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- 2021-06-11 发布
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1
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10
页
程溪中学 2021 届高三期中考数学试卷
考试时间:120 分钟
一、选择题(本大题共 8 小题,共 40.0 分)
1.
已知集合
뿰 1羠
0,
1
,
1羠ͳ .
若
,则实数 m 的值是
A. 0 B.
뿰 1
C. 0 或
뿰 1
或 1 D.
뿰 1
或 0
2.
如图,在
䁨
中,点 D 是边 BC 的中点,
2
,则用向量
羠 䁨
表示
为
A.
뿰
2
1
䁨
B.
뿰
1
2
䁨
C.
2
뿰
1
䁨
D.
2
1
䁨
.
上海世博会期间,某日 13 时至 21 时累计入园人数的折线图如图所
示,那么在 13 时~
1
时,14 时~
1
时,
,20 时~
21
时八个时
段中,入园人数最多的时段是
A. 13 时~
1
时 B. 16 时~
1
时 C. 18 时~
1
时 D. 19 时~
20
时
.
已知
cos
뿰
,则
sin2
A.
1
2
B.
2
C.
뿰
2
D.
뿰
1
2
.
数列
满足
1 1
,对
,都有
1 1
,则
1
1
1
2
1
201
A.
201
201
B.
201
2020
C.
0
201
D.
201
1010
.
在
䁨
,三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若内角 A,B,C 依次成等差数列,
且不等式
뿰 2
2
0
的解集为
뿰 1羠2
,则 b 等于
A.
2
B. 3 C. 4 D.
.
“阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体,
它体现了数学的对称美
.
如图,将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截
去一个三棱锥,共可截去八个三棱锥,得到八个面为正三角形,六个面
为正方形的“阿基米德多面体”
.
若该多面体的棱长为
2
,则其体积为
第
2
页,共
10
页
A.
0 2
B. 5 C.
1
D.
20
.
若函数
뿰 2
lnx
1
在
0羠2
上存在两个极值点,则 a 的取值范围为
A.
뿰 ∞羠 뿰
1
2
B.
뿰
1
羠
1
2
∪ 1羠 ∞
C.
뿰 ∞羠 뿰
1
D.
뿰 ∞羠 뿰
1
∪ 뿰
1
羠 뿰
1
2
二、不定项选择题(本大题共 4 小题,共 20.0 分)
.
下列各结论中正确的是
A. “
0
”是“
0
”的充要条件
B. “
2
1
2
”的最小值为 2
C. 命题“
1
,
2
뿰 0
”的否定是“
∃ 0 1
,
0
2
뿰 0 0
”
D. “函数
2
的图象过点
1羠0
”是“
0
”的充要条件
10.
设数列
是等差数列,
是其前 n 项和,
1 0
且
,则
A.
0
B.
0C.
或
为
的最大值 D.
11.
函数 的部分图象如图所
示,下列命题中的真命题是
A. 将函数
的图象向左平移
个单位,则所得函数的图象关于原点
对称
B. 将函数
的图象向左平移
个单位,则所得函数的图象关于原点对称
C. 当
[
2 羠 ]
时,函数
的最小值为
뿰 2D. 当
[
2 羠 ]
时,函数
的最大值为
2
12.
已知函数
2
2 뿰2
,则下列结论正确的是
A. 函数
有极小值也有最小值
B. 函数
存在两个不同的零点
C. 当 时,
a
恰有三个实根
D. 若
[0羠ǡ]
时
羠 max
2
羠
则 t 的最小值为 2
三、填空题(本大题共 4 小题,共 20.0 分)
第
页,共
10
页
1 .
设
1
,
2
是两个不共线的空间向量,若
2 1 뿰 2
,
䁨 1 2
,
䁨 1 a 2
,
且 A,C,D 三点共线,则实数 k 的值为______.
1 .
若 , ,
羠
羠 0羠
,则 等于
___________.
1 .
