数学理卷·2017届北京市东城区高三上学期期末教学统一检测（2017 13页

‎ 东城区2016-2017学年度第一学期期末教学统一检测 高三数学 （理科） ‎ 本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。）‎ ‎（1）已知集合，，则 ‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D） ‎ ‎（2）抛物线的准线方程是 ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D） ‎ ‎（3）“”是“直线与圆相切”的 ‎ 输出 ‎ 结束 开始 否 是 ‎（A）充分而不必要条件 ‎ ‎（B）必要而不充分条件 ‎（C）充分必要条件 ‎ ‎（D）既不充分也不必要条件 ‎ ‎（4）执行如图所示的程序框图，输出的值为 ‎（A） ‎ ‎（B） ‎ ‎（C） ‎ ‎（D） ‎ ‎（5）已知，且，则 ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D） ‎ ‎（6）已知是定义在上的奇函数，且在上是增函数，则的解集为 ‎ （A） （B） （C） （D） ‎ 正（主）视图 俯视图 ‎（7）某三棱锥的三视图如图所示，‎ 则该三棱锥的体积为 ‎（A） ‎ ‎（B） ‎ 侧（左）视图 ‎（C） ‎ ‎（D）‎ 图1‎ 图2‎ ‎（8）数列表示第天午时某种细菌的数量．细菌在理想条件下第天的日增长率()．当这种细菌在实际条件下生长时，其日增长率会发生变化．下图描述了细菌在理想和实际两种状态下细菌数量随时间的变化规律．那么，对这种细菌在实际条件下日增长率的规律描述正确的是 ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎0‎ ‎400‎ ‎800‎ ‎1200‎ 时间（天）‎ 理想 实际 数量（个）‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎0‎ ‎0.2‎ ‎0.4‎ ‎0.6‎ 时间（天）‎ ‎（A）‎ 日增长率 日增长率 ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎0‎ ‎0.2‎ ‎0.4‎ ‎0.6‎ 时间(天)‎ ‎（B）‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎0‎ ‎0.2‎ ‎0.4‎ ‎0.6‎ 时间（天）‎ 日增长率 ‎（D）‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎0‎ ‎0.2‎ ‎0.4‎ ‎0.6‎ ‎（C）‎ 日增长率 时间(天)‎ 第二部分（非选择题 共110分）‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。‎ ‎（9）若复数是纯虚数，则实数 ． ‎ ‎（10）若满足 则的最大值为 ． ‎ ‎（11）若点到双曲线的一条渐近线的距离为，则_______．‎ ‎（12）在△中，若，，，则 ； 若，则_______． ‎ ‎（13）在△所在平面内一点，满足，延长交于点，若，则_______． ‎ ‎（14）关于的方程的实根个数记为．若，则 ‎=_______；若，存在使得成立，则的取值范围是_________． ‎ 三、解答题（共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。）‎ ‎（15）（本小题13分）‎ 已知是等比数列，满足，，数列是首项为，公差为的等差数列．‎ ‎（Ⅰ）求数列和的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和．‎ ‎（16）（本小题13分）‎ 已知函数部分图象如图所示．‎ ‎（Ⅰ）求的最小正周期及图中的值；‎ ‎（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．‎ ‎（17）（本小题14分）‎ 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，为中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：∥平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）在棱上是否存在点，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由．‎ ‎（18）（本小题13分）‎ 设函数．‎ ‎（Ⅰ）若为的极小值，求的值；‎ ‎（Ⅱ）若对恒成立，求的最大值．