高三数学（理数）总复习练习专题六 三角函数 60页

‎ (2015·重庆，9，中)若tan α＝2tan，则＝(　　)‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】　C　原式＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝3.‎ ‎1．(2014·大纲全国，3，易)设a＝sin 33°，b＝cos 55°，c＝tan 35°，则(　　)‎ A．a>b>c B．b>c>a C．c>b>a D．c>a>b ‎【答案】　C　∵b＝cos 55°＝sin 35°>sin 33°＝a，‎ ‎∴b>a.‎ 又∵c＝tan 35°＝>sin 35°＝cos 55°＝b，‎ ‎∴c>b.∴c>b>a.故选C.‎ ‎2．(2012·江西，4，易)若tan θ＋＝4，则sin 2θ＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】　D　(先切化弦，再求sin 2θ)‎ 因为tan θ＋＝＋＝＝＝4，‎ 所以sin 2θ＝.‎ ‎3．(2012·山东，7，易)若θ∈，sin 2θ＝，则sin θ＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】　D　∵θ∈，‎ ‎∴2θ∈，sin θ>0，‎ ‎∴cos 2θ≤0，‎ ‎∴cos 2θ＝－ ‎＝－＝－.‎ 又cos 2θ＝1－2sin2θ，‎ ‎∴sin2θ＝＝＝.‎ ‎∴sin θ＝，故选D.‎ ‎4．(2011·课标全国，5，易)已知角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos 2θ＝(　　)‎ A．－ B．－ C. D. ‎【答案】　B　方法一：设角θ的终边上任一点为P(k，2k)，‎ 则r＝＝|k|.‎ 当k>0时，r＝k，‎ ‎∴sin θ＝＝，cos θ＝＝.‎ ‎∴cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝－＝－.‎ 当k<0时，r＝－k，‎ ‎∴sin θ＝－＝－，‎ cos θ＝－＝－.‎ ‎∴cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝－＝－.‎ 综上可得，cos 2θ＝－，故选B.‎ 方法二：因为该直线的斜率是k＝2＝tan θ，所以cos 2θ＝＝＝－.‎ ‎5．(2011·大纲全国，14，易)已知α∈，sin α＝，则tan 2α＝________．‎ ‎【解析】　∵α∈，sin α＝，‎ ‎∴cos α＝－，∴tan α＝－，‎ ‎∴tan 2α＝＝－.‎ ‎【答案】　－ 考向1　三角函数的定义及应用 ‎1．终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．‎ ‎2．角度与弧度的互化 ‎(1)360°＝2π rad；(2)180°＝π rad；‎ ‎(3)1°＝ rad；(4)1 rad＝°≈57.30°.‎ ‎3．弧长及扇形面积公式 ‎(1)弧长公式：l＝|α|r；‎ ‎(2)扇形面积公式：S＝lr＝|α|r2.‎ 其中l为扇形弧长，α为圆心角，r为扇形半径．‎ ‎4．任意角的三角函数的定义 设α是一个任意角，α的终边上任意一点P(与原点不重合)的坐标为(x，y)，它到原点的距离是r＝.‎ 三角函数 定义 定义域 sin α R cos α R tan α ‎　　5.三角函数在各象限的符号 记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．‎ ‎6．三角函数线 角所在的象限 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 图形 ‎(1)(2015·广东佛山质检，11)若角θ的终边经过点P(－，m)(m≠0)且sin θ＝m，则cos θ的值为________．‎ ‎(2)(2012·山东，16)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P的位置在(0，0)，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2，1)时，的坐标为________．‎ ‎【解析】　(1)点P(－，m)是角θ终边上一点，由三角函数定义可知sin θ＝.又sin θ＝m，∴＝m.‎ 又m≠0，∴m2＝5，∴cos θ＝＝－.‎ ‎(2)如图，‎ 由题意知＝OB＝2.‎ ‎∵圆的半径为1，∴∠BAP＝2，故∠DAP＝2－，‎ ‎∴DA＝APcos＝sin 2，DP＝APsin＝－cos 2.‎ ‎∴OC＝2－sin 2，PC＝1－cos 2.‎ ‎∴＝(2－sin 2，1－cos 2)．‎ ‎【答案】　(1)－　(2)(2－sin 2，1－cos 2)‎ ‎【点拨】　解题(1)的关键是正确理解三角函数的定义；解题(2)的关键是确定的长度，以及通过P 点、圆心与x轴构造直角三角形进行求解．‎ ‎ 三角函数定义的应用类型及解题方法 ‎(1)已知角α终边上一点P的坐标求三角函数值，先求出点P到原点的距离r，然后利用三角函数定义求解．‎ ‎(2)已知角α的终边所在的直线方程求三角函数值，先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数定义求解相关问题，同时注意分类讨论．‎ ‎(3)判断三角函数值的符号问题，先判断角所在的象限，再根据各象限的符号规律判断．‎ ‎(2015·山东临沂质检，12)已知角θ的终边经过点P(－4cos α，3cos α)，α∈，则sin θ＋cos θ＝________．‎ ‎【解析】　当π<α<时，cos α<0，所以γ＝－5cos α，故sin θ＝－，cos θ＝，则sin θ＋cos θ＝；当<α<2π时，cos α>0，所以γ＝5cos α，故sin θ＝，cos θ＝－，则sin θ＋cos θ＝－.‎ ‎【答案】　± 考向2　同角三角函数基本关系式及应用 同角三角函数基本关系式 ‎(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.‎ ‎(2)商数关系：tan α＝.‎ 利用同角三角函数的平方关系求三角函数值，进行开方时要根据角的范围，判断符号后正确取舍．‎ ‎(1)(2013·大纲全国，2)已知α是第二象限角，sin α＝，则cos α＝(　　)‎ A．－ B．－ C. D. ‎(2)(2012·辽宁，7)已知sin α－cos α＝，α∈(0，π)，则tan α＝(　　)‎ A．－1 B．－ C. D．1‎ ‎(3)(2015·贵州贵阳模拟，5)已知sin αcos α＝，且<α<，则cos α－sin α的值为(　　)‎ A．－ B. C．－ D. ‎【解析】　(1)因为α是第二象限角，所以cos α<0.由同角函数关系式知cos α＝－＝－，故选A.‎ ‎(2)方法一：∵sin α－cos α＝，‎ ‎∴(sin α－cos α)2＝2＝2(sin2α＋cos2α)．‎ 即sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝0.