湖南省郴州市2021届高三数学上学期第二次质检试题（Word版附答案） 12页

郴州市 2021 届高三上学期第二次质检 数学 （试题卷） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真核对条 形码上的姓名、准考证号和科目。 2.学生作答时，选择题和非选择题均须作在答题卡上，在本试题卷上作答无效。考生在答题卡 上按答题卡中注意事项的要求答题。 3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。 4.本试题卷共 5 页。如缺页，考生须声明，否则后果自负。 绝密★启用前 郴州市 2021 届高三第二次教学质量监测试卷 数学 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.设集合  2| 2 3 0A x x x    ， { | 2 3}B x x    ，则 A B  （ ） A. 1,3 B. 1,3 C. 1,2 D. 2,3 2.若复数 Z 满足 (1 ) 2Z i i  ，则下列说法正确的是（ ） A. Z 的虚部为 i B. Z 的共轭复数为 1Z i   C. Z 对应的点在第二象限 D. 2Z  3.已知 a，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且 a  ，b  ，则“ //a b ”是“ //  ”的 （ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 4.《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深 奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方”，是中华文化阴阳术数之源.河图的排列结构如图 1 所示，一与六共 宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居中，其中白圈数为阳数，黑 点数为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值大于 5 的概率为（ ） A. 4 25 B. 7 25 C. 8 25 D. 2 5 5.已知单位向量 a ，满足等式 2| | | |a b  ，| 2 | 13a b  ，则 a 与b  的夹角为（ ） A.120° B.90° C.60° D.30° 6.随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益. 假设在放射性同位素钍 234 的衰变过程中，其含量 N（单位：贝克）与时间 t（单位：天）满足函数关系 24 0( ) 2 t N t N   ，其中 0N 为 0t  时钍 234 的含量.已知 24t  时，钍 234 含量的瞬时变化率为 8ln 2 ，则 (96)N  （ ） A.12 贝克 B.12ln 2 贝克 C.24 贝克 D. 24ln2贝克 7.如图 2，设椭圆 1C ： 2 2 2 2 1x y a b   （ 0a b  ）与双曲线 2C ： 2 2 2 2 1x y m n   （ 0m  ， 0n  ）的公共焦 点为 1F ， 2F ，将 1C ， 2C 的离心率分别记为 1e ， 2e ，点 A 是 1C ， 2C 在第一象限的公共点，若点 A 关于 2C 的一条渐近线的对称点为 1F ，则 2 2 1 2 2 2 e e   （ ） A.2 B. 5 2 C. 7 2 D.4 8.已知可导函数 ( )f x 的导函数为 ( )f x ，若对任意的 x  R ，都有 ( ) ( ) 2f x f x   ，且 ( ) 2021f x  为奇 函数，则不等式 ( ) 2019 2xf x e  的解集为（ ） A. (0, ) B. ( ,0) C. ( , )e D. 1,e     二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分。 9.2020 年初，突如其来的疫情改变了人们的消费方式，在目前疫情防控常态化背景下，某大型超市为了解 人们以后消费方式的变化情况，更好的提高服务质量，收集并整理了本超市 2020 年 1 月份到 8 月份的线上 收入和线下收入的数据，并绘制如下的折线图 3.根据折线图，下列结论正确的是（ ） A.根据该超市这 8 个月折线图可知，线下收入的平均值在 7,8 内 B.根据该超市这 8 个月折线图可知，线上收入的极差比线下收入的极差大 C.根据该超市这 8 个月折线图可知，每月总收入与时间呈现负相关 D.根据该超市这 8 个月折线图可知，在疫情逐步得到有效控制后，人们比较愿意线下消费 10.已知函数 ( ) sin( )f x x   （ 0  ，| | 2   ）的最小正周期为 2 .把函数 ( )f x 的图象向左平移 2 3  个单位长度得到的图象对应的函数为偶函数，则（ ） A. 6   B. ,06      是 ( )f x 的图象的对称中心 C. ( )f x 在 0, 2      上单调递增 D. ( )f x 在 0, 上的值域为 1 ,12     11.已知抛物线 C： 2 4y x 的焦点为 F，  1 1,P x y ，  2 2,Q x y 是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ） A. C 的准线方程： 1x   B.若直线 PQ过点 F，则 1 2 4x x  C.若 5| | | | 2PF QF  ，则线段 PQ的中点 M 到 y 轴的距离为 1 4 D.若 PF QF ，则 2OPQS △ 12.已知5 3a  ，8 5b  ，则（ ） A. a b B. 1 1 2a b   C. 1 1a ba b    D. b aa a b b   三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，第 15 题第一问 2 分，第 2 问 3 分，共 20 分。 13. tan 765  __________. 14.已知圆 O 的半径为 5， 4OP  ，过点 P 的 2021 条弦的长度组成一个等差数列 na ，最短弦长为 1a ，最 长弦长为 2021a ，则公差 d  __________. 