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- 2021-06-11 发布
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2020届高考数学仿真模拟冲刺卷(四)
注意事项:
1.本卷仿真文科数学,题序与高考题目序号保持一致,考试时间为120分钟,满分为150分。
2.请将答案填写在答题卷上。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.+3i=( )
A.i B.2i C.1-3i D.1+3i
2.已知集合A={x|log2(x-1)<1},B={x||x-a|<2},若A⊆B,则实数a的取值范围为( )
A.(1,3) B.[1,3] C.[1,+∞) D.(-∞,3]
3.已知向量a=(2,1),b=(2,x)不平行,且满足(a+2b)⊥(a-b),则x=( )
A.- B. C.1或- D.1或
4.函数f(x)=的图象大致为( )
5.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的s=( )
A.26 B.102 C.410 D.512
6.设x,y满足约束条件则z=2x+y的取值范围为( )
A.[2,6] B.[3,6] C.[3,12] D.[6,12]
7.已知函数f(x)=sin ωx-cos ωx(ω>0)的最小正周期为2π,则f(x)的单调递增区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
8.已知a,b是区间[0,4]上的任意实数,则函数f(x)=ax2-bx+1在[2,+∞)上单调递增的概率为( )
A. B. C. D.
9.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某四面体的三视图,则此四面体的体积为( )
A. B.16 C.32 D.48
10.已知正三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,棱锥的底面是边长为2的正三角形,侧棱长为2,则球O的表面积为( )
A.10π B.25π C.100π D.125π
11.已知M为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右支上一点,A,F分别为双曲线C的左顶点和右焦点,线段FA的垂直平分线过点M,∠MFA=60°,则C的离心率为( )
A.6 B.4
C.3 D.2
12.已知函数f(x)=x3+a,则f(x)的零点可能有( )
A.1个
B.1个或2个
C.1个或2个或3个
D.2个或3个
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知点P(sin 35°,cos 35°)为角α终边上一点,若0°≤α<360°,则α=________.
14.已知两条不同的直线m,n,两个不重合的平面α,β,给出下列五个命题:
①m∥n,m⊥α⇒n⊥α
②α∥β,m⊂α,n⊂β⇒m∥n
③m∥n,m∥α⇒n∥α
④m⊥α,m∥β⇒α⊥β
⑤α∥β,m∥n,m⊥α⇒n⊥β.
其中正确命题的序号是________.
15.若函数f(x)=ax-的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,4),则a=________.
16.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若ccos B+bcos C=2acos A,=+,且AM=1,则b+2c的最大值是________.
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共60分.
17.(12分)已知{an}是首项为1的等比数列,各项均为正数,且a2+a3=12.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Sn.
18.(12分)如图,已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为4的正方形,△PAD是正三角形,平面PAD⊥平面ABCD,E,F,G分别是PD,PC,BC的中点.
(1)求证:平面EFG⊥平面PAD;
(2)若M是线段CD上一点,求三棱锥M-EFG的体积.
19.(12分)已知椭圆C的中心在原点,焦点在坐标轴上,直线y=x与椭圆C在第一象限内的交点是M,点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点F2,椭圆C的另一个焦点是F1,且·=.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l过点(-1,0),且与椭圆C交于P,Q两点,求△F2PQ的内切圆面积的最大值.
20.(12分)某校高三文科(1)班共有学生45人,其中男生15人,女生30人.在一次地理考试后,对成绩作了数据分析(满分100分),成绩为85分以上的同学称为“地理之星”,得到了如下图表:
地理之星
非地理之星
合计
男性
女生
合计
如果从全班45人中任意抽取1人,抽到“地理之星”的概率为.
(1)完成“地理之星”与性别的2×2列联表,并回答是否有90%以上的把握认为获得“地理之星”与“性别”有关?
(2)若已知此次考试中获得“地理之星”的同学的成绩平均值为90,方差为7.2,请你判断这些同学中是否有得到满分的同学,并说明理由.(得分均为整数)
参考公式:K2=,其中n=a+b+c+d.
临界值表:
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
21.(12分)已知函数f(x)=-aln(1+x)(a∈R),g(x)=x2emx+1-e2.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若a<0,∀x1,x2∈[0,e],不等式f(x1)≥g(x2)恒成立,求实数m的取值范围.
