高中数学人教a版选修4-1配套课件：2_1 圆周角定理 33页

第二讲　直线与圆的位置关系 本讲讨论直线与圆的位置关系，涉及圆周角、圆的内接四边形、圆的切线、弦切角，与圆有关的线段间的度量关系等内容．其中有的概念在初中阶段已经学习过，本讲力求使这些知识融为一体，对相关定理进行严格论证，并注重知识的应用． 学习目标   1. 掌握圆周角定理及圆心角定理和两个推论，掌握圆内接四 边形性质及判定方法，掌握切线的性质及判定，相交弦定 理、切割线定理和切线长定理等． 2. 能应用所学知识解决与圆有关的角的问题，比例线段问题 以及切线长的求法，能解决圆内接四边形以及切线问题． 3. 能综合本讲知识以及以前所学圆的有关知识进行圆中的计 算，比如弧长，面积等． 4. 学习本讲，应掌握本讲涉及的分类、猜想，运动变化等数 学思想方法． 本讲重点   1. 理解圆周角定理的证明过程，理解圆周角定理及推论，能应用 圆周角定理及推论解决相关的几何问题． 2. 经历圆内接四边形性质定理的探究过程，理解圆内接四边形的 性质与判定定理，能应用定理解决相关的几何问题． 3. 理解圆的切线的性质及判定定理，能应用定理解决相关的几何 问题． 4. 理解弦切角定理，能应用定理解决相关的几何问题． 5. 经历圆幂定理 ( 相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定 理 ) 的探究过程，理解圆幂定理，能应用定理解决相关的几何问 题 . 本讲难点   1. 用分类讨论方法证明圆周角定理和 弦切角定理等． 2. 运用运动变化思想方法探究几何问 题 . 第 1 课时　圆周角定理 【 课标要求 】 1 ． 理解 圆周角定理与圆心角定理、圆周角定理的两个推论． 2 ．会用圆周角定理和推论解决有关问题． 3 ．会用圆心角定理解决有关问题． 【 核心扫描 】 1 ． 理解 圆心角定理及圆周角定理的两条推论． ( 重点 ) 2 ． 能应用 两条定理及两条推论解决相关的几何问题． ( 难点 ) 自学导引 1 ． 圆周角定理 (1) 圆心 角及圆周角的概念：顶点在圆上，并且两边和圆相交的角叫做圆周角；顶点在圆心的角叫做圆心角． (2) 圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的 ． 圆心角的一半 2 ．圆心角定理 (1) 定理：圆心角的度数等于 的度数 ． (2) 圆心角的表示：圆心角 ∠ AOB 与其所对 的 AB 所对的度数是相等的，如图所示， 可以记为： ∠ AOB 的度数＝ AB 的度数， 不能写成 ∠ AOB ＝ AB . 它所对弧 3 ．圆周角定理的推论 (1) 推论 1 ：同弧或等弧所对的 ；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等． (2) 推论 2 ：半圆 ( 或直径 ) 所对的圆周角是 ； 90° 的圆周角所对的弦是 ． (3) 在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦三组量之间的相等关系，简单地说，就是圆心角相等 ⇔ 弧 相等 ⇔ 弦相等． 圆周角相等 直角 直径 名师点睛 1 ． 圆周 角定理揭示了圆周角与圆心角的关系，把角和弧两种不同类型的图形联系起来．在几何证明的过程中，圆周角定理为我们解决角和弧之间的问题提供了一种新方法． 2 ．圆心角的度数等于它所对的弧的度数，它与圆的半径无关，也就是说在大小不等的两个圆中，相同度数的圆心角，它们所对的弧的度数相等；反过来，弧的度数相等，它们所对的圆心角的度数也相等． 3 ．