15.定义：在等式中 2 0 2 1 2 1 2 2 2 2 1 22 n n n n n n n n n n nx x D x D x D x D x D          （ *n N ）中，把 0 nD ， 1 nD ， 2 nD ，… 2n nD 叫做三项式  2 2 n x x  的 n 次系数列（如三项式的 1 次系数列是 1，-1，-2）.则（1）三项 式 2 2 n x x  的 2 次系数列各项之和等于__________；（2） 9 5D  __________. 16.如图 4，已知球 O 是直三棱柱 1 1 1ABC A B C 的外接球， 1 6AC BC CC   ， AC BC ，E，F 分别 为 1BB ， 1 1AC 的中点，过点 A，E，F 作三棱柱的截面α，若α交 1 1B C 于 M，过点 M 作球 O 的截面，则所得 截面圆面积的最小值是__________. 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（本小题满分 10 分） 设 na 为等差数列， nb 是正项等比数列，且 1 1 2a b  ， 3 22a b .在① 5 3 112b b b  ，② 5 42a b  ， ③ 2 2 1log log 1n nb b   ， 2n  ， *n N 这三个条件中任选一个，求解下列问题： （Ⅰ）写出你选择的条件并求数列 na 和 nb 的通项公式； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若 n n nc a b  （ *n N ），求数列 nc 的前 n 项和 nS . 18.（本小题满分 12 分） 如图 5，在平面四边形 ABCD 中， AB AD ， 1AB  ， 3AD  ， 2BC  . （I）若 2 2CD  ，求四边形 ABCD 的面积； （Ⅱ）若 7cos 5BCD  ， 0, 2ADC      ，求 sin ADC . 19.（本小题满分 12 分） 如图 6，在直四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中，四边形 ABCD 为平行四边形，M 为 1AA 的中点， 1BC BD  ， 1 2AB AA  . （Ⅰ）求证：平面 BMD  平面 BDC ； （Ⅱ）求二面角 1 1D MC C  的正弦值. 20.（本小题满分 12 分） 已知椭圆 C： 2 2 2 2 1x y a b   （ 0a b  ）的离心率为 3 3 ，直线 5 0x y   与椭圆 C 有且只有一个公共 点. （Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程 （Ⅱ）设点 ( 3,0)A  ， ( 3,0)B ，P 为椭圆 C 上一点，且直线 PA 与 PB 的斜率乘积为 2 3  ，点 M，N 是椭圆 C 上不同于 A，B 的两点，且满足 //AP OM ， //BP ON ，求证： OMN△ 的面积为定值. 21.（本小题满分 12 分） 已知函数 ( ) 1 lnxf x ae x  （Ⅰ）当 1a  ，讨论函数 ( )f x 的单调性； （Ⅱ）若不等式  ( ) x af x e x x  （ 0a  ），对 (1, )x  恒成立，求实数 a 的取值范围. 22.（本小题满分 12 分） 垃圾分类，是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、分类投放和分类搬运，从而转变成公共资源的一系列 活动的总称.分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用.垃圾分类后，大部分运往垃圾处 理厂进行处理.为了监测垃圾处理过程中对环境造成的影响，某大型垃圾处理厂为此建立了 5 套环境监测系 统，并制定如下方案：每年工厂的环境监测费用预算定为 80 万元，日常全天候开启 3 套环境监测系统，若 至少有 2 套系统监测出排放超标，则立即检查污染处理系统；若有且只有 1 套系统监测出排放超标，则立 即同时启动另外 2 套系统进行 1 小时的监测，且后启动的这 2 套监测系统中只要有 1 套系统监测出排放超 标，也立即检查污染处理系统.设每个时间段（以 1 小时为计量单位）被每套系统监测出排放超标的概率均 为 p（ 0 1p  ），且各个时间段每套系统监测出排放超标情况相互独立. （Ⅰ）当 1 2p  时，求某个时间段需要检查污染处理系统的概率； （Ⅱ）若每套环境监测系统运行成本为 20 元/小时（不启动则不产生运行费用），除运行费用外，所有的环 境监测系统每年的维修和保养费用需要 6 万元.现以此方案实施，问该工厂的环境监测费用是否会超过预算 （全年按 9000 小时计算）？并说明理由. 郴州市 2021 届高三第二次教学质量监测试卷 数学参考答案及评分细则 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1-5 BCDAC 6-8 CDA 二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，多项是符合题目要求的。 全部选对得 5 分，有选错得 0 分，部分选对得 3 分。 9.AD 10.BCD 11.ACD 12.ABD 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，第 16 题第一问 2 分，第 2 问 3 分，共 20 分。 13.1 14. 1 505 15.（1）4 （2）-80 16.8 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（Ⅰ）选择①：设 na 的公差为 d， nb 的公比为 q（ 0q  ）. 则根据题意有 4 2 2 2 4 2 2 24 d q q q      ，·················································································（2 分） 解得 2 3 q d    ············································································································· （4 分） 所以， 2 3( 1) 3 1na n n     12 2 2n n nb    ·························································（5 分） 选择②：设 na 的公差为 d， nb 的公比为 q（ 0q  ）. 