天津市和平区2019届高三下学期第一次质量调查数学（理）试题 8页

温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。‎ 考试时间120分钟。祝同学们考试顺利！‎ 第Ⅰ卷 选择题（共40分）‎ 注意事项:‎ ‎1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。‎ ‎2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。‎ ‎3. 本卷共8小题，每小题5分，共40分。‎ 参考公式：‎ 如果事件互斥,那么 如果事件相互独立,那么 ‎ ‎ . ‎ 柱体的体积公式. 锥体的体积公式. ‎ 其中表示柱体的底面积, 其中表示锥体的底面积,‎ 表示柱体的高. 表示锥体的高.‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ‎ ‎(1) 已知集合,,则 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎(2) 设变量满足约束条件则的最大值为 ‎ (A) 1 (B) 6 (C) 5 (D) 4 ‎ 结束 输出 开始 否 是 输出T 结束 ‎(3) 执行如图所示的程序框图,则输出的结果为 ‎(A) 20 ‎ ‎(B) 30 ‎ ‎(C) 40 ‎ ‎(D) 50 ‎ ‎(4) 在△中,若,,则△的面积为 ‎ (A) (B) (C) (D) 2‎ ‎(5) 不等式成立的充分不必要条件是 ‎(A) (B) (C) 或 (D) 或 ‎ ‎(6) 已知，则下列不等式一定成立的是 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎(7) 设双曲线的一个焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为 ‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎(8) 已知函数，若关于的方程恰有三 个不相等的实数解,则的取值范围是 (A) ‎ (B) (C) (D) ‎ 第Ⅱ卷 非选择题（共110分）‎ 注意事项:‎ ‎1. 用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上，答在本试卷上的无效。‎ ‎2. 本卷共12小题，共110分。‎ 二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卷上. ‎ ‎(9) 已知，且复数是纯虚数,则 .‎ ‎(10) 的展开式中的系数为 .(用数字作答)‎ ‎(11) 已知一个几何体的三视图如右图所示(单位:cm)，则该 几何体的体积为 cm³.‎ ‎ (12) 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴且单位长度相同建立极坐标系，若直线(为参数)被曲线截得的弦长为，则的值为 .‎ ‎(13) 如图,在直角梯形中,,.若 分别是边、 上的动点,满足，，‎ 其中,若,则的值为 .‎ ‎ (14) 已知为正数，若直线被圆截得的弦长为，则的最大值是 .‎ 三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎(15) (本小题满分13分)‎ 设的内角所对边的长分别是，且 ‎(Ⅰ)求的值；‎ ‎(Ⅱ)求的值.‎ ‎ ‎ ‎ (16) (本小题满分13分) ‎ ‎ 点外卖现已成为上班族解决午餐问题的一种流行趋势.某配餐店为扩大品牌影响力，决定对新顾客实行让利促销，规定：凡点餐的新顾客均可获赠10元或者16元代金券一张，中奖率分别为和，每人限点一餐，且100%中奖.现有A公司甲、乙、丙、丁四位员工决定点餐试吃.‎ ‎(Ⅰ) 求这四人中至多一人抽到16元代金券的概率；‎ ‎(Ⅱ) 这四人中抽到10元、16元代金券的人数分别用、表示，记，求随机变量的分布列和数学期望. ‎ ‎ (17) (本小题满分13分)‎ 如图,四棱锥的底面是菱形,底面,、‎ 分别是、的中点，,,.‎ ‎(Ⅰ) 证明：；‎ ‎(Ⅱ) 求直线与平面所成角的正弦值；‎ ‎(Ⅲ) 在边上是否存在点，使与所成角的余弦值为，若存在，确定点位置；若不存在，说明理由.‎ ‎(18) (本小题满分13分)‎ 已知数列的前项和为,是等差数列，且.‎ ‎(Ⅰ) 求数列、的通项公式；‎ ‎(Ⅱ) 令,求数列的前项和.‎ ‎(19) (本小题满分14分)‎ 已知椭圆经过点,左、右焦点分别、，椭圆的四个顶点围成的菱形面积为.