如图,一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为 4m,一只小
虫从圆锥的底面圆上的点 P 出发,绕圆锥表面爬行一周后回到
点 P 处
.
若该小虫爬行的最短路程为
2ͳ
,则圆锥底面圆的半
径等于
ͳ.
1 .
定义方程
的实数根
0
叫做函数
的“新驻点”.
1
设
sin
,则
在
0羠
上的“新驻点”为_________.
2
如果函数
ln 1
与
的“新驻点”分别为
、
、那么
和
的大小
关系是_________.
四、解答题(本大题共 6 小题,共 70.0 分)
1 .
已知向量
1羠0
,
ͳ羠1
,且
与
的夹角为
.
1
求
−
2
;
2
若
与
垂直,求实数
的值.
2
18. 在
ͳ 羠 뿰
,
뿰 羠
,且
ͳ
,
2 뿰 2 cos䁨
,
sin
cos
1
2
这三个条件中任选一个补充在下面的问题中,并给出解答.
在
䁨
中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且________.
1
求角 B;
2
若
,求
䁨
周长的最大值.
注:若选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分.
第
页,共
10
页
19. 政府鼓励创新、创业,银行给予低息贷款,一位大学毕业生想自主创业,经过市场调研,
测算,有两个方案可供选择
.
方案
1
开设一个科技小微企业,需要一次性贷款 40 万元,第
一年获利是贷款额的
10
,以后每年比上一年增加
2
的利润;方案
2
开设一家食品小店,
需要一次性贷款 20 万元,第一年获利是贷款额的
1
,以后每年都比上一年增加利润
1. 万元
.
两种方案使用期限都是 10 年,到期一次性还本付息,两种方案均按年息
2
的复利计
算
参考数据:
1.2
.
,
1.2
10
.
,
1.02
1.20
,
1.02
10
1.22
.
1 10
年后,方案 1,方案 2 的总收入分别有多少万元?
2 10
年后,哪一种方案的利润较大?
20. 已知递增等比数列
,
2
,
1
,另一数列
其前 n 项和
2
.
1
求
、
通项公式;
2
设
其前 n 项和为
,求
.
21. 已知
䁨
的角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且满足
݅ ݅ 䁨
݅
2뿰 ܿ 뿰 ܿ 䁨
ܿ
.
1
证明:b,a,c 成等差数列;
2
如图,若
,点 O 是
䁨
外一点,设
ᦙ 0 䁞 䁞
,
ᦙ 2ᦙ 2
,求平面四边形 OACB 面积的最大值.
22. 设
݅ ܿ
,
2
.
1
讨论
在
[ 뿰 羠 ]
上的单调性.
2
令
뿰
,试证明
在 R 上有且仅有三个零点.
第
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10
页
答案和解析
1.【答案】D2.【答案】A3.【答案】B4.【答案】C5.【答案】D6.【答案】A
7.【答案】D 所以该多面体的体积为
2
뿰 ×
1
×
1
2 × 1 × 1 × 1
20
.
8.【答案】D
解:函数 在
0羠2
上存在两个极值点,
等价于
뿰 1
1
뿰
1
2
在
0羠2
上有两个零点,
令
0
,则
뿰 1
뿰1
2
0
,即
뿰 1
1
2
0
,
뿰 1 0
或
1
2
0
,
1
满足条件;
1
2
0
其中
1
且
0羠2
有且仅有一解,
뿰
1
2
,其中
0羠1 ∪ 1羠2
;
设
ǡ
2
,其中
0羠1 ∪ 1羠2
;
则
ǡ
2
2
0
,
函数
ǡ
是单调增函数,
뿰
1
2
至多有一解;
ǡ 0羠 ∪ 羠
2
,
뿰
∞
羠 뿰
1
∪ 뿰
1
羠 뿰
1
2
,
故选 D.
