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  • 2021-06-11 发布

福建省龙海市程溪中学2021届高三数学上学期期中试卷(Word版附答案)

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第 1 页,共 10 页 程溪中学 2021 届高三期中考数学试卷 考试时间:120 分钟 一、选择题(本大题共 8 小题,共 40.0 分) 1. 已知集合  ࢔ 뿰 1羠 0, 1 ,  ࢔1羠ͳ. 若 ,则实数 m 的值是 A. 0 B. 뿰 1 C. 0 或 뿰 1 或 1 D. 뿰 1 或 0 2. 如图,在 䁨 中,点 D 是边 BC 的中点,  2 ,则用向量 羠䁨 表示 为 A. 뿰 2 1 䁨 B. 뿰 1 2 䁨 C.  2 뿰 1 䁨 D.  2 1 䁨 . 上海世博会期间,某日 13 时至 21 时累计入园人数的折线图如图所 示,那么在 13 时~ 1 时,14 时~ 1 时, ,20 时~ 21 时八个时 段中,入园人数最多的时段是 A. 13 时~ 1 时 B. 16 时~ 1 时 C. 18 时~ 1 时 D. 19 时~ 20 时 . 已知 cos 뿰  ,则 sin2  A. 1 2 B. 2 C. 뿰 2 D. 뿰 1 2 . 数列 ࢔ 满足 1  1 ,对 ,都有 1  1 ,则 1 1 1 2 1 201  A. 201 201 B. 201 2020 C. 0 201 D. 201 1010 . 在 䁨 ,三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若内角 A,B,C 依次成等差数列, 且不等式 뿰 2 2 ൅ 0 的解集为 뿰 1羠2 ,则 b 等于 A. 2 B. 3 C. 4 D. . “阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体, 它体现了数学的对称美 . 如图,将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截 去一个三棱锥,共可截去八个三棱锥,得到八个面为正三角形,六个面 为正方形的“阿基米德多面体” . 若该多面体的棱长为 2 ,则其体积为 第 2 页,共 10 页 A. 0 2 B. 5 C. 1 D. 20 . 若函数  뿰 2 lnx 1 在 0羠2 上存在两个极值点,则 a 的取值范围为 A. 뿰 ∞羠 뿰 1 2 B. 뿰 1 羠 1 2 ∪ 1羠 ∞ C. 뿰 ∞羠 뿰 1 D. 뿰 ∞羠 뿰 1 ∪ 뿰 1 羠 뿰 1 2 二、不定项选择题(本大题共 4 小题,共 20.0 分) . 下列各结论中正确的是 A. “ ൅ 0 ”是“ ൅ 0 ”的充要条件 B. “ 2 1 2 ”的最小值为 2 C. 命题“ ൅ 1 , 2 뿰 ൅ 0 ”的否定是“ ∃0 1 , 0 2 뿰 0 0 ” D. “函数  2 的图象过点 1羠0 ”是“  0 ”的充要条件 10. 设数列 ࢔ 是等差数列, 是其前 n 项和, 1 ൅ 0 且  ,则 A. ൅ 0 B.  0C. 或 为 的最大值 D. ൅ 11. 函数 的部分图象如图所 示,下列命题中的真命题是 A. 将函数 的图象向左平移 个单位,则所得函数的图象关于原点 对称 B. 将函数 的图象向左平移 个单位,则所得函数的图象关于原点对称 C. 当 [ 2 羠] 时,函数 的最小值为 뿰 2D. 当 [ 2 羠] 时,函数 的最大值为 2 12. 已知函数  2 2뿰2 ,则下列结论正确的是 A. 