2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第十章　3 第3讲　二项式定理 13页

第3讲　二项式定理 ‎1．二项式定理 ‎(1)定理：‎ ‎(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)．‎ ‎(2)通项：‎ 第k＋1项为Tk＋1＝Can－kbk．‎ ‎(3)二项式系数：‎ 二项展开式中各项的二项式系数为：C(k＝0，1，2，…，n)．‎ ‎2．二项式系数的性质 ‎[疑误辨析]‎ 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)(a＋b)n的展开式中的第r项是Can－rbr.(　　)‎ ‎(2)在二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(　　)‎ ‎(3)在(a＋b)n的展开式中，每一项的二项式系数与a，b无关．(　　)‎ ‎(4)通项Tr＋1＝Can－rbr中的a和b不能互换．(　　)‎ ‎(5)(a＋b)n展开式中某项的系数与该项的二项式系数相同．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×‎ ‎[教材衍化]‎ ‎1．(选修23P31例2(1)改编)(1＋2x)5的展开式中，x2的系数为________．‎ 解析：Tk＋1＝C(2x)k＝C2kxk，当k＝2时，x2的系数为C·22＝40.‎ 答案：40‎ ‎2．(选修23P31例2(2)改编)若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为________．‎ 解析：二项式系数之和2n＝64，所以n＝6，Tk＋1＝C·x6－k·＝Cx6－2k，当6－2k＝0，即当k＝3时为常数项，T4＝C＝20.‎ 答案：20‎ ‎3．(选修23P41B组T5改编)若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为________．‎ 解析：令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，两式相加得a0＋a2＋a4＝8.‎ 答案：8‎ ‎[易错纠偏]‎ ‎(1)混淆“二项式系数”与“系数”致误；‎ ‎(2)配凑不当致误．‎ ‎1．在二项式的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为________．‎ 解析：由题意得2n＝32，所以n＝5.令x＝1，得各项系数的和为(1－2)5＝－1.‎ 答案：－1‎ ‎2．已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8＝________．‎ 解析：因为(1＋x)10＝[2－(1－x)]10，所以其展开式的通项公式为Tr＋1＝(－1)r210－r·C(1－x)r，令r＝8，得a8＝4C＝180.‎ 答案：180‎ ‎　　　　　　二项展开式中的特定项或特定项的系数(高频考点)‎ 二项式定理是高中数学中的一个重要知识点，也是高考命题的热点，多以选择题、填空题的形式呈现，试题多为容易题或中档题．主要命题角度有：‎ ‎(1)求展开式中的某一项；‎ ‎(2)求展开式中的项的系数或二项式系数；‎ ‎(3)由已知条件求n的值或参数的值．‎ 角度一　求展开式中的某一项 ‎ (2019·高考浙江卷)在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．‎ ‎【解析】　该二项展开式的第k＋1项为Tk＋1＝C()9－kxk，当k＝0时，第1项为常数项，所以常数项为＝16；当k＝1，3，5，7，9时，展开式的项的系数为有理数，‎ 所以系数为有理数的项的个数为5.‎ ‎【答案】　16　5‎ 角度二　求展开式中的项的系数或二项式系数 ‎ (1＋x)6展开式中x2的系数为(　　)‎ A．15　　　　　　　　　　 B．20‎ C．30 D．35‎ ‎【解析】　(1＋x)6展开式的通项Tr＋1＝Cxr，所以(1＋x)6的展开式中x2的系数为1×C＋1×C＝30，故选C.‎ ‎【答案】　C 角度三　由已知条件求n的值或参数的值 ‎ (2020·浙江新高考联盟联考)若二项式(ax－)6(a>0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若A＝4B，则a＝________．‎ ‎【解析】　Tr＋1＝(－1)rC(ax)6－r()r ‎＝(－1)ra6－rCx6－r.