(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数,a∈R).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=4cos θ,射线θ=(ρ≥0)与曲线C交于O,P两点,直线l与曲线C交于A,B两点.
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
(2)当|AB|=|OP|时,求a的值.
23.[选修4-5:不等式选讲](10分)
已知不等式|2x+1|+|2x-1|<4的解集为M.
(1)求集合M;
(2)设实数a∈M,b∉M,证明:|ab|+1≤|a|+|b|.
仿真模拟冲刺卷(四)
1.答案:B
解析:解法一 因为+3i=+3i=2i,故选B.
解法二 +3i===2i,故选B.
2.答案:B
解析:由log2(x-1)<1,得00,所以排除选项C,D.因为x>0时,f(x)==xex,所以f′(x)=ex+xex=ex(x+1)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,排除选项B.故选A.
5.答案:B
解析:s=0,n=1,第一次运行,s=21-0=2,n=1+2=3;
第二次运行,s=23-2=6,n=3+2=5;
第三次运行,s=25-6=26,n=5+2=7;
第四次运行,s=27-26=102,n=7+2=9>8,终止循环.输出s=102,故选B.
6.答案:C
解析:解法一 不等式组表示的平面区域如图中三角形ABC(包括边界)所示,作出直线2x+y=0并平移,可知当直线z=2x+y经过点A时,z取得最小值,解方程组得即A(1,1),所以zmin=2×1+1=3,当直线z=2x+y经过点B时,z取得最大值,解方程组得即B(5,2),所以zmax=2×5+2=12,所以z的取值范围为[3,12],故选C.
解法二 由方程组
可得可行域的三个顶点坐标分别为A(1,1),B(5,2),C(1,4),分别代入z=2x+y中,得zA=3,zB=12,zC=6,所以z的取值范围为[3,12],故选C.
7.答案:B
解析:解法一 因为f(x)=2=2sin,f(x)的最小正周期为2π,所以ω==1,所以f(x)=2sin,由2kπ-≤x-≤2kπ+(k∈Z),得2kπ-≤x≤2kπ+(k∈Z),
所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z),故选B.
解法二 因为f(x)=2=-2cos,f(x)的最小正周期为2π,所以ω==1,所以f(x)=-2cos,由2kπ≤x+≤2kπ+π(k∈Z),得2kπ-≤x≤2kπ+(k∈Z),
所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z),故选B.
8.答案:D
解析:当a=0时,f(x)=-bx+1在[2,+∞)上不可能单调递增,当a≠0时,由已知及二次函数的单调性知-≤2,即b≤4a,所以由题意可得画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(梯形OABD)所示,易得D(1,4),所以S梯形OABD=×(4+3)×4=14,正方形OABC的面积S=4×4=16,所以函数f(x)在[2,+∞)上单调递增的概率P==,故选D.
9.答案:A
解析:由三视图知,该四面体可以看作是正方体中的三棱锥P-ABC,如图,
由已知可得AB=4,AC=4,△ABC是直角三角形,所以S△ABC=AB×AC=×4×4=8,所以四面体P-ABC的体积V=×8×4=,故选A.
10.答案:B
解析:如图,设O1为正三棱锥S-ABC的底面中心,连接SO1,则SO1是三棱锥的高,三棱锥的外接球的球心O在SO1上,设球的半径为R,连接AO1,AO,因为正三角形ABC的边长为2,所以AO1=2××=2,因为SA=2,所以在Rt△ASO1中,SO1==4,在Rt△AOO1中,R2=(4-R)2+22,解得R=,所以球O的表面积为4π×2=25π,故选B.
11.答案:B
解析:如图,设双曲线C的左焦点为F1,连接MF1,由题意知|MF|=a+c,|MF1|=3a+c,在△MF1F中,由余弦定理得|MF1|2=|F1F|2+|MF|2-2|F1F|·|MF|cos 60°,所以(3a+c)2=(2c)2+(a+c)2-2×2c(a+c)×,整理得
4a2+3ac-c2=0,因为e=,所以e2-3e-4=0,因为e>1,所以e=4,故选B.