函数 有极小值也有最小值 B. 函数 存在两个不同的零点 C. 当 时,  a 恰有三个实根 D. 若 [0羠ǡ] 时 羠max  2 羠 则 t 的最小值为 2 三、填空题(本大题共 4 小题,共 20.0 分) 第 页,共 10 页 1. 设 1 , 2 是两个不共线的空间向量,若  21 뿰 2 , 䁨  1 2 , 䁨  1 a2 , 且 A,C,D 三点共线,则实数 k 的值为______. 1. 若 , , 羠 羠 0羠 ,则 等于 ___________. 1. 如图,一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为 4m,一只小 虫从圆锥的底面圆上的点 P 出发,绕圆锥表面爬行一周后回到 点 P 处 . 若该小虫爬行的最短路程为 2ͳ ,则圆锥底面圆的半 径等于 ͳ. 1. 定义方程  的实数根 0 叫做函数 的“新驻点”. 1 设  sin ,则 在 0羠 上的“新驻点”为_________. 2 如果函数  ln 1 与  的“新驻点”分别为 、 、那么 和 的大小 关系是_________. 四、解答题(本大题共 6 小题,共 70.0 分) 1. 已知向量  1羠0 ,  ͳ羠1 ,且 与 的夹角为 . 1 求 − 2 ; 2 若 与 垂直,求实数 的值. 2 18. 在 ͳ  羠 뿰 ,  뿰 羠 ,且 ͳ , 2 뿰  2cos䁨 , sin  cos 1 2 这三个条件中任选一个补充在下面的问题中,并给出解答. 在 䁨 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且________. 1 求角 B; 2 若  ,求 䁨 周长的最大值. 注:若选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分. 第 页,共 10 页 19. 政府鼓励创新、创业,银行给予低息贷款,一位大学毕业生想自主创业,经过市场调研, 测算,有两个方案可供选择 . 方案 1 开设一个科技小微企业,需要一次性贷款 40 万元,第 一年获利是贷款额的 10 ,以后每年比上一年增加 2 的利润;方案 2 开设一家食品小店, 需要一次性贷款 20 万元,第一年获利是贷款额的 1 ,以后每年都比上一年增加利润 1.万元 . 两种方案使用期限都是 10 年,到期一次性还本付息,两种方案均按年息 2 的复利计 算 参考数据: 1.2  . , 1.2 10  . , 1.02  1.20 , 1.02 10  1.22 . 110 年后,方案 1,方案 2 的总收入分别有多少万元? 210 年后,哪一种方案的利润较大? 20. 已知递增等比数列 ࢔ ,  2 , 1  ,另一数列 ࢔ 其前 n 项和  2 . 1 求 ࢔ 、 ࢔ 通项公式; 2 设 ࢔ 其前 n 项和为 ,求 . 21. 已知 䁨 的角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且满足 ݅݅䁨 ݅  2뿰ܿ뿰ܿ䁨 ܿ . 1 证明:b,a,c 成等差数列; 2 如图,若  ,点 O 是 䁨 外一点,设 ᦙ  0 䁞 䁞 , ᦙ  2ᦙ  2 ,求平面四边形 OACB 面积的最大值. 22. 设  ݅ ܿ ,  2 . 1 讨论 在 [ 뿰 羠] 上的单调性. 2 令  뿰 ,试证明 在 R 上有且仅有三个零点. 第 页,共 10 页 答案和解析 1.【答案】D2.【答案】A3.【答案】B4.【答案】C5.【答案】D6.【答案】A 7.【答案】D 所以该多面体的体积为 2 뿰 × 1 × 1 2 × 1 × 1 × 1  20 . 8.