数学卷·2018届广西南宁市马山县金伦中学高三上学期开学考试数学（文）试题（解析版） 12页

全*品*高*考*网， 用后离不了！‎ 广西省南宁市马山县金伦中学2018届高三月考（一）‎ 数学试题（文）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 设集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎ ‎ ‎2. （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】，选B.‎ ‎3. 在下列水平放置的几何体中，正视图是如图的是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】观察四个选择支的四个几何体，A、B、D对应三个几何体的正视图都为矩形，C对应的几何体的正视图为等腰三角形，故选C.‎ ‎4. 向量，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：,所以，故选C.‎ 考点：向量的坐标运算.‎ ‎5. 运行如下程序框图，则输出的结果是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】运行程序，否，，否，，是，输出.选A.‎ ‎6. “”是“”’的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】，则“”是“”’的必要不充分条件，选B.‎ ‎7. 设等差数列的前项和，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】，，选A.‎ ‎8. 设满足约束条件，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】画出可行域，令 画出直线，平移直线，由于 ‎，直线的截距最小时最小，得出最优解为，，选A.‎ ‎9. 为了得到函数的图像，只要把函数上的所有点（ ）‎ A. 向左平行移动个单位长度 B. 向右平行移动个单位长度 C. 向左平行移动个单位长度 D. 向右平行移动个单位长度 ‎【答案】B ‎【解析】设，则，向右平行移动个单位长度，选B.‎ ‎10. 已知直线与圆相交于两点；且为等腰直角三角形，则实数的值为（ ）‎ A. 或 B. C. 或 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由于为等腰直角三角形，则圆心到直线的距离为，‎ ‎，,选C.‎ ‎11. 函数的单调递增区间是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用复合函数的单调性去判断，令 ， ，可知或，当时，为减函数，‎ 为增函数，复合函数为减函数；‎ 当时，为增函数，为增函数，复合函数 为增函数；选D.‎ ‎12. 若，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】， ，‎ ‎， ， ，则，选C.‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 在中，内角所对的边分别为，若，则__________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】根据正弦定理 ，‎ ‎ ，则，所以.‎ ‎14. 已知，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ，‎ 两边平方得： ，则.‎ ‎15. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，,则__________．‎ ‎【答案】12‎ ‎【解析】函数是定义在上的奇函数，，则，‎ ‎.‎ ‎16. 长方体的长、宽、高分别为，其顶点都在球的球面上，则球的表面积为__________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】长方体的体对角线长为球的直径，则 ， ，则球的表面积为.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为 ‎（1）若，求的通项公式；‎ ‎（2）若，求；‎ ‎【答案】（1） ，（2）21或 ‎ ‎【解析】试题分析：利用等差数列和等比数列通项公式表示及解方程组求出等差数列的公差及等比数列的公比，写出数列的通项公式；利用及，解出公比后再求，本题需要掌握等差数列和等比数列的通项公式和前项和公式.‎ 试题解析：‎ 设的公差为，的公比为，则，由得 ‎ ①‎ ‎（1）由得 ‎ ②‎ 联立①和②解得，（舍去），，‎ 因此的通项公式 ‎（2）由得 解得 当时，由①得，则 当时，由②得，则.‎ ‎18. 如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，‎ ‎（1）证明：直线平面；‎ ‎（2）若的面积为，求四棱锥的体积；‎ ‎【答案】(1)略 (2) ‎ ‎【解析】试题分析：证明线面平有两种思路，一是寻求线线平行，二是寻求面面平行；取中点，由于平面为等边三角形，则，利用面面垂直的性质定理可推出底面ABCD，设，表示相关的长度，利用的面积为，求出四棱锥的体积.‎ 试题解析：‎ ‎（1） 在平面内，因为,所以 又平面平面故平面 ‎（2）取的中点，连接 由及 得四边形为正方形，则.‎ 因为侧面为等边三角形且垂直于底面，平面平面，‎ 所以底面 因为底面，所以,‎ 设，则，取的中点，连接 ‎，则,所以，‎ 因为的面积为，所以，‎ 解得（舍去），‎ 于是 所以四棱锥的体积 ‎19. 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：）其频率分布直方图如下：‎ ‎（1） 记表示事件“旧养殖法的箱产量低于”，估计的概率；‎ ‎（2）填写下面联表，并根据列联表判断是否有％的把握认为箱产量与养殖方法有关：‎ ‎（3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较.