则根据题意有 3 2 2 4 2 4 2 2 d q d q       ，··············································································· （2 分） 解得 2 3 q d    ············································································································· （4 分） 所以 2 3( 1) 3 1na n n     ， 12 2 2n n nb    .····················································· （5 分 ） 选择③：由 2 2 1log log 1n nb b   ， 2n  ， *n N 得 2 2 1log log 1n nb b   ∴ 1 2n n b b   ·············································································· （2 分） ∴ nb 的公比为 2q  又 2 2 4d q  ∴ 3d  ·····························································（4 分） 所以 2 3( 1) 3 1na n n     ， 12 2 2n n nb    .··························································· （5 分） （Ⅱ）由（Ⅰ）可知 (3 1) 2n nc n   ··········································································· （6 分） 2 32 2 5 2 8 2 (3 1) 2n nS n          ① 2 3 12 2 2 5 2 (3 4)2 (3 1)2n n nS n n          ②···················································· （7 分） ①－②得 2 3 12 2 3 2 3 2 3 2 (3 1) 2n n nS n              ············································（8 分）  2 3 14 3 2 2 2 (3 1)2n nn        ········································································ （9 分） ∴ 2 12 2 24 3 (3 1)21 2 n n nS n        1(3 4)2 8nn    ··································································································· （10 分） 18.（Ⅰ）连接 BD，在 Rt ABD△ 中 由勾股定理得： 2 2 2 4BD AB AD   ，所以 2BD  ················································· （1 分） 在 BCD△ 中，由余弦定理知： 2 2 2 3cos 2 4 BC CD BDC BC CD    ·····································（3 分） ∴ 2 7sin 1 cos 4C C   ··················································································· （4 分） 所以 1 7sin2 2BCDS BC CD C  △ ， 1 3 2 2ABDS AB AD  △ ···································· （5 分） 所以 ABCD 的面积 3 7 2ABD BCDS S S   △ △ ························································· （6 分） （Ⅱ）由 7cos 5BCD  得 3 2sin 5BCD  ·····························································（7 分） 在 BCD△ 中，由正弦定理知： sin sin BC BD BDC BCD   所以 sin 3sin 5 BC BCDBDC BD     ········································································· （8 分） 因为 0, 2ADC      ，所以 0, 2BDC      ， 4cos 5BDC  ····································（9 分） 在 Rt ABD△ 中， 3tan 3 ABADB AD    ，所以 6ADB   ······································（10 分） 所以 3 3 4 1 4 3 3sin sin 6 5 2 5 2 10ADC BDC              ·································· （12 分） 19.（Ⅰ）因为 1BC BD  ， 2CD AB  .可得 2 2 2BC BD CD  ， ∴ BD BC ，又∵ //AD BC ，∴ BD AD . 又∵ 1 1 1 1ABCD A B C D 是直四棱柱， ∴ 1DD  平面 ABCD .∴ 1DD BD . 1DD AD D ，∴ BD  平面 1 1ADD A ， ∴ BD MD .