‎ 等式两边同时除以cos2α得，‎ tan2α＋2tan α＋1＝0，‎ 即tan α＝－1.‎ 方法二：∵sin α－cos α＝，∴(sin α－cos α)2＝2，‎ 即1－2sin αcos α＝2.‎ ‎∴sin 2α＝－1.‎ ‎∵α∈(0，π)，∴α＝，∴tan α＝－1.‎ ‎(3)∵<α<，‎ ‎∴cos α<0，sin α<0且|cos α|<|sin α|，‎ ‎∴cos α－sin α>0.‎ 又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，‎ ‎∴cos α－sin α＝.‎ ‎【答案】　(1)A　(2)A　(3)B ‎【点拨】　解题(1)时需注意余弦值的符号；解题(2)时注意平方关系和商数关系的交替使用；解题(3)的关键是等式(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.但要特别注意对sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α符号的关注．‎ ‎ 同角三角函数基本关系式的应用技巧 ‎(1)弦切互化法：主要利用公式tan θ＝化成正弦、余弦函数；‎ ‎(2)和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化；‎ ‎(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θ.‎ ‎(2015·福建泉州质检，11)已知－0，‎ ‎∵sin x－cos x<0，‎ 故sin x－cos x＝－.‎ ‎【答案】　－ 考向3　诱导公式及应用 ‎1．诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 ‎2kπ＋α(k∈Z)‎ π＋α ‎－α π－α －α ＋α 正弦 sin α ‎－sin α ‎－sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α ‎－cos α cos α ‎－cos α sin α ‎－sin α 正切 tan α tan α ‎－tan α ‎－tan α ‎2.诱导公式的记忆规律 ‎(1)诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限．‎ ‎(2)“奇”“偶”指的是诱导公式k·＋α中的整数k是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变．‎ ‎(3)“符号看象限”指的是在k·＋α中，将α看成锐角时k·＋α所在的象限．‎ ‎(1)(2013·广东，4)已知sin＝，那么cos α等于(　　)‎ A．－ B．－ C. D. ‎(2)(2015·黑龙江哈师大附中模拟，6)设tan(π＋α)＝2，则等于(　　)‎ A．3 B. C．1 D．－1‎ ‎(3)(2015·河南安阳质检，14)已知cos＝，则sin＝________．‎ ‎【解析】　(1)∵sin＝sin＝cos α，‎ ‎∴cos α＝.‎ ‎(2)由tan(π＋α)＝2，得tan α＝2，故＝＝＝＝3.‎ ‎(3)∵＋＝－，‎ ‎∴α－＝－－，‎ ‎∴sin＝sin ‎＝－cos＝－.‎ ‎【答案】　(1)C　(2)A　(3)－ ‎ 1.利用诱导公式求值的原则及步骤 ‎(1)原则：负化正、大化小、化到锐角为终了．‎ ‎(2)步骤：利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为0～之间角的三角函数，然后求值，其步骤为：‎ ‎2．利用诱导公式化简三角函数的思路和要求 ‎(1)思路方法：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式．‎ ‎(2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，‎ 能求值的要求出值．‎ 本例(3)条件不变，则cos·sin＝________．‎ ‎【解析】　∵＋＝π，‎ ‎∴＋α＝π－，‎ ‎∴cos＝cos ‎＝－cos＝－.‎ 又＋＝，‎ ‎∴α＋＝－，‎ ‎∴sin＝sin ‎＝cos＝，‎ ‎∴cossin＝×＝－.‎ ‎【答案】　－ ‎1．(2014·湖南株洲质检，3)已知扇形的周长是4 cm，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是(　　)‎ A．2 B．1 C. D．3‎ ‎【答案】　A　设此扇形的半径为r，弧长为l，则2r＋l＝4，面积S＝rl＝r(4－2r)＝－r2＋2r＝‎ ‎－(r－1)2＋1，故当r＝1时S最大，这时l＝4－2r＝2.从而α＝＝＝2.‎ ‎2．(2015·福建泉州一模，5)已知2tan α·sin α＝3，－<α<0，则sin α＝(　　)‎ A. B．－ C. D．－ ‎【答案】　B　由2tan α·sin α＝3，得＝3，即2cos2α＋3cos α－2＝0.又－<α<0，解得cos α＝(cos α＝－2舍去)，故sin α＝－.‎ ‎3．(2015·安徽江淮十校协作体联考，4)已知锐角α，且5α的终边上有一点P(sin(－50°)，‎ cos 130°)，则α的值为(　　)‎ A．8° B．44° C．26° D．40°‎ ‎【答案】　B　∵sin(－50°)<0，cos 130°＝－cos 50°<0，∴点P(sin(－50°)，cos 130°)在第三象限．‎ 又∵0°<α<90°，∴0°<5α<450°.‎ 又∵点P的坐标可化为(cos 220°，sin 220°)，‎ ‎∴5α＝220°，∴α＝44°，故选B.‎ ‎4．(2015·黑龙江哈尔滨一模，7)若sin θ，cos θ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为(　　)‎ A．1＋ B．1－ C．1± D．－1－ ‎【答案】　B　由题意知，sin θ＋cos θ＝－，‎ sin θcos θ＝.‎ ‎∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，‎ ‎∴＝1＋，解得m＝1±.‎ 又Δ＝4m2－16m≥0，‎ ‎∴m≤0或m≥4，∴m＝1－.‎ ‎5．(2015·江西南昌质检，7)如图所示，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(，－)，角速度为1，那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为(　　)‎ ‎【答案】　C　∵P0(，－)，∴∠P0Ox＝－.‎ ‎∵角速度为1，∴按逆时针旋转时间t后，得∠POP0＝t，∴∠POx＝t－.‎ 由三角函数定义，知点P的纵坐标为2sin，‎ 因此d＝2.‎ 令t＝0，则d＝2＝，‎ 当t＝时，d＝0，故选C.‎ 思路点拨：解题的关键是结合圆周运动，准确理解题意，根据三角函数定义，表示出d＝2.‎ ‎6．(2015·安徽安庆质检，11)已知sin(3π－α)＝－2sin，则sin αcos α＝________．‎ ‎【解析】　由sin(3π－α)＝－2sin，得sin α＝－2cos α，‎ ‎∴tan α＝－2，∴sin αcos α＝＝＝－.