‎ 令6－r＝3得r＝2，则 A＝a4C＝15a4；‎ 令6－r＝0得r＝4，则B＝(－1)4a2C＝15a2，‎ 又由A＝4B得15a4＝4×15a2，则a＝2.‎ ‎【答案】　2‎ 与二项展开式有关问题的解题策略 ‎(1)求展开式中的第n项，可依据二项式的通项直接求出第n项．‎ ‎(2)求展开式中的特定项，可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可．‎ ‎(3)已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数．　 ‎ ‎1．若的展开式中含有常数项，则正整数n的最小值等于(　　)‎ A．3 B．4‎ C．5 D．6‎ 解析：选C.Tr＋1＝C(x6)n－r＝Cx6n－r，当Tr＋1是常数项时，6n－r＝0，即n＝r，又n∈N*，故n的最小值为5，故选C.‎ ‎2．(2020·金华十校期末调研)在(－)n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则n＝________；展开式中常数项是________．‎ 解析：在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，所以n＝8.‎ 所以Tr＋1＝C＝(－1)rCx8－2r.‎ 由8－2r＝0，得r＝4.‎ 所以展开式中常数项是(－1)4C＝.‎ 答案：8　 ‎　　　　　　二项式系数的性质或各项系数和 ‎ (1)在二项式的展开式中，系数最大的项为第________项．‎ ‎(2)(2020·宁波十校联考)若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________．‎ ‎【解析】　(1)依题意可知Tr＋1＝C(－1)rx22－3r，0≤r≤11，r∈Z，二项式系数最大的是C与C.当r＝6时，T7＝Cx4，故系数最大的项是第七项．‎ ‎(2)令x＝0，得到a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2＋m)9，令x＝－2，得到a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝m9，所以有(2＋m)9m9＝39，即m2＋2m＝3，解得m＝1或－3.‎ ‎【答案】　(1)七　(2)1或－3‎ ‎(变条件)本例(2)变为：若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a9(x－1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________．‎ 解析：令x＝2，得到a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(4＋m)9，令x＝0，得到a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝(m＋2)9，所以有(4＋m)9(m＋2)9＝39，即m2＋6m＋5＝0，解得m＝－1或－5.‎ 答案：－1或－5‎ 赋值法的应用 ‎(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可．‎ ‎(2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．‎ ‎(3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.　 ‎ ‎1．在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中常数项是(　　)‎ A．15 B．20‎ C．30 D．120‎ 解析：选A.因为二项展开式中中间项的二项式系数最大，又二项式系数最大的项只有第4项，‎ 所以展开式中共有7项，‎ 所以n＝6，‎ 展开式的通项为Tr＋1＝C(x2)6－r＝Cx12－3r，‎ 令12－3r＝0，则r＝4，‎ 故展开式中的常数项为T5＝C＝15.‎ ‎2．已知多项式(x＋1)3(x＋2)2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，则a4＝________，a5＝________．‎ 解析：由题意知a4为含x的项的系数，根据二项式定理得a4＝C×12×C×22＋C×13×C×2＝16，a5是常数项，所以a5＝C×13×C×22＝4.