·········································································································· （2 分） 法一：取 1BB 中点 N，连接 NC ， MN ， ∵ //MN DC ，∴四边形 MNCD 为平行四边形，∴ //MD NC ， ∵ 1 2 2 NB BC BC CC   ，∴ 1NBC BCC∽△ △ ，∴ 1 90C BC BCN     ，∴ 1BC CN ， 又∵ //MD NC ，∴ 1MD BC .··················································································· （4 分） 又 1BC BD B ，∴ MD  平面 1BDC .······································································（5 分） 又 MD  平面 MBD ，所以平面 BMD  平面 1BDC .······················································ （6 分） 法二：连接 1 1AC ，可计算得 1 22 2C M  ， 6 2MD  ， 1 2C D  ， 所以 2 2 2 1 1MD C D MC  ，由勾股定理的逆定理得： 1MD DC ，余同法一 （Ⅱ）以 DA为 x 轴， DB为 y 轴， 1DD 为 z 轴，建立如图所示的坐标系， 则 (0,1,0)B ， 1( 1,1, 2)C  ， 1(0,0, 2)D ， 21,0, 2M       ∴ 1 22,1, 2MC        ， 1 (0,0, 2)CC  ， 1 1 ( 1,1,0)D C   ············································ （7 分） 设 平 面 1C CM 的 法 向 量 为 ( , , )n x y z ， 由 1 1 0 0 CC n MC n          得 2 0 2 3 0 z x y z       可 求 得 一 个 法 向 量 (1,2,0)n  ············································································································· （8 分） 同理可得平面 1 1D C M 的一个法向量 (1,1, 2)m  ························································· （10 分） 设二面角 1 1D MC C  的大小为θ 所以 | | 3 3 5| cos | | cos , | | || | 102 5 m nm n m n              ·····················································（11 分） 则 55sin 10   ，即二面角 1M BC D  的正弦值为 55 10 .·············································（12 分） 20.解：（Ⅰ）∵直线 5 0x y   与椭圆有且只有一个公共点， ∴直线 5 0x y   与椭圆 C： 2 2 2 2 1x y a b   （ 0a b  ）相切， ∴ 2 2 2 2 5 0 1 x y x y a b        2 2 2 2 2 2 22 5 5 0b a x a x a a b      ·········································· （3 分） ∴ 2 20 5a b     又∵ 3 3 c a  ，∴ 3a  ，∴ 2 2 2 2b a c   ， 椭圆 C 的方程为 2 2 13 2 x y  .······················································································（5 分） （Ⅱ）证明：由题意 M、N 是椭圆 C 上不同于 A，B 的两点， 由题意知，直线 AP ， BP 斜率存在且不为 0，又由已知 2 3AP BPk k   . 由 //AP OM ， //BP ON ，所以 2 3OM ONk k   ······························································ （6 分） 设直线 MN 的方程为 x my t  ， 代入椭圆方程得 2 2 22 3 4 2 6 0m y mty t     ①······················································（7 分） 设  1 1,M x y ，  2 2,N x y ， 则 1 2 2 4 2 3 mty y m     ， 2 1 2 2 2 6 2 3 ty y m   ······································································ （8 分） 又   2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 6 2 3 6 3OM ON y y y y tk k x x m y y mt y y t t m          ··································· （9 分） 得 2 22 2 3t m  ·····································································································（10 分） 所以 2 2 1 2 2 2 1 1 48 24 72 1 2 6 | | 6| | | | | |2 2 2 3 2 2 2MON m t tS t y y t tm t      △ 即 MON△ 的面积为定值 6 2 ·················································································（12 分） 21.