‎ 附：‎ ‎ ‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎ ‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1），（2）有％的把握认为箱产量与养殖方法有关，（3）新养殖法优于旧养殖法.‎ ‎【解析】试题分析：根据旧养殖法的箱产量法的概率分布直方图求出低于50 kg的频率，得出概率的估计值，根据箱产量的频率分布直方图得 列联表，计算进行独立性检验，得出结论，根据旧养殖法和新养殖法的平均数（或中位数）所在的范围，及新旧养殖法箱产量的集中与分散程度，得出哪一种养殖法更优.‎ 试题解析：‎ ‎（1） 旧养殖法的箱产量低于的频率为 因此，事件的概率估计值为 ‎（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表 由于，故有％的把握认为箱产量与养殖方法有关.‎ ‎（3）箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平均值（或中位数）在到之间，旧养殖法的箱产量平均值（或中位数）在到之间，且新养殖法的箱产量分布程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高，因此，可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法.‎ ‎20. 已知椭圆的离心率为，点在上，‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为，证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】试题分析：利用离心率为及点在上，点的坐标满足方程，解方程组求出，给出椭圆的标准方程；设直线的方程代入到椭圆方程中，得出关于的二次方程，设而不求，利用根与系数关系写出中点的的坐标，写出的斜率表达式，计算的斜率与直线的斜率之积，可得定值.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）由题意有，‎ 解得 所以的方程为 ‎（Ⅱ） 设直线 将代入得 ‎，‎ 故，‎ 于是直线的斜率，即，‎ 所以直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.‎ ‎【点睛】解析几何解答题为高考必考题，一般第一步较简单，本题利用待定系数法求椭圆的标准方程，一般根据题目所提供的条件，列出方程组解方程组就可以解决.第二步是定值问题，常采用设而不求思想解决，设直线方程，联立方程组，利用根与系数关系，找到所求斜率，计算斜率之积，证明其为定值.‎ ‎21. 已知函数 ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）当有最大值，且最大值大于时，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）略 （2） ‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）由题已知函数的解析式（注意定义域），可运用导数求出函数的单调区间。即：为函数的增区间，反之为减区间。由导函数中含有字母参数，需分类讨论；‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）f（x）=lnx+a（1﹣x）的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=﹣a=，‎ 若a≤0，则f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，‎ 若a＞0，则当x∈（0，）时，f′（x）＞0，‎ 当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上无最大值；‎ 当a＞0时，f（x）在x=取得最大值，最大值为f（）=﹣lna+a-1，‎ ‎∵f（）＞2a﹣2，∴lna+a-1＜0，‎ 令g（a）=lna+a-1，∵g（a）在（0，+∞）单调递增，g（1）=0， ‎ ‎∴当0＜a＜1时，g（a）＜0，当a＞1时，g（a）＞0，∴a的取值范围为（0，1）. ‎ 考点：（1）运用导数求函数的单调区间及分类思想。（2）导数与最值及函数思想。‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. 选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线（为参数，），其中，在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 ‎（1）求与交点的直角坐标；‎ ‎（2）若与相交于点,与相交于点，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）和 （2）4‎ ‎【解析】试题分析：把和的极坐标方程化为直角坐标方程，联立方程组求出交点坐标；把的方程化为极坐标方程代入到和的极坐标方程得出两点的极坐标，的长度为两点的极径的差的绝对值，借助三角函数求出最值.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为 联立 解得， 或，‎ 所以与交点的直角坐标为和 ‎（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，其中 因此的极坐标为，的极坐标为 所以 当时，取得最大值，最大值为.‎ ‎23. 选修4-5：不等式选讲 已知，证明：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）‎ ‎【答案】(1)略 （2）略 ‎【解析】试题分析：证明不等式的方法有综合法、分析法、反证法、数学归纳法、构造函数法等，本题应用综合法，借助已知，对左边进行恒等变换，达到证明的目的，第二步借助基本不等式进行证明.‎ 试题解析：‎ ‎（1） ‎ ‎ ‎ ‎（2）因为 所以， 因此 ‎