‎ ‎【答案】　－ ‎7．(2015·山西大同一模，14)已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cos α＝－，则x的值为________．‎ ‎【解析】　∵cos α＝＝＝－，‎ ‎∴，解得x＝.‎ ‎【答案】　 ‎8．(2015·广东广州综合测试，12)设α为锐角，若cos＝，则sin＝________．‎ ‎【解析】　由于0<α<，则<α＋<，‎ 因此sin>0，‎ 所以sin＝＝＝，‎ 所以sin＝sin ‎＝sincos －cossin ‎＝×－×＝.‎ ‎【答案】　 ‎9．(2014·山东青岛二模，16，12分)设函数f(x)＝－x2＋2x＋a(0≤x≤3)的最大值为m，最小值为n，其中a≠0，a∈R.‎ ‎(1)求m，n的值(用a表示)；‎ ‎(2)已知角β的顶点与平面直角坐标系xOy中的原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点A(m－1，n＋3)，求sin的值．‎ 解：(1)由题意可得f(x)＝－(x－1)2＋1＋a，而0≤x≤3，‎ 所以m＝f(1)＝1＋a，n＝f(3)＝a－3.‎ ‎(2)由题意知，角β终边经过点A(a，a)，‎ 当a>0时，r＝＝a，‎ 则sin β＝＝，cos β＝＝.‎ 所以sin＝sin βcos＋cos β·sin＝.‎ 当a<0时，r＝＝－a，‎ 则sin β＝＝－，cos β＝＝－.‎ 所以sin＝sin βcos＋cos β·sin＝－.‎ 综上所述，sin＝－或.‎ ‎1．(2015·山东，3，易)要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象(　　)‎ A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 ‎【答案】　B　∵y＝sin ‎＝sin，‎ ‎∴只需将y＝sin 4x的图象向右平移个单位，即可得y＝sin的图象．‎ ‎2．(2015·湖南，9，中)将函数f(x)＝sin 2x的图象向右平移φ个单位后得到函数g(x ‎)的图象．若对满足|f(x1)－g(x2)|＝2的x1，x2，有|x1－x2|min＝，则φ＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】　D　由题意知，‎ g(x)＝sin 2(x－φ)＝sin(2x－2φ)．‎ 若满足|f(x1)－g(x2)|＝2，‎ 不妨设f(x1)＝1，g(x2)＝－1，‎ 即2x1＝＋2kπ，x1＝＋kπ；‎ ‎2x2－2φ＝－＋2mπ，x2＝－＋φ＋mπ(k，m∈Z)．‎ ‎|x1－x2|min＝＝，φ∈，则φ＝，故选D.‎ ‎3．(2015·湖北，17，11分，中)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：‎ ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π x Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎－5‎ ‎0‎ ‎(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象．若y＝g(x)图象的一个对称中心为，求θ的最小值．‎ 解：(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－.数据补全如下表：‎ ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π x Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎－5‎ ‎0‎ 函数解析式为f(x)＝5sin.‎ ‎(2)由(1)知，f(x)＝5sin，得g(x)＝5sin.‎ 因为y＝sin x的对称中心为(kπ，0)，k∈Z，‎ 所以令2x＋2θ－＝kπ，解得x＝＋－θ，k∈Z.‎ 由于函数y＝g(x)的图象关于点成中心对称，令＋－θ＝，解得θ＝－，k∈Z.由θ>0可知，当k＝1时，θ取得最小值.‎ ‎1．(2014·四川，3，易)为了得到函数y＝sin(2x＋1)的图象，只需把函数y＝sin 2x的图象上所有的点(　　)‎ A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动1个单位长度 D．向右平行移动1个单位长度 ‎【答案】　A　y＝sin(2x＋1)＝sin，故只需把函数y＝sin 2x的图象上所有的点向左平行移动个单位长度即可得到y＝sin(2x＋1)的图象．‎ ‎2．(2012·浙江，4，易)把函数y＝cos 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是(　　)‎ ‎【答案】　A　把函数y＝cos 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得y1＝cos x＋1；向左平移1个单位长度得y2＝cos(x＋1)＋1；再向下平移1个单位长度得y3＝cos(x＋1)．令 x＝0，得y3＞0.令x＝－1，得y3＝0.观察图象知，A项正确．‎ ‎3．(2013·山东，5，中)将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为(　　)‎ A. B. C．0 D．－ ‎【答案】　B　由题意得g(x)＝sin ‎＝sin为偶函数，‎ ‎∴＋φ＝＋kπ，k∈Z，‎ ‎∴φ＝＋kπ.‎ 令k＝0，得φ＝，故选B.‎ 方法点拨：f(x)＝sin(x＋φ)是偶函数⇒φ＝＋kπ；‎ f(x)＝sin(x＋φ)是奇函数⇒φ＝kπ；‎ f(x)＝cos(x＋φ)是偶函数⇒φ＝kπ；‎ f(x)＝cos(x＋φ)是奇函数⇒φ＝＋kπ.‎ ‎4．(2014·江苏，5，易)已知函数y＝cos x与y＝sin(2x＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是________．‎ ‎【解析】　由题意知cos ＝sin，即sin＝，所以＋φ＝＋2kπ或＋φ＝＋2kπ，k∈Z，所以φ＝－＋2kπ或φ＝＋2kπ，k∈Z.因为0≤φ<π，所以φ＝.‎ ‎【答案】　 ‎5．(2011·江苏，9，中)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则f(0)的值是________．‎ ‎【解析】　由题图可知A＝，＝－＝，∴T＝π.‎ 又＝T，∴ω＝＝2.‎ 根据函数图象可得2×＋φ＝kπ(k∈Z)，‎ ‎∴φ＝kπ－π(k∈Z)．‎ 取φ＝，则f(x)＝sin，‎ ‎∴f(0)＝sin ＝.‎ ‎【答案】　 ‎6．(2014·山东，16，12分，中)已知向量a＝(m，cos 2x)，b＝(sin 2x，n)，函数f(x)＝a·b，且y＝f(x)的图象过点和点.‎ ‎(1)求m，n的值；‎ ‎(2)将y＝f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)图象上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y＝g(x)的单调递增区间．