‎ ‎（19）（本小题14分）‎ 已知椭圆经过点，离心率为．是椭圆上两点，且直线的斜率之积为，为坐标原点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若射线上的点满足，且与椭圆交于点，求的值．‎ ‎（20）（本小题13分）‎ 已知集合．，‎ ‎，，其中．‎ 定义．若，则称与正交．‎ ‎（Ⅰ）若，写出中与正交的所有元素；‎ ‎（Ⅱ）令．若，证明：为偶数；‎ ‎（Ⅲ）若，且中任意两个元素均正交，分别求出时，中最多可以有多少个元素．‎ 东城区2016-2017学年第一学期期末教学统一检测 高三数学参考答案及评分标准 （理科）‎ 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）‎ ‎（1）C （2）D （3）A （4）B ‎（5）D （6）C （7）B （8）B 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）‎ ‎（9） （10） （11） ‎ ‎（12）， （13） （14）1， ‎ 三、解答题（共6小题，共80分）‎ ‎（15）（共13分）‎ 解：（Ⅰ）设等比数列的公比为．‎ ‎　　　　由题意，得，．‎ 所以． ……………3分 又数列是首项为，公差为的等差数列，‎ 所以．‎ 从而． ……………6分 ‎　（Ⅱ）由（Ⅰ）知 数列的前项和为． ……………9分 数列的前项和为． ……………12分 ‎ 所以，数列的前项和为． 　………13分 ‎（16）（共13分）‎ ‎ 解：（Ⅰ）由题意，． …………2分 因为点在图象上，‎ 所以．‎ 又因为，‎ 所以． …………4分 所以． ………………6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ 因为，所以．‎ ‎ 当，即时，取得最大值；‎ 当，即时，取得最小值．………13分 ‎（17）（共14分）‎ 解：（Ⅰ）设与的交点为，连结．‎ 因为为矩形，所以为的中点．‎ 在△中，由已知为中点，‎ 所以∥．‎ 又平面，‎ 平面，‎ 所以∥平面． ……………………………5分 ‎ （Ⅱ）取中点，连结．‎ 因为△是等腰三角形，为的中点，‎ 所以．‎ 又因为平面平面，‎ 平面，‎ 所以平面．‎ 取中点，连结，‎ 由题设知四边形为矩形，‎ ‎ 所以．‎ ‎ 所以．…………………1分 如图建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，‎ ‎，，．‎ ‎，．‎ 设平面的法向量为，‎ 则，即 令，则， ．‎ 所以．‎ 平面的法向量为．‎ 设的夹角为，所以．‎ 由图可知二面角为锐角，‎ 所以二面角的余弦值为．…………………………10分 ‎（Ⅲ）设是棱上一点，则存在使得．‎ 因此点，，．‎ 由，即． ‎ 因为，所以在棱上存在点，使得．‎ 此时，． …………………………14分 ‎（18）（共14分）‎ 解：（Ⅰ）的定义域为．‎ 因为，‎ 所以．‎ ‎ 因为为的极小值，‎ ‎ 所以，即．‎ 所以．‎ ‎ 此时，．‎ ‎ 当时，，单调递减；‎ ‎ 当时，，单调递增．‎ ‎ 所以在处取得极小值，‎ ‎ 所以． ……………………………5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知当时，在上为单调递增函数， ‎ ‎ 所以，‎ 所以对恒成立．‎ 因此，当时，，‎ 对恒成立．‎ 当时，，‎ 所以，当时，，因为在上单调递减，‎ 所以．‎ ‎ 所以当时，并非对恒成立．‎ ‎ 综上，的最大值为． ……………………………13分 ‎（19）（共13分）‎ 解：（Ⅰ）由题意得 ‎ ‎ 解得．‎ ‎ 所以椭圆的方程为． ……………………………5分 ‎ （Ⅱ）设．‎ 因为点在直线上且满足，‎ 所以．‎ 因为三点共线，‎ 所以．‎ 所以，‎ ‎ ‎ 解得 因为点在椭圆上，所以．‎ 所以．‎ 即，‎ 因为在椭圆上，‎ 所以，．‎ 因为直线的斜率之积为，‎ 所以，即．‎ 所以，解得．‎ 所以． ……………………………14分 ‎（20）（共13分）‎ 解：（Ⅰ）中所有与正交的元素为，，，，，． ………………………3分 ‎（Ⅱ）对于，存在，‎ ‎；‎ 使得．‎ 令，；当时，当时. ‎ 那么. ‎ 所以为偶数．………………………8分 ‎（Ⅲ）8个，2个 时，不妨设，．‎ 在考虑时，共有四种互相正交的情况即： ，分别与搭配，可形成8种情况．‎ 所以时，中最多可以有个元素．………………………10分 时，‎ 不妨设，，则与正交．‎ 令，，且它们互相正交．‎ 设 相应位置数字都相同的共有个，除去这列外 相应位置数字都相同的共有个，‎ 相应位置数字都相同的共有个.‎ 则.‎ 所以，同理.‎ 可得.‎ 由于，可得，矛盾. ‎ 所以任意三个元素都不正交.‎ 综上，时，中最多可以有个元素. ………13分