【答案】D 解:函数 在 0羠2 上存在两个极值点, 等价于  뿰 1 1 뿰 1 2 在 0羠2 上有两个零点, 令  0 ,则 뿰 1 뿰1 2  0 ,即 뿰 1 1 2  0 , 뿰 1  0 或 1 2  0 ,  1 满足条件; 1 2  0 其中 1 且 0羠2 有且仅有一解, 뿰 1 2 ,其中 0羠1 ∪ 1羠2 ; 设 ǡ  2 ,其中 0羠1 ∪ 1羠2 ; 则 ǡ  2 2 ൅ 0 , 函数 ǡ 是单调增函数, 뿰 1 2 至多有一解; ǡ 0羠 ∪ 羠 2 , 뿰 ∞ 羠 뿰 1 ∪ 뿰 1 羠 뿰 1 2 , 故选 D. 9.【答案】AD10.【答案】BC11.【答案】BCD12.【答案】ABD 解: 函数  2 2뿰2 ,  22 뿰 2 2뿰2 2  뿰 2 , 令 ൅ 0 ,则 뿰 2 䁞 䁞 2 ,则函数 的单调增区间为 뿰 2羠2 ,单调减区间为 뿰 ∞ 羠 뿰 2 , 2羠 ∞ . 뿰 2 뿰 2 2 羠 2  2 ,且当 ൅ 2 时, ൅ 0 ,当 뿰 ∞时, ∞ ,当 ∞时, 0 , 画出函数  的图象如下: 第 页,共 10 页 所以 的极小值就是最小值,故 A 正确; 函数 存在两个不同的零点,故 B 正确; 当 时,  a 恰有 2 个实根,故 C 错误; 若 [0羠ǡ] 时 羠max  2 羠 则 ǡ2 ,故 t 的最小值为 2,故 D 正确. 13.【答案】 2 14.【答案】 뿰 15.【答案】116.【答案】 1 ; 2 . 解: 1 , , 令 ,即 ,得 , ,解得 , 所以,函数 在 上的“新驻点”为 ; 2 , , 则 , , 令 ,则 对任意的 恒成立, 所以,函数 在定义域 上为增函数, , , 由零点存在可得 , 第 页,共 10 页 令 ,可得 ,即  1 ,所以, . 故答案为: 1 ; 2 . 17.【答案】解: 1  1羠0 ,  ͳ羠1 ,且 与 的夹角为 .  ͳ ,  1 ,  ͳ 2 1 , cos 䁞 羠 ൅  ͳ ͳ21  cos ,解得 ͳ  1 ,或 ͳ 뿰 1 舍 , 뿰 2  뿰 1羠 뿰 2 , 뿰 2  뿰 1 2 뿰 2 2  ; 2  1 羠 , 与 垂直,  1 2  0 , 解得 뿰 1 2 . 18.【答案】解: 1 选 ͳ  羠 뿰 ,  뿰 羠 , ͳ , 뿰 뿰  0 . 化简得, 2 2 뿰 2  , 由余弦定理得 cos  2 2 뿰 2 2  2  1 2 , 又因为 0 䁞 䁞 ,  . 选 根据正弦定理,由 2 뿰  2ܿ䁨 得 , 又因为 sin  sin 䁨  sincos䁨 sin䁨cos , 所以 2sin䁨cos  sin䁨 , 又因为 sin䁨 0 , 所以 cos  1 2 , 又因为 0羠 , 所以  . 选 由 sin  cos 1 2 , 得 2 sin 1 2 cos  cos 1 2 , 即 2 sin 뿰 1 2 cos  1 2 , 第 页,共 10 页 所以 cos 뿰 1 2 , 又因为 0羠 , 所以  2 , 因此  . 2 由余弦定理 2  2 2 뿰 2cos , 得 1  2 뿰 . 又 2 , 2 ,当且仅当  时等号成立,  2 뿰 1 2 , 解得, , 当且仅当   时,等号成立.  12 . ▵ 䁨 周长的最大值为 12. 19.【答案】解: 1 方案 1 是等比数列,方案 2 是等差数列, 方案 1,一次性贷款 40 万元,第一年获利是贷款额的 10 ,即 4 万元,则 10 年后总收入: 1 1 2 % 1 2 % 2 ... 1 2 %  × 1.2 10 − 1 0.2  12. 万元 , 方案 2,一次性贷款 20 万元,第一年获利是贷款额的 1 ,即 3 万元,则 10 年后总收入: 1. 