‎ 解：(1)由题意知f(x)＝a·b＝msin 2x＋ncos 2x.‎ 因为y＝f(x)的图象过点和，‎ 所以 即 解得m＝，n＝1.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝sin 2x＋cos 2x ‎＝2sin.‎ 由题意知g(x)＝f(x＋φ)＝2sin.‎ 设y＝g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0，2)．‎ 由题意知x＋1＝1，所以x0＝0，‎ 即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2)．‎ 将其代入y＝g(x)得sin＝1.‎ 因为0<φ<π，所以φ＝.‎ 因此g(x)＝2sin＝2cos 2x.‎ 由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z得kπ－≤x≤kπ，k∈Z，‎ 所以函数y＝g(x)的单调递增区间为，k∈Z.‎ 考向1　利用三角函数图象求解析式 ‎1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的简图 用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)在一个周期内的简图时，要找五个特征点．如下表所示：‎ x ‎－ － － － － ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π y＝Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ A ‎0‎ ‎－A ‎0‎ ‎ ‎ ‎(1)画函数的图象时，首先要确定函数的定义域．‎ ‎(2)对于周期函数，应先求出其周期，画图象时只要画出一个周期的图象，就可根据周期性画出整个函数图象．‎ ‎2．y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈[0，＋∞))的物理意义 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈[0，＋∞))表示一个振动量时，A叫作振幅，T＝叫作周期，f＝叫作频率，ωx＋φ叫作相位，φ叫作初相，ω叫作角速度．‎ ‎(1)(2013·四川，5)函数y＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是(　　)‎ A．2，－ B．2，－ C．4，－ D．4， ‎(2)(2015·山东莱芜质检，12)如图是函数y＝f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋2(A>0，ω>0，|φ|<π)的图象的一部分，则函数f(x)的解析式为__________________．‎ ‎【解析】　(1)由T＝＋＝得T＝π，‎ ‎∴＝π，即ω＝2.‎ 又图象过点，则2sin＝2，‎ ‎∴2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，∴φ＝－＋2kπ，k∈Z.‎ ‎∵－<φ<，∴φ＝－.‎ ‎(2)由图象知，A＝＝1，＝－＝，则T＝，ω＝，由×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，得φ＝－＋2kπ，k∈Z.又|φ|<π，∴φ＝－.‎ ‎∴f(x)＝sin＋2.‎ ‎【答案】　(1)A　(2)f(x)＝sin＋2‎ ‎【点拨】　解题(1)的关键是求φ，把点的坐标代入解析式求出即可，注意φ本身的取值范围；解题(2)时注意求解A的方法，即A为函数最大值与最小值差的一半．‎ ‎ 已知图象求解析式y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的方法 ‎(1)求A，B，已知函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝.‎ ‎(2)求ω，已知函数的周期T，则ω＝.‎ ‎(3)求φ，常用方法有：‎ ‎①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A，ω，B已知)，或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间还是下降区间)．‎ ‎②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口，具体如下：‎ ‎“第一点”(即图象上升时与x轴的交点中距原点最近的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；“第五点”为ωx＋φ＝2π.‎ 在求φ时要注意已知中所给的φ的范围．‎ ‎(2011·辽宁，12)已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)，y＝f(x)的部分图象如图，则 f＝(　　)‎ A．2＋ B. C. D．2－ ‎【答案】　B　由图象可知，T＝2＝，‎ ‎∴ω＝2，‎ ‎∴2×＋φ＝＋kπ，k∈Z.‎ 又|φ|<，∴φ＝.‎ 又f(0)＝1，∴Atan＝1，‎ ‎∴A＝1，∴f(x)＝tan，‎ ‎∴f＝tan＝tan＝，故选B.‎ 考向2　三角函数的图象变换及其应用 由函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的步骤 A所起的作用是图象上每个点的横坐标不变，纵坐标变化为原来的A倍，简称为振幅变换；ω所起的作用是图象上的每个点的纵坐标不变，横坐标变化为原来的倍，简称为周期变换；φ所起的作用是将函数图象左右平移个单位，简称为相位变换．‎ ‎(1)(2014·浙江，4)为了得到函数y＝sin 3x＋cos 3x的图象，可以将函数y＝cos 3x的图象(　　)‎ A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 ‎(2)(2014·安徽，11)若将函数f(x)＝sin的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是________．‎ ‎【解析】　(1)y＝sin 3x＋cos 3x＝cos，故只需将y＝cos 3x向右平移个单位．‎ ‎(2)把函数f(x)＝sin的图象向右平移φ个单位，得到解析式 g(x)＝sin＝sin.‎ ‎∵g(x)是偶函数，‎ ‎∴－2φ＋＝kπ＋，k∈Z.‎ ‎∴φ＝－－，k∈Z.‎ 当k＝－1时，φ的最小正值为.‎ ‎【答案】　(1)C　(2) ‎【点拨】　解题(1)的关键是将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，注意平移变换的原则；解题(2)的关键是根据平移规律，求出平移后的解析式，利用所得函数为偶函数求解．‎ ‎ 关于三角函数的图象变换的方法 ‎(1)平移变换 ‎①沿x轴平移：由y＝f(x)变为y＝f(x＋φ)时，“左加右减”，即φ>0，左移；φ<0，右移．‎ ‎②沿y轴平移：由y＝f(x)变为y＝f(x)＋k时，“上加下减”，即k>0，上移；k<0，下移．