安徽省皖南八校2020届高三上学期第一次联考数学（文）试题 15页

“皖南八校”2020 届高三第一次联考 数学（文科） 考生注意： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分 150 分，考试时间 120 分 钟。 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区 域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 3.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量、复 数。 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.设集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 用列举法写出 B 集合，再求交集 。 【详解】 ， 故选 D 【点睛】集合的运算--交集：取两个集合共同的元素。 2.若复数 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 复数的除法法则化简复数 z，再根据复数的模长公式求解。 【详解】 。 故选 B 【点睛】对于分数型的复数，首先采取复数的除法运算法则进行化简，化简成 的 形式，再求模长。 3.已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】 利用诱导公式 和 ，进行变形，再代入求值。 【详解】 ， 。 故选 A。 【点睛】诱导公式口诀，“奇变偶不变，符号看象限”。 4.设 ， ，且 ，则 （ ） A. B. 4 C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由 ，确定未知量取值，再求模长。 【详解】 解得 故选 C。 【点睛】平面向量数量积的基本应用，垂直数量积为零，模长公式。 5.若 ， ， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用指数函数、对数函数性质，逐个分析 abc 取值范围，进而比较大小。 【详解】 ， ， ，且 ，则 故选 C 【点睛】对数式和指数式比较大小题型，通常将数与 0、1、2 或-1 等比较，确定范围，再比 较大小。 6.函数 的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 图像分析采用排除法，利用奇偶性判断函数为奇函数，再利用特值确定函数的正负情况。 【详解】 ，故奇函数，四个图像均符合。 当 时， ， ，排除 C、D 当 时， ， ，排除 A。 故选 B。 【点睛】图像分析采用排除法，一般可供判断的主要有：奇偶性、周期性、单调性、及特殊 值。 7.为了测量铁塔 的高度，小刘同学在地面 处测得铁塔在东偏北 方向上，塔顶 处的 仰角为 ，小刘从 处向正东方向走 140 米到地面 处，测得铁塔在东偏北 方向上， 塔顶 处的仰角为 ，则铁塔 的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】 应用举例问题，注意分析角度， ，设所求为未知量再利用余 弦定理列方程，解方程。 【详解】设 ， 中， ， 中， 中，由余弦定理 解得 ， 故选 C 8.在平面直角坐标系 中，角 的顶点为 ，始边与 轴正半轴重合，终边过点 ，且 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 通过三角函数定义求 y，并且一定注意终边所过点的取值范围。再利用两角和余弦公式进行化 简，求值。 【详解】由终边过点 ，得 ，解得 即终边过点 ， 故选 B。 【点睛】使用三角函数定义，需注意 ，其中 。 9.关于复数 ，下列命题①若 ，则 ；②若 为实数，则 ；③若 是纯虚数，则 ，y=0；④若 ，则 .其中真 命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 对于复数 ，考察：①模长公式 ②复数分类③复数除法 【 详 解 】 对 ① ， ， 则 ， 。①正确 对②，若 为实数，则虚部为零，即 y=0。②正确 对③， ，若 是纯虚数，那么 。③正确 对④， ， ，则 。 ④错误 故选 C 【点睛】本题考查复数的有关概念及运算，考查学生对基本知识的理解与运算，属于基础题. 10.若曲线 在点 处的切线过点 ，则函数 的单调递增区间 为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用导数的几何意义求解，取切线斜率列方程，求解参数，再求解单调区间。 详解】 ， 求导 解得 ，则当 时， 。 则 的单调递增区间是 。 故选 A 【点睛】导数几何意义：函数在某点处的导数等于切线的斜率。已知两点坐标也可求斜率。 本题还考察了导数在研究函数性质中的应用。 11.已知函数 ，则下列说法正确的是（ ） A. 函数 的图象关于直线 对称 B. 函数 在 上单调递增 C. 函数 的图象关于点 对称 D. 函数 的值域为 【答案】A 【解析】 【分析】 分情况讨论，去绝对值，再讨论函数性质。 详解】分类讨论： 当 时， 当 时， 周期 ，图像关于直线 对称，故 A 正确。 函数 在 上单调递增，在 上单调递减，故 B 错误。 函数 无对称中心，故 C 错误。 函数 值域为 故 D 错误。 【 【 故选 A。 【点睛】对于绝对值函数应分类讨论，形成分段函数，必要的时候可以画出简图，简要判断。 12.已知函数 ，若函数 与函数 的 图象有且只有 3 个公共点，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 对参数 a 进行分类讨论，分别讨论分段函数的交点问题。 【 详 解 】 当 时 ， 有 两 个 实 数 解 ， 则 即 只 有 1 个 非 正 数 解 ， ， ，∴ ， ，∴ 不合题意. 当 时，函数 显然有 3 个解， 当 时，函数 有 1 个解，则 要有 2 个非正的实数根， ∴ ，综上 . 【点睛】一次函数与对数函数交点问题可以使用图像解法，分析出在特定范围的解的情况。 令二次函数解的个数问题，需注意解的正负情况。 第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.已知集合 ， ，若“ ”是“ ”的充分不必要条 件，则实数 的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】 确定 B 集合范围，由充分必要条件，可得出条件推结论、结论不可推条件，从而解题。 【详解】 因“ ”是“ ”的充分不必要条件， , 故实数 的取值范围是 【点睛】充分不必要条件的应用，转化成集合的从属关系。 14.已知 ， ，则 ______. 【答案】 【解析】 【分析】 用两角和与差的正弦公式拆解两个已知条件，分别求出 和 的值，比值 即为最后所求。 【详解】 ① ② ① +②得： ③ ①-②得： ④ 两式相除： 故填 【点睛】两角和与差的正弦公式，解得 和 并构造所求式子。 15.当 时，函数 的最大值与最小值的和为______. 【答案】 【解析】 【分析】 利用导数求解最值问题，即可求解。属难题。 【 详 解 】 ， 当 时 ， ； 当 时， ，∴ 在 ， 上都是增函数，在 上是减 函数， ， ， ， ，∴ 的最大值为 ，最小值为 ，它们的和为 . 【点睛】导数在研究函数中的应用，可求单调性，分析最值，进而求解最大值与最小值的和。 16.已知四边形 是平行四边形，点在 的延长线上， ， ， . 若 ，则 ______. 【答案】2 【解析】 【分析】 平面向量线性运算表示，平面向量基本定理以 与 为一组基底，进行化简。 【详解】由 ， ，得 ， ∵ ，∴ ，∴ ， ∴ ， ， ， . 【点睛】平面向量的平行四边形法则，以两条邻边为基底，表达其他向量。是解题的关键。 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17.已知 ：函数 在 上是增函数， ： ， ，若 是真命题，求实数 的取值范围. 【答案】 【解析】 【分析】 本题是组合命题真值判断，先分别求解 P 真和 q 真时的参数取值范围，再由简单的逻辑联结 词判断 p，q 的真假。进而求参数取值范围 【详解】解： 真时， ， ， 真时， ， ， 为真时， 或 ， ∵ 为真， ∴ 与 都为真， ∴ ，即 【点睛】且命题：全真为真，一假即假。非命题：与原命题真值相反。 18.已知 ， . . （1）若 ，求 的值； （2）若 ，将函数 的图象向右平移 个单位长度后，得到函数 的图象，求函数 的表达式及 的最小正周期. 【答案】（1） （2） ，最小正周期为 . 