2 × 1. × 1.  10 × 10× 2 × 1.  . 万元 , 10 年后,方案 1 总收入 12. 万元,方案 2 总收入 . 万元. 2 方案 1,银行贷款本息和: 01 2 10  . 万元 , 故方案 1 利润为: 12. − .  万元 . 方案 2,银行贷款本息和: 201 2 10  2. 万元 , 故方案 2 利润为: . − 2.  .1 万元 . ൅ .1 , 方案 1 的利润较大. 第 页,共 10 页 20.【答案】解: 1 设公比为 q 的递增等比数列 ࢔ ,  2 , 根据等比数列的性质 1   2 ,由于 1  , 所以 1  2 1  ,解得 1  1 ,  2 ,进一步求出  2 ,所以  2 뿰1 , 由于数列 ࢔ 其前 n 项和  2 . 当 2 时,  뿰 뿰1  2 뿰 뿰 1 2 뿰 뿰 1  2 . 当  1 时, 1  2 符合通项公式 ,故  2 , 2 由 1 得:  2 2 뿰1  1 2 뿰2 , 所以  1 1 2 뿰1 2 1 2 0 1 2 뿰2 ,所以 1 2  1 1 2 0 2 1 2 1 1 2 뿰1 , 뿰 ②得 1 2  1 2 뿰1 1 2 0 1 2 뿰2 뿰 1 2 뿰1 , 整理得: 1 2  21뿰 1 2 1뿰 1 2 뿰 1 2 뿰1 , 所以  뿰 1 2 뿰 뿰 1 2 뿰2  뿰 2 1 2 뿰2 . 21.【答案】 1 证明:由 ݅݅䁨 ݅  2뿰ܿ뿰ܿ䁨 ܿ , 可得: ݅ܿ ݅䁨ܿ  2݅ 뿰 ݅ܿ 뿰 ܿ䁨݅ , 即 ݅ܿ ݅ܿ ݅䁨ܿ ܿ䁨݅  2݅ , sin sin 䁨  2݅ , 䁨  , ݅䁨 ݅  2݅ , 由正弦定理:  2 , 故得 b,a,c 成等差数列; 2 解:由 1 可知  2 ,  ,则   . 䁨 是等边三角形. 由题意 ᦙ  0 䁞 䁞 , ᦙ  2ᦙ  2 , 则 , 余弦定理可得: 2  ᦙ 2 ᦙ 2 뿰 2 ᦙ ᦙ ܿ  뿰 ܿ , 则 . 故四边形 OACB 面积  ݅ 뿰 ܿ  2݅ 뿰 . 0 䁞 䁞 , 第 10 页,共 10 页 뿰 䁞 뿰 䁞 2 , 当 뿰  2 时,S 取得最大值为 2  , 故平面四边形 OACB 面积的最大值为 . 22.【答案】解: 1  ݅ ܿ − ݅  ܿ , 令  0 ,则  0 ,或  1 2 , − 羠 − 1 2 时, ൅ 0 , 单调递增, − 1 2 羠0 时, 䁞 0 , 单调递减, 0羠 1 2 时, ൅ 0 , 单调递增, 1 2 羠 时, 䁞 0 , 单调递减, 证明: 2 h  2 − ݅ ܿ ,则 h 0  0 , 故  0 是 h 的一个零点, h −  h 即 h 是偶函数, 要确定 h 在 R 上的零点个数只需确定 ൅ 0 时,h 的零点个数即可, 当 ൅ ൅ 0 时,h'  21 − 2ܿ , 令 h'  0 ,即 ܿ  1 2 ,  1 , 0羠 1 时,h' 䁞 0 ,h 单调递减,h 1 䁞 0 , 1 羠 时,h' ൅ 0 ,h 单调递增,h ൅ 0 , h 在 0羠 有唯一零点. 当 时,由于 ݅ 1 , ܿ 1 ,h  2 − ݅ − ܿ 2 − −  2 − , 令 ǡ  2 − , 而 ǡ 在 [ 羠 ∞ 单调递增, ǡ ǡ ൅ 0 ,故 h ൅ 0 , 故 h 在 [ 羠 ∞ 无零点, h 在 0羠 ∞ 有一个零点, 由于 h 是偶函数,h 在 − ∞ 羠0 有一个零点,而 h 0  0 , 故 h 在 R 上有且仅有 3 个零点.

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