9.【答案】AD10.【答案】BC11.【答案】BCD12.【答案】ABD
解:
函数
2
2 뿰2
,
2 2
뿰
2
2 뿰2
2
뿰
2
,
令
0
,则
뿰 2 䁞 䁞 2
,则函数
的单调增区间为
뿰 2羠2
,单调减区间为
뿰
∞
羠 뿰 2
,
2羠 ∞
.
뿰 2 뿰 2
2
羠 2
2
,且当
2
时,
0
,当
뿰
∞时,
∞
,当
∞时,
0
,
画出函数
的图象如下:
第
页,共
10
页
所以
的极小值就是最小值,故 A 正确;
函数
存在两个不同的零点,故 B 正确;
当 时,
a
恰有 2 个实根,故 C 错误;
若
[0羠ǡ]
时
羠 max
2
羠
则
ǡ 2
,故 t 的最小值为 2,故 D 正确.
13.【答案】
2
14.【答案】
뿰
15.【答案】116.【答案】
1
;
2
.
解:
1
, ,
令 ,即 ,得 ,
,解得 ,
所以,函数 在 上的“新驻点”为 ;
2
, ,
则 , ,
令 ,则 对任意的 恒成立,
所以,函数 在定义域 上为增函数,
, ,
由零点存在可得 ,
第
页,共
10
页
令 ,可得 ,即
1
,所以, .
故答案为:
1
;
2
.
17.【答案】解:
1 1羠0
,
ͳ羠1
,且
与
的夹角为
.
ͳ
,
1
,
ͳ
2
1
,
cos 䁞 羠
ͳ
ͳ2 1 cos
,解得
ͳ 1
,或
ͳ 뿰 1
舍
,
뿰 2 뿰 1羠 뿰 2
,
뿰 2 뿰 1
2
뿰 2
2
;
2 1 羠
,
与
垂直,
1 2 0
,
解得
뿰
1
2
.
18.【答案】解:
1
选
ͳ 羠 뿰
,
뿰 羠
,
ͳ
,
뿰 뿰 0
.
化简得,
2
2
뿰
2
,
由余弦定理得
cos
2
2
뿰
2
2
2
1
2
,
又因为
0 䁞 䁞
,
.
选
根据正弦定理,由
2 뿰 2 ܿ 䁨
得 ,
又因为
sin sin 䁨 sin cos䁨 sin䁨cos
,
所以
2sin䁨cos sin䁨
,
又因为
sin䁨 0
,
所以
cos
1
2
,
又因为
0羠
,
所以
.
选
由
sin
cos
1
2
,
得
2 sin
1
2 cos cos
1
2
,
即
2 sin 뿰
1
2 cos
1
2
,
第
页,共
10
页
所以
cos
뿰
1
2
,
又因为
0羠
,
所以
2
,
因此
.
2
由余弦定理
2
2
2
뿰 2 cos
,
得
1
2
뿰
.
又
2
,
2
,当且仅当
时等号成立,
2
뿰 1
2
,
解得,
,
当且仅当
时,等号成立.
12
.
▵
䁨
周长的最大值为 12.
19.【答案】解:
1
方案 1 是等比数列,方案 2 是等差数列,
方案 1,一次性贷款 40 万元,第一年获利是贷款额的
10
,即 4 万元,则 10 年后总收入:
1 1 2
%
1 2
%
2
... 1 2
%
×
1.2
10
−
1
0.2 1 2.
万元
,
方案 2,一次性贷款 20 万元,第一年获利是贷款额的
1
,即 3 万元,则 10 年后总收入:
1. 2 × 1. × 1.
10 ×
10×
2 × 1. .
万元
,
10
年后,方案 1 总收入
1 2.
万元,方案 2 总收入
.
万元.
2
方案 1,银行贷款本息和:
0 1 2
10
.
万元
,
故方案 1 利润为:
1 2.
−
.
万元
.
方案 2,银行贷款本息和:
20 1 2
10
2 .
万元
,
故方案 2 利润为:
.