‎ 答案：16　4‎ ‎　　　　　　二项式定理的应用 ‎ 设a∈Z，且0≤a＜13，若512 018＋a能被13整除，则a＝(　　)‎ A．0 B．1‎ C．11 D．12‎ ‎【解析】　512 018＋a＝(52－1)2 018＋a＝C522 018－C522 017＋…＋C×52×(－1)2 017＋C×(－1)2 018＋a.因为52能被13整除，所以只需C×(－1)2 018＋a能被13整除，即a＋1能被13整除，所以a＝12.‎ ‎【答案】　D ‎(1)利用二项式定理解决整除问题时，关键是进行合理地变形构造二项式，‎ 应注意：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可．‎ ‎(2)求余数问题时，应明确被除式f(x)与除式g(x)(g(x)≠0)，商式q(x)与余式的关系及余式的范围．　 ‎ ‎1．(2020·金华十校联考)设二项式(n∈N*)展开式的二项式系数和与各项系数和分别为an，bn，则＝(　　)‎ A．2n－1＋3　　 　　　　 B．2(2n－1＋1)‎ C．2n＋1 D．1‎ 解析：选C.二项式(n∈N*)展开式的二项式系数和为2n，各项系数和为＝，所以an＝2n，bn＝，所以＝＝＝2n＋1，故选C.‎ ‎2．求证：3n>(n＋2)·2n－1(n∈N*，n>2)．‎ 证明：因为n∈N*，且n>2，‎ 所以3n＝(2＋1)n展开后至少有4项．‎ ‎(2＋1)n＝2n＋C·2n－1＋…＋C·2＋1≥2n＋n·2n－1＋2n＋1>2n＋n·2n－1＝(n＋2)·2n－1，‎ 故3n>(n＋2)·2n－1(n∈N*，n>2)．‎ ‎[基础题组练]‎ ‎1．(2020·金华十校期末调研)在(x2－4)5的展开式中，含x6的项的系数为(　　)‎ A．20　　　　　 　　　　　 B．40‎ C．80 D．160‎ 解析：选D.Tr＋1＝C(x2)5－r(－4)r＝(－4)rCx10－2r，‎ 令10－2r＝6，解得r＝2，‎ 所以含x6的项的系数为(－4)2C＝160.‎ ‎2．(2020·台州高三期末考试)已知在(－)n的展开式中，第6项为常数项，则n＝(　　)‎ A．9 B．8‎ C．7 D．6‎ 解析：选D.因为第6项为常数项，由C()n－5(－)5＝－()n－5C·xn－6，可得n－6＝0，解得n＝6.故选D.‎ ‎3．(2020·温州市普通高中模考)在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64，则x3的系数为(　　)‎ A．15 B．45‎ C．135 D．405‎ 解析：选C.由题意＝64，n＝6，Tr＋1＝Cx6－r＝3rCx6－，令6－＝3，r＝2，32C＝135.‎ ‎4．(2020·湖州市高三期末考试)若(x＋)(2x－)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项是(　　)‎ A．－40 B．－20‎ C．40 D．20‎ 解析：选C.令x＝1，(1＋a)×(2－1)5＝2，解得a＝1.‎ 所以(2x－)5的通项公式 Tr＋1＝C(2x)5－r(－)r＝(－1)r25－rCx5－2r，‎ 令5－2r＝－1，5－2r＝1.‎ 解得r＝3或2.‎ 所以该展开式中常数项＝(－1)322C＋(－1)2×23C＝40.‎ ‎5．(x2－x＋1)10的展开式中x3项的系数为(　　)‎ A．－210 B．210‎ C．30 D．－30‎ 解析：选A.(x2－x＋1)10＝[x2－(x－1)]10＝C(x2)10－C(x2)9(x－1)＋…－Cx2(x－1)9＋C(x－1)10，‎ 所以含x3项的系数为：－CC＋C(－C)＝－210.‎ ‎6．(x2＋x＋y)5的展开式中x5y2的系数为(　　)‎ A．10 B．20‎ C．30 D．60‎ 解析：选C.(x2＋x＋y)5的展开式的通项为Tr＋1＝C(x2＋x)5－r·yr，令r＝2，则T3＝C(x2＋x ‎)3y2，又(x2＋x)3的展开式的通项为C(x2)3－k·xk＝Cx6－k，令6－k＝5，则k＝1，所以(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为CC＝30，故选C.‎ ‎7．已知(ax＋b)6的展开式中x4项的系数与x5项的系数分别为135与－18，则(ax＋b)6的展开式中所有项系数之和为(　　)‎ A．－1 B．1‎ C．32 D．64‎ 解析：选D.由二项展开式的通项公式可知x4项的系数为Ca4b2，x5项的系数为Ca5b，则由题意可得，解得a＋b＝±2，故(ax＋b)6的展开式中所有项的系数之和为(a＋b)6＝64，选D.