‎ ‎(2)伸缩变换 ‎①沿x轴伸缩：由y＝f(x)变为y＝f(ωx)时，点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍．‎ ‎②沿y轴伸缩：由y＝f(x)变为y＝Af(x)时，点的横坐标不变，纵坐标变为原来的|A|倍．‎ ‎(2013·湖北，4)将函数y＝cos x＋sin x(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】　B　因为y＝f(x)＝cos x＋sin x＝‎ ‎2sin，向左平移m(m>0)个单位长度后得f(x＋m)＝2sin，图象关于y轴对称，‎ 令x＝0，得＝2，‎ 从而m＋＝±＋2kπ，故m＝＋2kπ或m＝－＋2kπ，k∈Z，又m>0，所以mmin＝.‎ ‎1．(2015·江西九江质检，5)把函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图象向左平移个单位，得到的函数图象的解析式是(　　)‎ A．y＝cos 2x B．y＝－sin 2x C．y＝sin D．y＝sin ‎【答案】　A　由y＝sin x图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，所得图象的解析式为y＝sin 2x，再向左平移个单位得y＝sin 2，即y＝cos 2x.‎ ‎2．(2015·湖南长沙联考，5)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则将y＝f(x)的图象向右平移个单位后，得到的函数图象的解析式为(　　)‎ A．y＝sin 2x B．y＝sin C．y＝sin D．y＝cos 2x ‎【答案】　B　由图象知，A＝1，T＝－＝π＝π，‎ ‎∴T＝π＝，∴ω＝2.‎ ‎∴2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，‎ 又|φ|<，∴φ＝.‎ ‎∴f(x)＝sin，‎ ‎∴f(x)的图象向右移个单位得g(x)＝sin＝sin.‎ ‎3．(2015·湖北武汉一模，7)将函数f(x)＝sin ωx(其中ω>0)的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则ω的最小值是(　　)‎ A. B．1 C. D．2‎ ‎【答案】　D　函数f(x)＝sin ωx的图象向右平移个单位长度得函数f(x)＝sin ω的图象．‎ ‎∵由题意得sin ω＝0，‎ ‎∴＝kπ(k∈Z)，‎ ‎∴ω＝2k(k∈Z)．又∵ω>0，‎ ‎∴ω的最小值为2，故选D.‎ ‎4．(2014·河南郑州二模，5)函数f(x)＝Asin(ω>0)的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到函数g(x)＝Acos ωx的图象，只需将f(x)的图象(　　)‎ A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 ‎【答案】　A　∵f(x)的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，∴f(x)的最小正周期T＝＝π，∴ω＝2，‎ ‎∴f(x)＝Asin.‎ 又∵Asin ‎＝Asin＝Acos 2x，‎ ‎∴只需将f(x)的图象向左平移个单位，即得g(x)的图象．‎ 点拨：解答本题的关键是根据题意求出周期T，注意y＝sin ωx左右平移φ个单位时，得到y＝sin ω(x±φ)，而不是y＝sin(ωx±φ)．‎ ‎5．(2015·山西太原一模，7)已知A，B，C，D是函数y＝sin(ωx＋φ)一个周期内的图象上的四个点，如图所示，A，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，则ω，φ的值为(　　)‎ A．ω＝2，φ＝ B．ω＝2，φ＝ C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝ ‎【答案】　A　由E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，知OF＝.又A，所以AF＝＝＝，所以ω＝2.同时函数y＝sin(ωx＋φ)图象可以看作是由y＝sin ωx的图象向左平移得到，故可知＝＝，即φ＝.‎ ‎6．(2015·江苏徐州模拟，8)将函数f(x)＝2sin(ω>0)的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)在上为增函数，则ω的最大值为________．‎ ‎【解析】　g(x)＝2sin＝2sin ωx，因为y＝g(x)在上为增函数，所以×≥，即ω≤2，所以ω的最大值为2.‎ ‎【答案】　2‎ ‎7．(2015·福建三明一模，13)已知函数f(x)＝Mcos(ωx＋φ)(M>0，ω>0，0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，AC＝BC＝，∠C＝90°，则f的值为________．‎ ‎【解析】　依题意知，△ABC是直角边长为的等腰直角三角形，因此其边AB上的高是，函数f(x)的最小正周期是2，故M＝，＝2，ω＝π，f(x)＝cos(πx＋φ)．‎ 又函数f(x)是奇函数，于是有φ＝kπ＋，k∈Z.由0<φ<π，得φ＝，‎ 故f(x)＝－sin πx，‎ f＝－sin＝－.‎ ‎【答案】　－ ‎8．(2015·山东临沂一模，16，12分)已知函数f(x)＝2cos2ωx－1＋2cos ωxsin ωx(0<ω<1)，直线x＝是f(x)图象的一条对称轴．‎ ‎(1)试求ω的值；‎ ‎(2)已知函数y＝g(x)的图象是由y＝f(x)图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移 个单位长度得到的，若g＝，α∈，求sin α的值．‎ 解：f(x)＝2cos2ωx－1＋2cos ωxsin ωx＝cos 2ωx＋sin 2ωx＝2sin.‎ ‎(1)由于直线x＝是函数f(x)＝‎ ‎2sin图象的一条对称轴，‎ ‎∴sin＝±1.‎ ‎∴ω＋＝kπ＋(k∈Z)，‎ ‎∴ω＝k＋(k∈Z)．‎ 又0<ω<1，∴－11时实验室需要降温．‎ 由(1)得f(t)＝10－2sin，‎ 故有10－2sin>11，‎ 即sin<－.‎ 又0≤t<24，因此0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．‎ ‎(2)已知三角函数的单调区间求参数，先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．‎ ‎(2013·安徽，16，12分)已知函数f(x)＝4cos ωx·sin(ω＞0)的最小正周期为π.‎ ‎(1)求ω的值；‎ ‎(2)讨论f(x)在区间上的单调性．‎ 解：(1)f(x)＝4cos ωxsin ‎＝2sin ωxcos ωx＋2cos2ωx ‎＝(sin 2ωx＋cos 2ωx)＋ ‎＝2sin＋.‎ 因为f(x)的最小正周期为π，且ω＞0，‎ 所以＝π，故ω＝1.‎ ‎(2)由(1)知，f(x)＝2sin＋.‎ 若0≤x≤，则≤2x＋≤.