解：（Ⅰ） ( )f x 的定义域为 (0, ) ， 1( ) lnxf x e x x       ，······································ （1 分） 令 1( ) lng x x x   ，则 2 2 1 1 1( ) xg x x x x     ，·····························································（2 分） 当 (0,1)x 时， ( ) 0g x  ， ( )g x 单调递减， 当 (1, )x  时， ( ) 0g x  ， ( )g x 单调递增，······························································（3 分） ∴ 1x  时， ( )g x 取得极小值即最小值 (1) 1g  ， ∴ ( ) 0f x  在 (0, ) 恒成立，·················································································· （4 分） ∴ ( )f x 在 (0, ) 单调递增；····················································································· （5 分） （Ⅱ）不等式  ( ) x af x e x x  等价于 ln ln lnx a x x a ae x x a x e e x x         ，····· （6 分） 设 ( ) lnk t t t  ，即    x ak e k x  （*） ∵ 1 1( ) 1 tk t t t    ································································································· （7 分） ∴当 (0,1)t  ， ( ) 0k t  ， ( )k t 在 (0,1) 是减函数 (1, )t   ， ( ) 0k t  ， ( )k t 在 (1, ) 是增函数 ·························································（8 分） ∵ (1, )x  ， 10 1xe e    ···············································································（9 分） 当 0a  时， 0 1ax  ，且 ( )k t 在 (0,1) 是减函数 则（*）式 ln x a xe x a x      令 ( ) ln xh x x  （ 1x  ），则 2 ln 1( ) (ln ) xh x x   ，······························································ （10 分） 当 (1, )x e 时， ( ) 0h x  ， ( )h x 单调递减， 当 ( , )x e  时， ( ) 0h x  ， ( )h x 单调递增，····························································（11 分） min( ) ( )h x h e e a e     ∴ a e  又 0a  ∴ 0e a   ································· （12 分） 22.（Ⅰ）设某个时间段在需要开启 3 套系统就被确定需要检查污染源处理系统的事件为 A 2 3 3 3 2 2 3 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1( ) (1 ) 2 2 2 2 2 2P A C p p C p C C C C                              ，···············（2 分） 设某个时间段在需要开启另外 2 套系统才能确定需要检查污染源处理系统的事件为 B 3 2 1 2 2 1 3 3 1 1 9( ) (1 ) 1 (1 ) 12 2 32P B C p p p C                        ···········································（5 分） ∴某个时间段需要检查污染源处理系统的概率为 1 9 25 2 32 32   ··········································· （6 分） （Ⅱ）设某个时间段环境监测系统的运行费用为 X 元，则 X 的可能取值为 60，100.···············（7 分） 1 2 3( 100) (1 )P X C p p   1 2 3( 60) 1 (1 )P X C p p    ···············································（8 分） 1 2 1 2 2 3 3( ) 60 1 (1 ) 100 (1 ) 60 120 (1 )E X C p p C p p p p           令 2( ) (1 )g p p p  ， (0,1)p ，则 2( ) (1 ) 2 (1 ) (3 1)( 1)g p p p p p p        .··············（9 分） 当 10, 3p     时， ( ) 0g p  ， ( )g p 在 10, 3      上单调递增， 当 1,13p     时， ( ) 0g p  ， ( )g p 在 1,13      上单调递减，············································ （10 分） ∴ ( )g p 的最大值为 1 4 3 27g      ，············································································· （11 分） ∴实施此方案，最高费用为 446 9000 60 120 10 7627         （万元）， ∵ 76 80 ，故不会超过预算.···················································································· （12 分）