‎ ‎ (Ⅰ) 求椭圆的标准方程；‎ ‎(Ⅱ) 设是椭圆上不在轴上的一个动点,为坐标原点,过点作的平行线交椭圆于、两个不同的点，求的值.‎ ‎(20) (本小题满分14分)‎ 设函数.‎ ‎(Ⅰ) 求曲线在点处的切线方程；‎ ‎(Ⅱ) 讨论函数的单调性； ‎ ‎(Ⅲ) 设,当时,若对任意的，存在，使得 ‎≥，求实数的取值范围. ‎ 和平区2018-2019学年度第二学期高三年级第一次质量调查 数学（理）学科试卷参考答案 一、选择题 (每小题5分，共40分) ‎ ‎(1) C (2) C (3) B (4) C (5) A (6) D (7) B (8) C ‎ 二、填空题 (每小题5分，共30分) ‎ ‎(9) (10) 80 (11) (12) 或 (13) (14) ‎ 三、解答题 (本大题共6小题，共80分) ‎ ‎(15) (本题13分) ‎ ‎(Ⅰ) 解:由，知， …………(1 分)‎ 由正、余弦定理得. ………………(3 分)‎ 因为，所以,则. ………………(5 分)‎ ‎(Ⅱ) 解:由余弦定理得. … …(6 分)‎ 由于，所以 ………(8 分)‎ 故 …………(11 分)‎ ‎ ……… (13 分)‎ ‎(16) (本题13分)‎ ‎(Ⅰ) 解: 设“四人中恰有i人获赠16元代金券”为事件，其中i=0,1,2,3,4.‎ ‎ ‎ 则 由 ………………………(2 分)‎ 得. (5分) ‎ ‎(Ⅱ) 解: 随机变量的所有可能取值为. ………………………(6 分)‎ ‎ ， （8分） ， …(10分)‎ ‎ ， ………(11分) ‎ ‎∴随机变量的分布列为 ‎0‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎ …………………………(12分)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 的数学期望. ………(13分)‎ ‎(17) (本题13分)‎ 连接，由已知及平面几何知识得两两垂直,如图建立空间直角坐标系，依题意可得,,，，‎ ‎,,. ……(1 分)‎ ‎(Ⅰ) 证明: ∵,,‎ ‎ ∴.‎ ‎∴，因此. …………(4 分)‎ ‎(Ⅱ) 解:设平面的法向量为，‎ 由,及 得.令，得 ………(6 分)‎ 又求得. …………………………(7 分)‎ 设与平面所成角为,则 ‎. ……………(9 分)‎ ‎ (Ⅲ) 解:∵假设存在，使,设，‎ 计算得，则.… (10 分)‎ 又，由异面直线与所成角的余弦值为,得 ‎，解得 ……………（12分）‎ ‎ 满足条件，因此，存在点在的中点处. ……………（13分）‎ ‎(18) (本题13分)‎ ‎(Ⅰ) 解: 当时, 由. …………………………(1 分)‎ 当≥时,由. …………(2 分)‎ ‎∵也符合上式，‎ ‎∴数列的通项公式为. ………………………(3 分)‎ 设数列的首项，公差为,‎ 由得，即 ‎ 解得, ……………………………………………(5 分)‎ ‎ ∴. ………………………………………(6 分)‎ ‎ (Ⅱ) 解: 由(Ⅰ)得 ……………………(8 分)‎ ‎∴ ‎ ‎ ……………………(9 分)‎ 则 两式作差得 ‎ ……(10 分)‎ ‎ ‎ ‎ ……………………………………(12 分)‎ ‎ 所以， ……………………………………(13 分)‎ ‎ (19) (本题14分)‎ ‎(Ⅰ) 解: 由题知 ……………………………(2 分)‎ 解得 ……………………………(3 分)‎ 则椭圆的标准方程为. ……………………………(4 分)‎ ‎ (Ⅱ) 解：由(Ⅰ)知,, …………………………(5 分)‎ ‎ 设直线，则直线 ………………………(6 分)‎ 联立得 所以. ………………………(8 分)‎ 由 得 . ………(9 分)‎ ‎ 设，则. …(10 分)‎ 所以 ………(11 分)‎ ‎ ‎ ‎ . ……………………(13 分)‎ 所以 ……………………(14分)‎ ‎(20) (本题14分)‎ ‎(Ⅰ) 解:, ………………………………………………(1 分)‎ ‎ 因为且, ……………………(2 分)‎ 所以曲线在点处的切线方程为 ……………(3 分)‎ ‎(Ⅱ) 解:函数的定义域为, ‎ ‎ 令，由，知 …………………(4 分)‎ ‎ 讨论:①当时，，‎ 此时在上单调递减，在上单调递增. …(6 分)‎ ②当时，，‎ 此时在上单调递增，在上单调递减. …(8 分)‎ ‎(Ⅲ) 解:由(Ⅱ)知，当时，在上单调递减，在上单调递增. ‎ ‎ 则对任意的，有≥，即. …(10 分)‎ 又已知存在,使得≥,‎ ‎ 所以≥，即存在，使得≤，‎ 即≥.因为时，， …(13 分)‎ 所以≥，即≥.‎ 所以实数的取值范围是. ………(14分)‎