‎ ‎8．在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝(　　)‎ A．45 B．60‎ C．120 D．210‎ 解析：选C.因为f(m，n)＝CC，所以f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝CC＋CC＋CC＋CC＝120.‎ ‎9．(2020·义乌调研测试)若(x2－a)的展开式中x6的系数为30，则a等于(　　)‎ A. B. C．1 D．2‎ 解析：选D.因为展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx10－r·＝Cx10－2r，所以(x2－a)的展开式中含x6的项为x2·Cx4－aCx6＝(C－aC)x6，则C－aC＝30，解得a＝2，故选D.‎ ‎10．(2020·台州模拟)(x＋2y)7的展开式中，系数最大的项是(　　)‎ A．68y7 B．112x3y4‎ C．672x2y5 D．1 344x2y5‎ 解析：选C.设第r＋1项系数最大，‎ 则有 即 即解得 又因为r∈Z，所以r＝5.所以系数最大的项为T6＝Cx2·25y5＝672x2y5.故选C.‎ ‎11．(2020·金华市东阳二中高三调研)在二项式的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是________．‎ 解析：因为在二项式的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，所以n＝8，‎ 展开式的通项公式为Tr＋1＝C·(－1)r·x8－2r，‎ 令8－2r＝2，则r＝3，所以展开式中含x2项的系数是－C＝－56.‎ 答案：－56‎ ‎12．(2020·温州中学高三模考)已知(1＋x＋x2)(n∈N*)的展开式中没有常数项，且2≤n≤8，则n＝________．‎ 解析：因为的通项公式为Tr＋1＝Cxn－r·x－3r＝Cxn－4r，故当n－4r＝0，－1，－2时存在常数项，即n＝4r，4r－1，4r－2，故n＝2，3，4，6，7，8时为常数项，所以当n＝5时没有常数项符合题设．‎ 答案：5‎ ‎13．若直线x＋ay－1＝0与2x－y＋5＝0垂直，则二项式的展开式中x4的系数为________．‎ 解析：由两条直线垂直，得1×2＋a×(－1)＝0，得a＝2，所以二项式为，其通项公式Tr＋1＝C(2x2)5－r·＝(－1)r25－rCx10－3r，令10－3r＝4，解得r＝2，所以二项式的展开式中x4的系数为23C＝80.‎ 答案：80‎ ‎14．已知(1＋x)5的展开式中xr(r∈Z且－1≤r≤5)的系数为0，则r＝________.‎ 解析：依题意，(1＋x)5的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cxr，故展开式为(x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1)，故可知展开式中x2的系数为0，故r＝2.‎ 答案：2‎ ‎15．(2020·杭州市高考模拟)若(2x－)n的展开式中所有二项式系数和为64，则n ‎＝________；展开式中的常数项是________．‎ 解析：因为(2x－)n的展开式中所有二项式系数和为2n＝64，则n＝6；根据(2x－)n＝(2x－)6的展开式的通项公式为Tr＋1＝C·(－1)r·(2x)6－r·x－2r＝C·(－1)r·26－r·x6－3r，‎ 令6－3r＝0，求得r＝2，可得展开式中的常数项是C·24＝240.‎ 答案：6　240‎ ‎16．(2020·浙江东阳中学高三检测)已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，则a0＝________；(a0＋a2＋a4＋a6)2－(a1＋a3＋a5＋a7)2＝________．‎ 解析：由(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，‎ 观察：可令x＝0得：(1－2×0)7＝a0＋a1×0＋…＋a7×0＝1，a0＝1.‎ ‎(a0＋a2＋a4＋a6)2－(a1＋a3＋a5＋a7)2＝(a0＋a1＋…＋a7)[a0＋a2＋a4＋a6－(a1＋a3＋a5＋a7)]，‎ 则可令x＝1得：‎ ‎(1－2×1)7＝a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1，‎ 再可令x＝－1得：‎ ‎(1＋2×1)7＝a0－a1＋a2－a3＋…－a7＝37＝2 187，‎ 可得：(a0＋a2＋a4＋a6)2－(a1＋a3＋a5＋a7)2‎ ‎＝－1×2 187＝－2 187.