−
2 . .1
万元
.
.1
,
方案 1 的利润较大.
第
页,共
10
页
20.【答案】解:
1
设公比为 q 的递增等比数列
,
2
,
根据等比数列的性质
1 2
,由于
1
,
所以
1 2
1
,解得
1 1
,
2
,进一步求出
2
,所以
2
뿰1
,
由于数列
其前 n 项和
2
.
当
2
时,
뿰 뿰1
2
뿰 뿰 1
2
뿰 뿰
1 2
.
当
1
时,
1 2
符合通项公式
,故
2
,
2
由
1
得:
2
2
뿰1
1
2
뿰2
,
所以
1
1
2
뿰1
2
1
2
0
1
2
뿰2
,所以
1
2 1
1
2
0
2
1
2
1
1
2
뿰1
,
뿰
②得
1
2
1
2
뿰1
1
2
0
1
2
뿰2
뿰
1
2
뿰1
,
整理得:
1
2
2 1뿰
1
2
1뿰
1
2 뿰
1
2
뿰1
,
所以
뿰
1
2
뿰
뿰
1
2
뿰2
뿰 2
1
2
뿰2
.
21.【答案】
1
证明:由
݅ ݅ 䁨
݅
2뿰 ܿ 뿰 ܿ 䁨
ܿ
,
可得:
݅ ܿ ݅ 䁨 ܿ 2 ݅ 뿰 ݅ ܿ 뿰 ܿ 䁨 ݅
,
即
݅ ܿ ݅ ܿ ݅ 䁨 ܿ ܿ 䁨 ݅ 2 ݅
,
sin sin 䁨 2 ݅
,
䁨
,
݅ 䁨 ݅ 2 ݅
,
由正弦定理:
2
,
故得 b,a,c 成等差数列;
2
解:由
1
可知
2
,
,则
.
䁨
是等边三角形.
由题意
ᦙ 0 䁞 䁞
,
ᦙ 2ᦙ 2
,
则 ,
余弦定理可得:
2
ᦙ
2
ᦙ
2
뿰 2 ᦙ ᦙ ܿ 뿰 ܿ
,
则 .
故四边形 OACB 面积
݅ 뿰 ܿ
2 ݅ 뿰
.
0 䁞 䁞
,
第
10
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10
页
뿰
䁞 뿰
䁞
2
,
当
뿰
2
时,S 取得最大值为
2
,
故平面四边形 OACB 面积的最大值为
.
22.【答案】解:
1 ݅ ܿ
−
݅ ܿ
,
令
0
,则
0
,或
1
2
,
−
羠
−
1
2
时,
0
,
单调递增,
−
1
2 羠0
时,
䁞 0
,
单调递减,
0羠
1
2
时,
0
,
单调递增,
1
2 羠
时,
䁞 0
,
单调递减,
证明:
2
h
2
−
݅ ܿ
,则 h
0 0
,
故
0
是 h
的一个零点,
h
−
h
即 h
是偶函数,
要确定 h
在 R 上的零点个数只需确定
0
时,h
的零点个数即可,
当
0
时,h'
2 1
−
2 ܿ
,
令 h'
0
,即
ܿ
1
2
,
1
,
0羠
1
时,h'
䁞 0
,h
单调递减,h
1
䁞 0
,
1
羠
时,h'
0
,h
单调递增,h
0
,
h
在
0羠
有唯一零点.
当
时,由于
݅ 1
,
ܿ 1
,h
2
−
݅
−
ܿ
2
−
−
2
−
,
令
ǡ
2
−
,
而
ǡ
在
[
羠 ∞
单调递增,
ǡ ǡ
0
,故 h
0
,
故 h
在
[
羠 ∞
无零点,
h
在
0羠 ∞
有一个零点,
由于 h
是偶函数,h
在
− ∞
羠0
有一个零点,而 h
0 0
,
故 h
在 R 上有且仅有 3 个零点.