关于圆周角定理推论的理解 (1) 在推论 1 中，注意： “ 同弧或等弧 ” 改为 “ 同弦或等弦 ” 的话结论就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两种可能，在一般情况下是不相等的． (2) 圆心角的度数和它所对的弧的度数相等，但并不是 “ 圆心角等于它所对的弧 ” ． (3) “ 相等的圆周角所对的弧也相等 ” 的前提条件是 “ 在同圆或等圆中 ” ． (4) 在 同圆或等圆中，由弦相等 ⇒ 弧相等时，这里的弧要求同是优弧或同是劣弧，一般选劣弧． 反思感悟　 弦所对的圆周角有两个，易丢掉 120° 导致错误，另外求圆周角时易应用到解三角形的知识． 反思感悟　 利用圆中角的关系证明时应注意的问题 (1) 分析已知和所求，找好所在的三角形，并根据三角形所在圆上的特殊性，寻求相关的圆周角作为桥梁； (2) 当圆中出现直径时，要注意寻找直径所对的圆周角，然后在直角三角形中处理相关问题． 【 变式 2】 已知 AD 是 △ ABC 的高， AE 是 △ ABC 的外接圆的直径，求证： ∠ BAE ＝ ∠ DAC . 证明　 连接 BE ，因为 AE 为直径， 所以 ∠ ABE ＝ 90°. 因为 AD 是 △ ABC 的高， 所以 ∠ ADC ＝ 90°. 所以 ∠ ADC ＝ ∠ ABE . 因为 ∠ E ＝ ∠ C ， 所以 ∠ BAE ＝ 180° － ∠ ABE － ∠ E ， ∠ DAC ＝ 180° － ∠ ADC － ∠ C . 所以 ∠ BAE ＝ ∠ DAC . 法二　如图 (2) 所示，连接 AC 、 OC 、 BD 、 OD . ∵ CM 垂直平分 OA ， ∴ AC ＝ OC . 同理， OD ＝ BD . ∵ OC ＝ OD ， ∴ AC ＝ BD . ∴ AC ＝ BD . 反思感悟　 (1) 证明与弧有关问题的步骤： ① 根据题意作出辅助线； ② 证明两个圆心角、两个圆周角，或两条弧所在的弦相等； ③ 利用圆周角定理的相关推论作出结论． (2) 注意事项： 在圆中，只要有弧就存在着弧所对的圆周角．因此，若要判断两弧相等，可以通过判断两条弧所对的圆周角相等．其实圆心角、两条弦、两条弧中任何一组量相等，那么它们所对应的其余各个量也相等． 题型四　圆周角定理的综合应用 反思感悟　 应用圆周角和圆心角定理解题 ① 观察图形，寻找相应弦及所在的弧； ② 利用圆周角定理和圆心角定理求出相关的角； ③ 进行数学变形； ④ 得出结论． 解　 有 平行线段，理由是：如图所示， 因为 AB 是 ⊙ O 的直径，所以 ∠ ACB ＝ 90°. 又 AC ⊥ EF ，所以 ∠ ADF ＝ 90° ，所以 ∠ ADF ＝ ∠ ACB ，所以 EF ∥ BC . 有相等的线段，理由是：如图所示，连接 BF ，因为 BC ∥ EF ，所以 EC ＝ BF ，所以 EC ＝ BF . 反思感悟　 本题考查了直径所对的圆周角是直角这一性质，培养了同学们对图形的分析能力和探索能力． 【 示例 2】 (2012 · 新课标全国卷 ) 如图， D ， E 分别为 △ ABC 边 AB ， AC 的中点，直线 DE 交 △ ABC 的外接圆于 F ， G 两点，若 CF ∥ AB ，证明： (1) CD ＝ BC ； (2) △ BCD ∽△ GBD . 证明　 (1) 因为 D ， E 分别为 AB ， AC 的中点，所以 DE ∥ BC . 又已知 CF ∥ AB ，故四边形 BCFD 是平行四边形，所以 CF ＝ BD ＝ AD . 而 CF ∥ AD ，连接 AF ，所以 ADCF 是平行四边形，故 CD ＝ AF . 因为 CF ∥ AB ，所以 BC ＝ AF ，故 CD ＝ BC . (2) 因为 FG ∥ BC ，故 GB ＝ CF 由 (1) 可知 BD ＝ CF ，所以 GB ＝ BD ，由 (1) 知 △ BCD 为等腰三角形，且 △ GBD 为等腰三角形． 而 ∠ DGB ＝ ∠ EFC ＝ ∠ DBC ， 故 △ BCD ∽△ GBD . 反思感悟　 本题主要考查平面几何中平行线的性质，三角形相似的判定等，意在考查考生的观察能力和分析问题的能力 .