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- 2021-06-11 发布
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§3 反证法
[学习目标]
1.了解间接证明的一种基本方法——反证法.
2.了解反证法的思考过程、特点.
3.理解反证法的推理过程,证明步骤,体会直接证明与间接证明的区别与联系.
[知识链接]
分析反证法证明命题“若p则q”时,可能会出现几种情况?
答案 可能会出现以下三种情况:
(1)导出非p为真,即p假,也就是与原命题的条件矛盾;
(2)导出q为真,即与假设“非q为真”矛盾;
(3)导出一个恒假命题,即与定义、公理、定理矛盾.
[预习导引]
1.反证法的定义
在证明数学问题时,先假定命题结论的反面成立,在这个前提下若推出的结果与定义、公理、定理矛盾,或与命题中的已知条件相矛盾,或与假定相矛盾,从而断定命题结论的反面不可能成立,由此断定命题的结论成立,这种证明方法叫作反证法.
2.反证法证明的思维过程
反证法的证明过程可以概括为“否定——推理——否定”,即从否定结论开始,经过正确的推理,导出逻辑矛盾,从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程.
用反证法证明命题“若p则q”的过程可以用以下框图表示:―→―→
―→
要点一 用反证法证明“至多”“至少”型命题
例1 已知x,y>0,且x+y>2.
求证:,中至少有一个小于2.
证明 假设,都不小于2,
即≥2,≥2.
∵x,y>0,∴1+x≥2y,1+y≥2x.
∴2+x+y≥2(x+y),
即x+y≤2与已知x+y>2矛盾.
∴,中至少有一个小于2.
规律方法 对于含有“至多”、“至少”的命题适合用反证法,对于此类问题,需仔细体会“至少有一个”、“至多有一个”等字眼的含义,弄清结论的否定是什么,避免出现证明遗漏的错误.
跟踪演练1 已知a,b,c,d∈R,且a+b=c+d=1,ac+bd>1,求证:a,b,c,d中至少有一个是负数.
证明 假设a,b,c,d都是非负数,
∵a+b=c+d=1,
∴(a+b)(c+d)=1.
又∵(a+b)(c+d)=ac+bd+ad+bc≥ac+bd,
∴ac+bd≤1.
这与已知ac+bd>1矛盾,
∴a,b,c,d中至少有一个是负数.
要点二 用反证法证明不存在、唯一性命题
例2 求证对于直线l:y=kx+1,不存在这样的实数k,使得l与双曲线C:3x2-y2=1的交点A、B关于直线y=ax(a为常数)对称.
证明 假设存在实数k,使得A、B关于直线y=ax对称,设A(x1,y1)、B(x2,y2),则有(1)直线l:y=kx+1与直线y=ax垂直;(2)点A、B在直线l:y=kx+1上;(3)线段AB的中点在直线y=ax上,所以
由得(3-k2)x2-2kx-2=0.④
当k2=3时,l与双曲线仅有一个交点,不合题意.
由②、③得a(x1+x2)=k(x1+x2)+2⑤
由④知x1+x2=,代入⑤整理得:
ak=3,这与①矛盾.
所以假设不成立,故不存在实数k,使得A、B关于直线y=ax对称.
规律方法 证明“唯一性”问题的方法:“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思.证明后一层意思时,采用直接证法往往会相当困难,因此一般情况下都采用间接证法,即用反证法(假设“有另外一个”,推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个”,推出它就是“已知那一个”)证明,而用反证法有时比用同一法更方便.
跟踪演练2 求证方程2x=3有且只有一个根.
证明 ∵2x=3,∴x=log23,这说明方程2x=3有根.下面用反证法证明方程2x=3的根是唯一的:
假设方程2x=3至少有两个根b1,b2(b1≠b2),
则2b1=3,2b2=3,
两式相除得2b1-b2=1.
若b1-b2>0,则2b1-b2>1,这与2b1-b2=1相矛盾.
若b1-b2<0,则2b1-b2<1,这也与2b1-b2=1相矛盾.
∴b1-b2=0,则b1=b2.
∴假设不成立,从而原命题得证.
要点三 用反证法证明否定性命题
例3 等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=1+,S3=9+3.
(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn;
(2)设bn=(n∈N+),求证:数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.
(1)解 设公差为d,由已知得
∴d=2,故an=2n-1+,Sn=n(n+).
(2)证明 由(1)得bn==n+.
假设数列{bn}中存在三项bp、bq、br(p、q、r互不相等)成等比数列,则b=bpbr,
即(q+)2=(p+)(r+),
∴(q2-pr)+(2q-p-r)=0.
∵p,q,r∈N+,
∴
∴2=pr,(p-r)2=0,
∴p=r,这与p≠r矛盾.
