎ 所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝[＋＋…＋]＝＝.‎ ‎22．(本小题满分12分)已知等差数列{an}和等比数列{bn}的各项均为整数，它们的前n项和分别为Sn，Tn，且b1＝2a1＝2，b2S3＝54，a2＋T2＝11.‎ ‎(1)求数列{an}，{bn}的通项公式．‎ ‎(2)求Mn＝a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn.‎ ‎(3)是否存在正整数m，使得恰好是数列{an}或{bn}中的项？若存在，求出所有满足条件的m的值；若不存在，请说明理由．‎ 解：(1)设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，‎ 因为b1＝2a1＝2，b2S3＝54，a2＋T2＝11，‎ 所以即 - 10 -‎ 解得或(舍去)．‎ 所以an＝2n－1，bn＝2·3n－1.‎ ‎(2)Mn＝a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn＝1×2＋3×2×3＋5×2×32＋…＋(2n－1)×2×3n－1，‎ ‎3Mn＝1×2×3＋3×2×32＋…＋(2n－3)×2×3n－1＋(2n－1)×2×3n，‎ 所以－2Mn＝2＋4(3＋32＋…＋3n－1)－(2n－1)×2×3n＝2＋4×－(4n－2)×3n＝－4－(4n－4)·3n，‎ 所以Mn＝2(n－1)·3n＋2.‎ ‎(3)由(1)可得Sn＝n2，Tn＝3n－1，‎ 所以＝.‎ 因为是数列{an}或{bn}中的一项，所以＝L，L∈N*，‎ 所以(L－1)(m2－1)＝(3－L)3m，因为m2－1≥0，‎ ‎3m>0，‎ 所以1f(3)>f(4)>….‎ 由f(1)＝0，f(2)＝，知＝1无整数解．‎ 当L＝3时，有m2－1＝0，即存在m＝1使得＝3是数列{an}中的第2项．‎ 故存在正整数m＝1，使得是数列{an}中的项．‎ - 10 -‎