【数学】甘肃省张掖市山丹一中2019-2020学年高二下学期期中考试（理） 10页

甘肃省张掖市山丹一中2019-2020学年 高二下学期期中考试（理）‎ ‎（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）‎ 测试范围： 选修2-2、选修2-3第一章．‎ 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知为虚数单位，若复数（）的实部为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．下列关于求导叙述正确的是 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎3．甲、乙、丙、丁四人商量是否参加志愿者服务活动.甲说：“乙去我就肯定去.”乙说：“丙去我就不去.”丙说：“无论丁去不去，我都去.”丁说：“甲、乙中只要有一人去，我就去.”则以下推论可能正确的是( )‎ A．乙、丙两个人去了 B．甲一个人去了 C．甲、丙、丁三个人去了 D．四个人都去了 ‎4．函数的导函数，满足关系式，则的值为（ ）‎ A．6 B． C． D．‎ ‎5．用数学归纳法证明：“”时，从到，等式的左边需要增乘的代数式是 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎6．若的展开式中的系数为-45，则实数的值为（　　）‎ A． B．‎2 ‎C． D．‎ ‎7．正切函数是奇函数，是正切函数，因此是奇函数，以上推理（ ）‎ A．结论正确 B．大前提不正确 C．小前提不正确 D．以上均不正确 ‎8．已知，若，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．1‎ ‎9．从A，B，C，D，E 5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中A不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为(　　)‎ A．24 B．48‎ C．72 D．120‎ ‎10．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在中，角所对的边分别为，则的面积.根据此公式，若，且，则的面积为 A． B．‎ C． D．‎ ‎11．如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当 时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎12．已知函数有两个不同的极值点，，若不等式有解，则的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知定义在上的奇函数满足当时，，则曲线在点处的切线斜率为______.‎ ‎14．设复数满足，则的最大值是_______.‎ ‎15．在学校国庆文艺晚会上，有三对教师夫妇参加表演节目，要求每人只能参加一个单项表演节目.按节目组节目编排要求，男教师的节目不能相邻，且夫妻教师的节目也不能相邻，则该6名教师表演的节目的不同编排顺序共有______种.（用数字填写答案）‎ ‎16．已知P是曲线上的点，Q是曲线上的点，曲线与曲线关于直线对称，M为线段PQ的中点，O为坐标原点，则的最小值为________．‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（10分）关于复数的方程.‎ ‎（1）若此方程有实数解，求的值；‎ ‎（2）证明：对任意的实数，原方程不可能有纯虚数根.‎ ‎18．（12分）观察下列等式:‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎ (1)猜想第n(n∈N*)个等式;‎ ‎(2)用数学归纳法证明你的猜想.‎ ‎19. （12分）设函数的图象上一点处的切线与的图象的另一交点为．‎ ‎（1）确定点的坐标；‎ ‎（2）求函数与切线围成的封闭图形面积．‎ ‎20．（12分）已知正项数列满足，且，设 ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：；‎ ‎（3）设为数列的前项和，求证：.‎ ‎21．（12分）某地环保部门跟踪调查一种有害昆虫的数量．根据调查数据，该昆虫的数量（万只）与时间（年）（其中）的关系为．为有效控制有害昆虫数量、保护生态环境，环保部门通过实时监控比值（其中为常数，且）来进行生态环境分析．‎ ‎（1）当时，求比值取最小值时的值；‎ ‎（2）经过调查，环保部门发现：当比值不超过时不需要进行环境防护．为确保恰好3年不需要进行保护，求实数的取值范围．（为自然对数的底，）‎ ‎22．（12分）已知函数，设的导函数为．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）设的极大值点为，求证：．（其中）‎ 参考答案 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ C B C D D D C C C A A C ‎13． 14．6 15．24 16． ‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ ‎【解析】（1）设，带入原方程得，‎ 即，则，故.‎ ‎（2）证明:假设原方程有纯虚数根，设（，且），‎ 则有，整理可得，‎ 则，对于，判别式，‎ 则方程无实数解，故方程组无实数解，即假设不成立，从而原方程不可能有纯虚数根.‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ ‎【解析】（1）猜想第个等式为.‎ ‎（2）证明：①当时，左边，右边，故原等式成立；‎ ‎②设时，有，则当时，‎ 故当时，命题也成立，由数学归纳法可以原等式成立.‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ ‎【解析】（1）点，，故，所以切线的方程为，即.联立，得，解得或（舍去），所以点．‎ ‎（2）由图，设函数与切线围成的封闭图形面积为，‎ 则，所以所求面积为．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ ‎【解析】（1）∵，，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴‎ ‎（2）猜想 要证，只需证，‎ ‎∵，只需证，‎ 只需证，‎ 又∵，且，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 累乘法可得，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎（3）∵，‎ ‎∴‎ ‎，而 ‎∴ .‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ ‎【解析】（1）当时，，∴ ‎ 列表得：‎ ‎2‎ ‎0‎ 单调减 极小值 单调增 ‎∴在上单调递减，在上单调递增 ∴在时取最小值； ‎ ‎（2）∵ 根据（1）知：在上单调减，在上单调增 ‎∵确保恰好3年不需要进行保护 ∴，解得：‎ 答：实数的取值范围为．‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ ‎【解析】（1）由已知的导函数为．‎ 要证，只需要证明．‎ 设，则．‎ 故在递减，在递增，‎ 故．‎ ‎（2）证明：因为，‎ 所以．‎ 令，则 可知，当时，单调递减，当，时，单调递增．‎ 又，， ，所以在有唯一零点，‎ 在，有唯一零点1．‎ 且当，，当，，，所以是的唯一的极大值 点，故，，‎ 所以 因为，显然 故．‎