‎ 当≤2x＋≤，即0≤x≤时，f(x)单调递增；‎ 当≤2x＋≤，即≤x≤时，f(x)单调递减．‎ 综上可知，f(x)在上单调递增，在上单调递减．‎ 考向2　三角函数的值域及最值 三角函数的最值情况 三角函数 最大值 最小值 y＝sin x 当x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1‎ 当x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1‎ y＝cos x 当x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1‎ 当x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1‎ y＝tan x x∈，‎ k∈Z，无最大值 x∈，‎ k∈Z，无最小值 ‎(1)(2014·课标Ⅱ，14)函数f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcos x的最大值为________．‎ ‎(2)(2014·天津，15，13分)已知函数f(x)＝cos x·sin－cos2x＋，x∈R.‎ ‎①求f(x)的最小正周期；‎ ‎②求f(x)在闭区间上的最大值和最小值．‎ ‎【解析】　(1)因为f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcos x＝sin x·cos φ－cos xsin φ＝sin(x－φ)，－1≤sin(x－φ)≤1，所以f(x)的最大值为1.‎ ‎(2)①由已知，有 f(x)＝cos x－cos2x＋ ‎＝sin xcos x－cos2x＋ ‎＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋ ‎＝sin 2x－cos 2x ‎＝sin，‎ ‎∴f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ ‎②∵x∈，∴2x－∈.‎ 当2x－＝－，‎ 即sin＝－1时，f(x)取最小值－.‎ 当2x－＝，即sin＝时，f(x)取最大值.‎ ‎∴函数f(x)在闭区间上的最大值为，最小值为－.‎ ‎【点拨】　解题(1)的关键是将函数式化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式再求最大值；解题(2)第①问时注意首先通过三角恒等变换将函数式化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式，再求周期；解第②问时易忽视函数定义域而将最值求错．‎ ‎ 求三角函数的值域(最值)的常见类型及方法 ‎(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)；‎ ‎(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；‎ ‎(3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．‎ ‎(2013·山东，17，12分)设函数f(x)＝－sin2ωx－sin ωxcos ωx(ω>0)，且y＝f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.‎ ‎(1)求ω的值；‎ ‎(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．‎ 解：(1)f(x)＝－sin2ωx－sin ωxcos ωx ‎＝－·－sin 2ωx ‎＝cos 2ωx－sin 2ωx ‎＝－sin.‎ 因为函数f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，且ω>0，‎ 所以＝4×，因此ω＝1.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝－sin.‎ 当π≤x≤时，≤2x－≤，‎ 所以－≤sin≤1，‎ 因此－1≤f(x)≤.‎ 故f(x)在区间上的最大值和最小值分别为，－1.‎ 考向3　三角函数的奇偶性、周期性、对称性 正弦函数、余弦函数、正切函数的奇偶性、周期性、对称性 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称性 对称中心 ‎(kπ，0)，k∈Z ，k∈Z ，k∈Z 对称轴 x＝kπ＋，k∈Z x＝kπ，k∈Z 无对称轴 最小 正周期 ‎2π ‎2π π ‎(1)(2013·浙江，4)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈R)，则“f(x)是奇函数”是“φ＝”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎(2)(2012·福建，8)函数f(x)＝sin的图象的一条对称轴是(　　)‎ A．x＝ B．x＝ C．x＝－ D．x＝－ ‎(3)(2014·北京，14)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为________．‎ ‎【解析】　(1)f(x)是奇函数时，φ＝＋kπ(k∈Z)；φ＝时，f(x)＝Acos＝－Asin ωx，为奇函数，所以“f(x)是奇函数”是“φ＝”的必要不充分条件.．‎ ‎(2)方法一(图象特征)：∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点，故令x－＝kπ＋，k∈Z，∴x＝kπ＋，k∈Z.‎ 取k＝－1，则x＝－.‎ 方法二(验证法)：x＝时，y＝sin＝0，不合题意，排除A；x＝时，y＝sin＝，不合题意，排除B；x＝－时，y＝sin＝－1，符合题意，C正确；而x＝－时，y＝sin＝－，不合题意，故D也不正确.．‎ ‎(3)记f(x)的最小正周期为T.‎ 由题意知≥－＝，‎ 又f＝f＝－f，且－＝.‎ 可作出示意图如图所示(一种情况)：‎ ‎∴x1＝×＝，‎ x2＝×＝，‎ ‎∴＝x2－x1＝－＝，‎ ‎∴T＝π.‎ ‎【答案】　(1)B　(2)C　(3)π ‎【点拨】　解题(1)时易忽视诱导公式而错选D；解题(‎ ‎2)时注意整体思想的运用；解题(3)的关键是作出函数图象，根据图象上的关键点即可确定其单调性、周期．‎ ‎ 三角函数的奇偶数、周期性、对称性的处理方法 ‎(1)若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)，同时当x＝0时，f(x)取得最大或最小值．若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)，同时当x＝0时，f(x)＝0.‎ ‎(2)求三角函数最小正周期，一般先通过恒等变形化为y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)的形式，再分别应用公式T＝，T＝，T＝求解．‎ ‎(3)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0，0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断．