所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.
规律方法 (1)当结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题,此类问题的反面比较具体,适于应用反证法.例如证明异面直线,可以假设共面,再把假设作为已知条件推导出矛盾.
(2)反证法必须从否定结论进行推理,即应把结论的反面作为条件,且必须根据这一条件进行推证,否则,仅否定结论,不从结论的反面出发进行推理,就不是反证法.
跟踪演练3 已知f(x)=ax+(a>1),证明方程f(x)=0没有负数根.
证明 假设x0是f(x)=0的负数根,则x0<0且x0≠-1且ax0=-,由0b
C.a=b D.a=b或a>b
答案 D
4.用反证法证明“在同一平面内,若a⊥c,b⊥c,则a∥b”时,应假设( )
A.a不垂直于c B.a,b都不垂直于c
C.a⊥b D.a与b相交
答案 D
5.已知a是整数,a2是偶数,求证a也是偶数.
证明 (反证法)假设a不是偶数,即a是奇数.
设a=2n+1(n∈Z),则a2=4n2+4n+1.
∵4(n2+n)是偶数,
∴4n2+4n+1是奇数,这与已知a2是偶数矛盾.
由上述矛盾可知,a一定是偶数.
1.反证法证明的基本步骤
(1)假设命题结论的反面是正确的;(反设)
(2)从这个假设出发,经过逻辑推理,推出与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾;(推谬)
(3)由矛盾判定假设不正确,从而肯定原命题的结论是正确的.(结论)
2.用反证法证题要把握三点:
(1)必须先否定结论,对于结论的反面出现的多种可能,要逐一论证,缺少任何一种可能,证明都是不全面的.
(2)反证法必须从否定结论进行推理,且必须根据这一条件进行论证,否则,仅否定结论,不从结论的反面出发进行论证,就不是反证法.
(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾,这个矛盾可以与已知矛盾,或与假设矛盾,或与定义、公理、定理、事实矛盾,但推导出的矛盾必须是明显的.
一、基础达标
1.反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是( )
①与已知条件矛盾 ②与假设矛盾 ③与定义、公理、定理矛盾 ④与事实矛盾
A.①② B.①③ C.①③④ D.①②③④
答案 D
2.已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,那么c与b的位置关系为( )
A.一定是异面直线 B.一定是相交直线
C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线
答案 C
解析 假设c∥b,而由c∥a,可得a∥b,这与a,b异面矛盾,故c与b不可能是平行直线.故应选C.
3.有下列叙述:①“a>b”的反面是“ay或x0,x1≠1且xn+1=(n=1,2,…),试证“数列{xn}对任意的正整数n都满足xn>xn+1”,当此题用反证法否定结论时应为( )
A.对任意的正整数n,有xn=xn+1
B.存在正整数n,使xn=xn+1
C.存在正整数n,使xn≥xn+1
D.存在正整数n,使xn≤xn+1
答案 D
解析 “任意”的反语是“存在一个”.
9.设a,b,c都是正数,则三个数a+,b+,c+( )
A.都大于2 B.至少有一个大于2
C.至少有一个不小于2 D.至少有一个不大于2
答案 C
解析 假设a+<2,b+<2,c+<2,
则++<6.
又++=++≥2+2+2=6,这与假设得到的不等式相矛盾,从而假设不正确,所以这三个数至少有一个不小于2.
10.若下列两个方程x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根,则实数a的取值范围是________.
答案 a≤-2或a≥-1
解析 若两方程均无实根,则Δ1=(a-1)2-4a2=(3a-1)(-a-1)<0,∴a<-1或a>.Δ2=(2a)2+8a=4a(a+2)<0,∴-20,ab+bc+ca>0,abc>0,求证a>0,b>0,c>0.
证明 用反证法:
假设a,b,c不都是正数,由abc>0可知,
这三个数中必有两个为负数,一个为正数,
不妨设a<0,b<0,c>0,则由a+b+c>0,
可得c>-(a+b),
又a+b<0,
∴c(a+b)<-(a+b)(a+b),
ab+c(a+b)<-(a+b)(a+b)+ab,
即ab+bc+ca<-a2-ab-b2
∵a2>0,ab>0,b2>0,
∴-a2-ab-b2=-(a2+ab+b2)<0,
即ab+bc+ca<0,
这与已知ab+bc+ca>0矛盾,
所以假设不成立.
因此a>0,b>0,c>0成立.
12.已知a,b,c∈(0,1),求证(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不可能都大于.
证明 假设三个式子同时大于,
即(1-a)b>,(1-b)c>,(1-c)a>,
三式相乘得(1-a)a·(1-b)b·(1-c)c>,①
又因为0