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- 2021-06-11 发布
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[练案39]第二讲 一元二次不等式及其解法
A组基础巩固
一、单择题
1.(2020·重庆一中期中)“20⇔(m-2)(m-6)<0⇔20,x∈Z},则A∩B的真子集个数为( B )
A.2 B.3
C.7 D.8
[解析] A={x|(x-4)(x+1)≤0,x∈N}={x|-1≤x≤4,x∈N}={0,1,2,3,4},B={x|(2x+3)(x-2)>0,x∈Z}={x|x<-或x>2,x∈Z},∴A∩B={3,4},其真子集个数为22-1=3.
3.(2020·山东临沂质检)函数y=ln(2x+1)+的定义域为( B )
A.[-,2] B.(-,2]
C.[-2,-) D.[-2,-]
[解析] 由题意可知:解得-0},B={x|2x>1},则(∁RA)∩B( B )
A.{x|-1≤x<0} B.{x|00}={x|x<-1或x>6},B={x|2x>1}={x|x>0},则∁RA={x|-1≤x≤6),所以(∁RA)∩B={x|01的解集为( B )
A.{x|-23} B.{x|-32}
C.{x|x<-3或-12}
[解析] 不等式⇔>0⇔(x2+x-6)(x+1)>0,(x-2)(x+1)(x
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+3)>0.易知相应方程的根为-3,-1,2,由穿针引线法可得原不等式的解集为{x|-32}.故选B.
6.(2020·甘肃天水一中模拟)“不等式x2-2x+m≥0在R上恒成立”的一个充分不必要条件是( D )
A.m≥1 B.m≤1
C.m≥0 D.m≥2
[解析] “不等式x2-2x+m≥0在R上恒成立”的充要条件为:“(-2)2-4m<0”即“m>1”,又“m≥2”是“m>1”的充分不必要条件,即“不等式x2-2x+m≥0在R上恒成立”的一个充分不必要条件是:“m≥2”,故选D.
7.(2020·江西南昌重点校联考)如果方程x2+(m-1)x+m2-2=0的两个实根一个小于-1,另一个大于1,那么实数m的取值范围是( A )
A.(0,1) B.(-2,1)
C.(-2,0) D.(-,)
[解析] 记f(x)=x2+(m-1)x+m2-2,依题意有即解得05⇔3n2-45n+27×6<0,n2-15n+54<0⇔60的解集为__{x|-40⇔x2+3x-4<0⇔(x+4)(x-1)<0⇔-40恒成立,
⇒(-6k)2-4(k+8)<0⇒9k2-k-8≤0
⇒(k-1)(9k+8)<0,即-0.
[解析] x2-(a+a2)x+a3>0⇒(x-a2)(x-a)>0,
当a<0时,xa2;
当a=0时,x<0或x>0;
当0a;
当a=1时,x<1或x>1;
当a>1时,xa2.
综上可知:①当a<0或a>1时,不等式解集为{x|xa2};
②当a=0时,不等式解集为{x|x<0或x>0};
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③当a=1时,不等式解集为{x|x>1或x<1};
④当 0a}.
15.已知关于x的不等式kx2-2x+6k<0(k≠0).
(1)若不等式的解集为{x|x<-3或x>-2},求k的值;
(2)若不等式的解集为{x|x ∈R,x≠},求k的值;
(3)若不等式的解集为R,求k的取值范围;
(4)若不等式的解集为∅,求k的取值范围.
[解析] (1)由不等式的解集为{x|x<-3或x>-2}可知k<0,且-3与-2是方程kx2-2x+6k=0的两根,
∴(-3)+(-2)=,解得k=-.
(2)由不等式的解集为{x|x∈R,x≠}可知解得k=-.
(3)依题意知解得k<-.
(4)依题意知解得k≥.
B组能力提升
1.(2020·河南省阶段测试)设集合A={x|x2-5x+6<0},B={x|2x-1<2},则A∩B=( A )
A.(2,) B.(-2,)
C.(2,+1) D.(-2,+1)
[解析] 解不等式x2-5x+6<0,得20”为假命题,则a的取值范围是( D )
A.(-∞,-8]∪[0,+∞) B.(-8,0)
C.(-∞,0] D.[-8,0]
[解析] 由题意知,ax2-ax-2≤0恒成立⇒a=0或⇒-8≤a≤0,故选D.
3.(2020·湖南益阳4月模拟)已知函数f(x)=ax2+(a+2)x+a2为偶函数,则不等式(x-2)f(x)<0的解集为( A )
A.(-,)∪(2,+∞) B.(-,+∞)
C.(2,+∞) D.(-,2)
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[解析] ∵f(x)为偶函数,∴a=-2,
∴(x-2)f(x)<0⇔(x-2)(x-)(x+)>0
⇔-2.故选A.
4.(2020·山西大同一中模拟)已知函数f(x)=若f(3-a2)2a,
解得-3(a-1)x2+(2a+1)x-3a-1对任意的x∈[-1,1]恒成立,求实数a的取值范围;
(2)若a<0,解不等式f(x)>1.
[解析] (1)原不等式等价于x2-2ax+2a+1>0对任意的x∈[-1,1]恒成立,
设g(x)=x2-2ax+2a+1=(x-a)2-a2+2a+1,x∈[-1,1];
①当a<-1时,g(x)min=g(-1)=1+2a+2a+1>0,无解;
②当-1≤a≤1时,g(x)min=g(a)=-a2+2a+1>0,得1-1时,g(x)min=g(1) =1-2a+2a+1>0,得a>1.
综上,实数a的取值范围为(1-,+∞).
(2)f(x)>1,即ax2+x-a-1>0,即(x-1)(ax +a+1)>0,
因为a<0,所以(x-1)(x+)<0,
因为1-(-)=,
所以当--,解集为{x|-