【解析】 【分析】 （1）由向量平行求解 ，再求 ，利用齐次式求解。 （2）平面向量数量积运算求得 解析式，经过图像平移，求 解析式及周期。 【详解】解：（1）由 ，得 ， ，∴ ， ∴ . （2） ， ， ∴ ， 最小正周期为 . 【点睛】（1）利用齐次式解决问题时候注意 1 的妙用。 （2）平面向量数量积运算，满足实数的乘法分配律，可直接进行化简。 19.在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 . （1）求角 的大小； （2）若 ，求 的面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 (1) ,再利用正弦定理即可解出来 （2）运用余弦定理解题，均值不等式确定最值问题。 【详解】解：（1）由 ，及正弦定理，得 ， 又 中， ， ， ∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ， ∴ ，∴ . （2）∵ ， ，当且仅当 时，取等号. ∴ ， ∴ 的面积 ，∴ 面积的最大值为 . 【点睛】（1）解三角形问题，一般需要注意三角形内角和 180°，各个内角均为正。 （2）已知对角和对边，则另两边为未知量，运用余弦定理列方程，再结合均值不等式求解。 20.已知函数 ， ， 分别是曲线 上的一 个最高点和一个最低点，且 的最小值为 . （1）求函数 的单调递增区间和曲线 的对称中心的坐标； （2）若不等式 对 恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】（1） ，对称中心坐标为 .（2） 【解析】 【分析】 （1）先化简 整理成 的形式，再根据周期及最值求解。 （2）用给定的 X 的取值范围，求 的取值范围，再根据恒成立，比较端点值。 【详解】解：（1） ， ， ， ∵ 的最小值为 ， ∴ ，∴ ， ∴ ， 由 得 ， ∴函数 的单调增区间为 ， 由 得 ， ∴曲线 的对称中心坐标为 . （2）∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 对 恒成立， ∴ ， ∴ ， ∴ . 【点睛】（1）巧用两点间距离公式确定周期，解出参数取值。 （2）给定范围 恒成立问题，转化成比较端点大小问题。 21.已知函数 ， . （1）讨论函数 的极值； （2）若函数 存在极小值，且极小值小于零，求实数 的取值范围. 【答案】（1）答案不唯一，见解析（2） 【解析】 【分析】 （1）三次函数参数未知、讨论其单调性，需分析取值范围。 （2）由第一问结论可直接判断参数 a 取值范围，再求解。 【详解】解：（1） 定义域为 ， ， 当 时， 或 ； ， 单调增区间为 的 ， ，单调减区间为 ，∴ 的极大值为 ， 极小值为 ， 当 时， ， 在 上是增函数， 没有极值； 当 时， 或 ； ，∴ 的单调增区间为 ， ，单调减区间为 ，∴ 的极大值为 ，极小值为 . （2）由（1）知 时， 的极小值为 ， 时， 的极小值为 ， 由 得 ，∴ 即 的取值范围是 . 【点睛】（1）含参数的函数讨论极值的问题，需分类讨论，根据参数的不同取值范围逐步判 断单调性及最值。 （2）通过对极值取值范围 分析，进而确定参数的范围。 22.已知函数 . （1）求函数 的零点个数； （2）求证： . 【答案】（1） 有两个零点，（2）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）抽象函数判断零点的个数，需要综合考虑导数，单调性，极值最值等等，还有特殊值的 分析。 （2）构造新函数，求新函数的最值，即可证明。 【详解】解：（1） 定义域为 ， 。定义域在 上， ， ∴ 时， ； 时， ，∴ 的单调增区间为 ，单调 减区间为 ， ∵ ， ， 的 ∴ 在 内有 1 个零点， ∵ ，∴ 在 内有 1 个零点， ∴ 有两个零点， 证明：（2）令 ，则 定义域为 ， ， 令 ，则 ，∴ 在 上是增函数， ， ， ∴ ，使 ，即 ，∴ ， ∴ 时， ； 时， ， ∴ 的单调减区间为 ，单调增区间为 ， ∴ ， 令 ， 时，则 对 成立，∴ 在 上是减函数，∴ 时， ， ∴ ，∴ . 【点睛】（1）抽象函数大多数由基础函数进行加减乘除混合运算得来的，求导时应注意求导 法则。 （2）证明不等式成立问题，一般采取构造新函数的方法，可求导、单调性，求最值问题。