12.答案:A
解析:因为f(x)=x3+a,所以f′(x)=x2+ax+a,
令f′(x)=0,则Δ=a2-4a=(a-2)2-4.
因为x2+x+2=(x+1)2+>0,所以令f(x)=0,则a=,
f(x)的零点转化为直线y=a与函数g(x)=的图象的交点.
g′(x)==,
令g′(x)=0,即-x4-x3-2x2=0,整理得x2(x2+4x+12)=0,
由于x2+4x+12=(x+2)2+8>0,所以x=0,所以g′(x)≤0,所以g(x)在(-∞,+∞)上单调递减,所以直线y=a与函数g(x)的图象可能有1个交点.所以f(x)的零点可能有1个.故选A.
13.答案:55°
解析:由题意知cos α=sin 35°=cos 55°,sin α=cos 35°=sin 55°,P在第一象限,∴α=55°.
14.答案:①④⑤
解析:命题①,显然正确;命题②,m,n可能异面,故②为假命题;命题③,可能n⊂α,故③为假命题;命题④,由线面垂直、线面平行的性质以及面面垂直的判定知④为真命题;命题⑤,由m∥n,m⊥α,得n⊥α,又α∥β,所以n⊥β,故⑤为真命题.综上,正确的命题为①④⑤.
15.答案:2
解析:f′(x)=a+,f′(1)=a+3,f(1)=a-3,故f(x)的图象在点(1,a-3)处的切线方程为y-(a-3)=(a+3)(x-1),又切线过点(2,4),所以4-(a-3)=a+3,解得a=2.
16.答案:2
解析:∵ccos B+bcos C=2acos A,∴sin Ccos B+sin Bcos C=2sin Acos A,∴sin(C+B)=2sin Acos A,∴sin A=2sin Acos A.∵00,所以q=3,所以an=3n-1.(5分)
(2)bn===,(8分)
所以
Sn=
=-.(12分)
18.解析:(1)因为平面PAD⊥平面ABCD,
平面PAD∩平面ABCD=AD,CD⊂平面ABCD,且CD⊥AD,
所以CD⊥平面PAD.
在△PCD中,E,F分别是PD,PC的中点,
所以EF∥CD,所以EF⊥平面PAD.
因为EF⊂平面EFG,所以平面EFG⊥平面PAD.
(2)因为EF∥CD,EF⊂平面EFG,CD⊄平面EFG,
所以CD∥平面EFG,
因此CD上的点M到平面EFG的距离等于点D到平面EFG的距离,连接DF,DG,如图,
V三棱锥M-EFG=V三棱锥D-EFG.
取AD的中点H,连接GH,EH,FH,
则EF∥GH,
因为EF⊥平面PAD,EH⊂平面PAD,
所以EF⊥EH.
于是S△EFH=EF×EH=2=S△EFG.
平面EFG⊥平面PAD,平面EFG∩平面PAD=EH,
且易知△EHD是边长为2的正三角形,所以点D到平面EFG
的距离等于正三角形EHD的高,为.
所以三棱锥M-EFG的体积V三棱锥M-EFG=V三棱锥D-EFG=×S△EFG×=.
19.解析:(1)根据直线y=x与椭圆C在第一象限内的交点是M,点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点F2,
可知焦点在x轴上且M点坐标,F1(-c,0),F2(c,0).
∵·=,
∴c2=,∴c=1.
设椭圆C方程:+=1(a>b>0),
M点坐标代入椭圆C方程得
+=1,
∵c==1,
∴a=2,b=.
∴椭圆C方程为+=1.(6分)
(2)要使△F2PQ的内切圆面积最大,即使△F2PQ的面积最大,
∵F2F1为定长,
∴当且仅当直线l过(-1,0),与x轴垂直时△F2PQ的面积最大,
此时P,Q,
∴||=||=,||=3.