‎ ‎(1)(2014·上海，1)函数y＝1－2cos2(2x)的最小正周期是________．‎ ‎(2)(2015·陕西宝鸡质检，13)函数f(x)＝sin＋sin ωx(ω>0)相邻两对称轴之间的距离为2，则ω＝________________________________________________________________________.‎ ‎【解析】　(1)因为y＝1－2cos2(2x)‎ ‎＝－cos 4x，所以T＝＝.‎ ‎(2)因为f(x)＝sin＋sin ωx ‎＝sin ωx＋cos ωx＋sin ωx＝sin ωx＋cos ωx＝sin，f(x)相邻两条对称轴之间的距离为2，所以T＝4，所以＝4，即ω＝.‎ ‎【答案】　(1)　(2) ‎1．(2015·山西忻州一模，6)函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为(　　)‎ A．2－ B．0‎ C．－1 D．－1－ ‎【答案】　A　∵0≤x≤9，∴0≤x≤，‎ ‎∴－≤x－≤，‎ ‎∴－≤sin≤1，‎ 即－≤2sin≤2.‎ ‎∴函数的最大值与最小值之和为2－.‎ ‎2．(2015·河南洛阳二模，6)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于直线x＝对称，且f＝0，则ω的最小值是(　　)‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】　B　设函数的周期为T，则T的最大值为4×＝π，≤π，又ω>0，所以ω≥2.故选B.‎ ‎3．(2015·福建漳州一模，6)若函数y＝2cos ωx在区间上单调递减，且有最小值1，则ω的值可以是(　　)‎ A．2 B. C．3 D. ‎【答案】　B　由y＝2cos ωx在上是递减的，且有最小值为1，则有f＝1，即2cosω＝1，即cosω＝.经验证，得出选项B符合．‎ ‎4．(2014·黑龙江哈尔滨二模，8)若f(x)＝2sin＋m，对任意实数t都有f＝f，且f＝－3，则实数m的值等于(　　)‎ A．－1 B．±5 ‎ C．－5或－1 D．5或1‎ ‎【答案】　C　由f＝f得函数的对称轴为x＝.故当x＝时，函数取得最大值或最小值，‎ 于是有－2＋m＝－3或2＋m＝－3，即m＝－1或－5，故选C.‎ ‎5．(2015·河北唐山质检，9)已知函数f(x)＝asin x－bcos x(a，b为常数，a≠0，x∈R)在x＝处取得最小值，则函数y＝f是(　　)‎ A．偶函数且它的图象关于点(π，0)对称 B．偶函数且它的图象关于点对称 C．奇函数且它的图象关于点对称 D．奇函数且它的图象关于点(π，0)对称 ‎【答案】　D　f(x)＝asin x－bcos x＝sin(x＋φ)．‎ ‎∵f(x)在x＝处取得最小值，‎ ‎∴＋φ＝2kπ－(k∈Z)，‎ ‎∴φ＝2kπ－π(k∈Z)，‎ ‎∴f ‎＝sin ‎＝－sin(－x)‎ ‎＝sin x，‎ ‎∴f是奇函数，且图象关于点(kπ，0)(k∈Z)对称，故选D.‎ ‎6．(2014·广东湛江三模，14)已知函数f(x)＝cos(ω＞0)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的横坐标之差为，则函数在[0，2π]上的零点个数为________．‎ ‎【解析】　由已知得f(x)＝cos的周期为π，‎ 即＝π，得ω＝2，‎ ‎∴f(x)＝cos.‎ 当f(x)＝0时，2x＋＝＋kπ(k∈Z)，即x＝＋(k∈Z)，‎ 则当x∈[0，2π]时f(x)有4个零点.．‎ ‎【答案】　4‎ ‎7．(2015·安徽合肥一模，13)设y＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，且其图象关于直线x＝对称，则在下面四个结论中：‎ ‎①图象关于点对称；②图象关于点对称；‎ ‎③在上是增函数；④在上是增函数．‎ 正确结论的编号为________．‎ ‎【解析】　∵T＝π，∴ω＝2，‎ ‎∴y＝sin(2x＋φ)．‎ ‎∵图象关于直线x＝对称，‎ ‎∴＋φ＝＋kπ(k∈Z)，‎ ‎∴φ＝＋kπ(k∈Z)．‎ 又∵φ∈，‎ ‎∴φ＝.‎ ‎∴y＝sin.‎ 当x＝时，y＝sin＝，故①不正确；当x＝时，y＝0，故②正确；当x∈时，2x＋∈‎ ，y＝sin不是增函数，即③不正确；当x∈时，2x＋∈⊆，故④正确.．‎ ‎【答案】　②④‎ ‎8．(2015·湖南怀化一模，18，12分)已知向量a＝(cos x，sin x)，向量b＝(cos x，－sin x)，f(x)＝a·b.‎ ‎(1)求函数g(x)＝f(x)＋sin 2x的最小正周期和对称轴方程；‎ ‎(2)若x是第一象限角且3f(x)＝－2f′(x)，求tan的值．‎ 解：(1)∵g(x)＝f(x)＋sin 2x＝cos2x－sin2x＋sin 2x ‎＝cos 2x＋sin 2x ‎＝sin，‎ ‎∴函数g(x)＝f(x)＋sin 2x最小正周期T＝＝π.‎ 当2x＋＝＋2kπ(k∈Z)时，‎ x＝＋.‎ ‎∴函数g(x)＝f(x)＋sin 2x的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．‎ ‎(2)由3f(x)＝－2f′(x)，得3cos 2x＝4sin 2x.‎ ‎3cos2x－3sin2x－8sin xcos x＝0.‎ ‎(3cos x＋sin x)(cos x－3sin x)＝0.‎ 又x是第一象限角，‎ ‎∴cos x＝3sin x，故tan x＝.‎ ‎∴tan＝ ‎＝＝2.‎ ‎9．(2015·山东枣庄质检，17，12分)已知函数f(x)＝sin＋sin－2cos2，x∈R(其中ω>0)．‎ ‎(1)求函数f(x)的值域；‎ ‎(2)若函数f(x)的图象与直线y＝－1的两个相邻交点间的距离为，求函数f(x)的单调递增区间．‎ 解：(1)f(x)＝sin ωx＋cos ωx＋‎ sin ωx－cos ωx－(cos ωx＋1)‎ ‎＝2－1‎ ‎＝2sin－1.‎ 由－1≤sin≤1，‎ 得－3≤2sin－1≤1，‎ 所以函数f(x)的值域为[－3，1]．‎ ‎(2)由题设条件及三角函数的图象和性质可知，‎ f(x)的周期为π，所以＝π，即ω＝2.‎ 所以f(x)＝2sin－1，‎ 再由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，‎ 解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．‎ 所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．‎ ‎(时间：90分钟__分数：120分)‎ 一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分)‎ ‎1．(2015·安徽蚌埠一模，4)若cos α＝－，且角α的终边经过点P(x，2)，则P点的横坐标x是(　　)‎ A．2 B．±2 C．－2 D．－2 ‎【答案】　D　r＝，由题意得 ‎＝－，∴x＝－2.‎ ‎2．