‎ 答案：1　－2 187‎ ‎17．设f(x)是(x2＋)6展开式中的中间项，若f(x)≤mx在区间[，]上恒成立，则实数m的取值范围是________．‎ 解析：(x2＋)6的展开式中的中间项为第四项，即f(x)＝C(x2)3()3＝x3，因为f(x)≤mx在区间[，]上恒成立，所以m≥x2在[，]上恒成立，所以m≥(x2)max＝5，所以实数m的取值范围是 ‎[5，＋∞)．‎ 答案：[5，＋∞)‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．C＋C＋…＋C＋…＋C(n∈N*)的值为(　　)‎ A．2n B．22n－1‎ C．2n－1 D．22n－1－1‎ 解析：选D.(1＋x)2n＝C＋Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2n.‎ 令x＝1，得C＋C＋C＋…＋C＋C＝22n；‎ 再令x＝－1，得C－C＋C－…＋(－1)rC＋…－C＋C＝0.‎ 两式相加，可得C＋C＋…＋C＝－1＝22n－1－1.‎ ‎2．(2020·杭州七校联考)若(x＋y)9按x的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，且x＋y＝1，xy<0，则x的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D．(1，＋∞)‎ 解析：选D.二项式(x＋y)9的展开式的通项是 Tr＋1＝C·x9－r·yr.‎ 依题意，有 由此得 解得x>1，即x的取值范围为(1，＋∞)．‎ ‎3．若的展开式中前三项的系数分别为A，B，C，且满足4A＝9(C－B)，则展开式为x2的系数为________．‎ 解析：易得A＝1，B＝，C＝＝，所以有4＝9，即n2－7n－8＝0，解得n＝8或n＝－1(舍)．在中，因为通项Tr＋1＝Cx8－r＝·x8－2r，令8－2r＝2，得r＝3，所以展开式中x2的系数为.‎ 答案： ‎4．已知(xtan θ＋1)5的展开式中x2的系数与的展开式中x3的系数相等，则tan θ＝________．‎ 解析：的通项为Tr＋1＝C·x4－r·，令4－r＝3，则r＝1，所以的展开式中x3的系数是C·＝5，(xtan θ＋1)5的通项为TR＋1＝C·(xtan θ)5－R，令5－R＝2，得R＝3，所以(xtan θ＋1)5的展开式中x2的系数是C·tan2θ＝5，所以tan2θ＝，所以tan θ＝±.‎ 答案：± ‎5．(2020·台州市书生中学高三期中)设m，n∈N，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n.‎ ‎(1)当m＝n＝5时，若f(x)＝a5(1－x)5＋a4(1－x)4＋…＋a1(1－x)＋a0，求a0＋a2＋a4的值；‎ ‎(2)f(x)展开式中x的系数是9，当m，n变化时，求x2系数的最小值．‎ 解：(1)当m＝n＝5时，f(x)＝2(1＋x)5，‎ 令x＝0，则f(0)＝a5＋a4＋…＋a1＋a0＝2，‎ 令x＝2，则f(2)＝－a5＋a4－…－a1＋a0＝2×35，‎ 所以a0＋a2＋a4＝＝35＋1＝244.‎ ‎(2)由题意得f(x)展开式中x的系数是 C＋C＝m＋n＝9，‎ x2系数为C＋C＝＋＝＝，‎ 又＝＝，‎ 因为m，n∈N，所以当m＝4或m＝5时最小，最小值为16.‎ ‎6．(2020·金丽衢十二校联考)已知.‎ ‎(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；‎ ‎(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．‎ 解：(1)通项Tr＋1＝C·(2x)r＝22r－nCxr，‎ 由题意知C，C，C成等差数列，‎ 所以2C＝C＋C，所以n＝14或7.‎ 当n＝14时，第8项的二项式系数最大，该项的系数为22×7－14C＝3 432；‎ 当n＝7时，第4、5项的二项式系数相等且最大，‎ 其系数分别为22×3－7C＝，22×4－7C＝70.‎ ‎(2)由题意知C＋C＋C＝79，‎ 所以n＝12或n＝－13(舍)．‎ 所以Tr＋1＝22r－12Cxr.‎ 由得所以r＝10.‎ 所以展开式中系数最大的项为T11＝22×10－12·Cx10＝(2x)10.‎