设△F2PQ的内切圆半径为r,则
×3×2=×r,
∴r=,其面积S=.(12分)
20.解析:(1)易知“地理之星”总人数为45×=15,得到2×2列联表如下:
地理之星
非地理之星
合计
男生
7
8
15
女生
8
22
30
合计
15
30
45
(4分)
则k==1.8<2.706,
所以没有90%以上的把握认为获得“地理之星”与“性别”有关.(6分)
(2)没有得满分的同学.记各个分值由高到低分别为x1,x2,…,x15,则
①若有两个及以上得满分,
则s2=[(100-90)2+(100-90)2+(x3-90)2+…+(x15-90)2]>>7.2,不符合题意.(8分)
②
若恰有一个满分,为使方差最小,则其他分值需集中分布于平均数90的附近,且保证平均值为90,则有10个得分为89,其余4个得分为90,此时方差取得最小值.(10分)
s=[(100-90)2+4×(90-90)2+10×(89-90)2]=>7.2,与题意方差为7.2不符.
综上,这些同学中没有得满分的同学.
(也可以从一个满分讨论入手,推导一个不符合题意,两个更不符合题意)(12分)
21.解析:(1)因为f(x)=-aln(1+x)(x>-1),
所以f′(x)=-=,(1分)
当a≤0时,f′(x)>0,所以函数f(x)的单调递增区间为(-1,+∞).(2分)
当a>0时,由得-1-1+.(3分)
所以函数f(x)的单调递增区间是;单调递减区间是.(4分)
综上所述,当a≤0时,函数f(x)的单调递增区间为(-1,+∞).
当a>0时,函数f(x)的单调递增区间是;单调递减区间是.(5分)
(2)若a<0,则∀x1,x2∈[0,e],不等式f(x1)≥g(x2)恒成立,
等价于“对任意x∈[0,e],f(x)min≥g(x)max恒成立”.(6分)
当a<0时,由(1)知,函数f(x)在[0,e]上单调递增,
所以f(x)min=f(0)=0.(7分)
g′(x)=2xemx+1+x2emx+1m=x(mx+2)emx+1,
(ⅰ)当m≥0时,由0≤x≤e,得g′(x)≥0,知函数g(x)在[0,e]上单调递增,
所以g(x)max=g(e)=eme+3-e2>0,不符合题意.(8分)
(ⅱ)当-≤m<0,即-≥e时,在[0,e]上,g′(x)≥0,所以g(x)在[0,e]上单调递增,所以g(x)max=g(e)=eme+3-e2,只需满足:eme+3-e2≤0,即m≤-,所以-≤m≤-.(9分)
(ⅲ)当m<-,即0<--,所以m<-.(11分)
综上所述,实数m的取值范围为.(12分)
22.解析:(1)将直线l的参数方程化为普通方程,得x+y-a=0.(2分)
由ρ=4cos θ,得ρ2=4ρcos θ,(3分)
从而x2+y2=4x,即曲线C的直角坐标方程为x2-4x+y2=0.(5分)
(2)解法一 由,得P.
所以|OP|=2,(6分)
将直线l的参数方程代入圆的方程x2-4x+y2=0中,得t2+(2+a)t+a2=0,
由Δ>0,得2-4<a<2+4.(8分)
设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,
则|AB|=|t1-t2|===2,(9分)
解得,a=0或a=4.
所以,所求a的值为0或4.(10分)
解法二 将θ=(ρ≥0)化为直角坐标方程,得x-y=0(x≥0),(6分)
由(1)知,曲线C:(x-2)2+y2=4的圆心C(2,0),半径为2,
由点到直线的距离公式,得点C到该射线的最短距离d==,(7分)
所以该射线与曲线C相交所得的弦长为|OP|=2=2.(8分)
圆心C到直线l的距离为:=,(9分)
由2+12=22,得(2-a)2=12,即2-a=±2,
解得,a=0或a=4.
所以,所求a的值为0或4.(10分)
23.解析:(1)解法一 当x<-时,不等式化为:-2x-1+1-2x
<4,即x>-1,
所以-1<x<-;(2分)
当-≤x≤时,不等式化为:2x+1-2x+1<4,即2<4,
所以-≤x≤;(3分)
当x>时,不等式化为:2x+1+2x-1<4,即x<1,
所以<x<1,(4分)
综上可知,M={x|-1<x<1}.(5分)
解法二 设f(x)=|2x+1|+|2x-1|,
则f(x)=(2分)
函数f(x)的图象如图所示,(4分)
若f(x)<4,由右图可得,-1