(2014·课标Ⅰ，7)在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos，④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为(　　)‎ A．①②③ B．①③④‎ C．②④ D．①③‎ ‎【答案】　A　①y＝cos|2x|＝cos 2x，最小正周期为π；②由图象知y＝|cos x|的最小正周期为π；③y＝cos的最小正周期为T＝＝π；④y＝tan的最小正周期T＝.因此选A.‎ ‎3．(2015·江西景德镇一模，5)使函数f(x)＝sin(2x＋φ)为R上的奇函数的φ值可以是(　　)‎ A. B. C．π D. ‎【答案】　C　要使函数f(x)＝sin(2x＋φ)为R上的奇函数，需φ＝kπ，k∈Z.故选C.‎ ‎4．(2015·广东韶关调研，6)将函数f(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位，得到函数g(x)＝sin(2x＋φ)的图象，则φ等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】　C　由题意知g(x)＝sin 2 ‎＝sin.‎ 又g(x)＝sin(2x＋φ)，‎ ‎∴φ＝.故选C.‎ ‎5．(2015·河北唐山一模，6)已知α∈(0，π)，cos＝，则tan 2α等于(　　)‎ A. B．－ C. D．－ ‎【答案】　A　∵cos＝，α∈(0，π)，‎ ‎∴α＋＝，解得α＝.‎ ‎∴tan 2α＝tan ＝.故选A.‎ ‎6．(2014·河南洛阳联考，6)已知△ABC为锐角三角形，则点P(sin A－cos B，cos C－sin B)必位于直角坐标系中的(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】　D　∵A，B是锐角△ABC的两个内角，‎ ‎∴A＋B>90°，‎ ‎∴90°>A>90°－B>0.‎ 又y＝sin x在上单调递增，‎ ‎∴sin A>sin(90°－B)＝cos B，‎ ‎∴sin A－cos B>0.‎ 同理可得，cos C－sin B<0，‎ ‎∴点P在第四象限．故选D.‎ ‎7．(2015·湖北黄冈一模，7)已知函数f(x)＝sin－在[0，π]上有两个零点，则实数m 的取值范围为(　　)‎ A．[－，2] B．[，2)‎ C．(，2] D．[，2]‎ ‎【答案】　B　如图，画出y＝sin在[0，π]上的图象，当直线y＝与其有两个交点时，∈，所以m∈[，2)．‎ ‎8．(2015·安徽安庆质检，7)已知函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)为偶函数，其图象与直线y＝2某两个交点的横坐标分别为x1，x2，若|x2－x1|的最小值为π，则该函数的一个递增区间可以是(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】　A　由函数为偶函数知φ＝＋kπ(k∈Z)．又因为0<φ<π，所以φ＝，所以y＝2cos ωx.由题意知函数的最小正周期为π，故ω＝2，所以y＝2cos 2x，经验证知选项A满足条件．故选A.‎ ‎9．(2015·湖北十堰质检，8)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，如果x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)等于(　　)‎ A. B. C. D．1‎ ‎【答案】　C　由题图知，T＝2×＝π，‎ ‎∴ω＝2.‎ 又函数的图象经过，‎ ‎∴0＝sin.‎ ‎∵|φ|<，∴φ＝，‎ ‎∴f(x)＝sin在区间内的对称轴方程为x＝.‎ 又f(x1)＝f(x2)，‎ ‎∴x1＋x2＝2×＝，‎ ‎∴f(x1＋x2)＝sin＝.故选C.‎ ‎10．(2014·山东济南三模，8)关于函数f(x)＝sin(2x＋)与函数g(x)＝cos，下列说法正确的是(　　)‎ A．函数f(x)和g(x)的图象有一个交点在y轴上 B．函数f(x)和g(x)的图象在区间(0，π)内有3个交点 C．函数f(x)和g(x)的图象关于直线x＝对称 D．函数f(x)和g(x)的图象关于原点(0，0)对称 ‎【答案】　D　g(x)＝cos ‎＝cos ‎＝cos ‎＝sin与f(x)＝‎ sin的图象关于原点对称，故选D.‎ 二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎11．(2015·福建厦门一模，14)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，对于任意x都有f＝f，则f等于________．‎ ‎【解析】　∵f＝f，‎ ‎∴x＝是函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的一条对称轴，‎ ‎∴f＝±2.‎ ‎【答案】　2或－2‎ ‎12．(2015·山西大同一模，14)化简＝________．‎ ‎【解析】　 ‎＝ ‎＝ ‎＝|sin 2－cos 2|.‎ 又∵<2<π，∴sin 2>0，cos 2<0.‎ ‎∴|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2.‎ ‎【答案】　sin 2－cos 2‎ ‎13．(2015·广西南宁一模，15)若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________．‎ ‎【解析】　由题意知f(x)的一条对称轴为直线x＝，与它相邻的一个对称中心为原点，则f(x)的周期T＝，从而ω＝.‎ ‎【答案】　 ‎14．(2014·湖南岳阳质检，14)已知函数f(x)＝sin的图象向左平移个单位后与函数g(x)＝sin的图象重合，则正数ω的最小值为________．‎ ‎【解析】　将f(x)＝sin的图象向左平移个单位后，得到函数f1(x)＝sin的图象．‎ 又f1(x)＝sin的图象与g(x)＝sin的图象重合，故ωx＋ω＋＝2kπ＋ωx＋，k∈Z.所以ω＝12k－(k∈Z)．又ω>0，故当k＝1时，ω取得最小值，为12－＝.‎ ‎【答案】　 思路点拨：先求出f(x)平移后的解析式f1(x)，然后f1(x)与g(x)的图象重合，找出它们的相位之间的关系，进而求出ω的最小值．‎ 三、解答题(共4小题，共50分)‎ ‎15．(12分)(2013·天津，15)已知函数f(x)＝－sin＋6sin xcos x－2cos2x＋1，x∈R.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．‎ 解：(1)f(x)＝－sin 2x－cos 2x＋3sin 2x－cos 2x＝2sin 2x－2cos 2x ‎＝2sin.‎ 所以f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝2sin.‎ 因为x∈，‎ 所以2x－∈，‎ 则sin∈.‎ 所以f(x)在上最大值为2，最小值为－2.‎ ‎16．(12分)(2012·四川，18)函数f(x)＝6cos2＋sin ωx－3(ω>0)在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．‎ ‎(1)求ω的值及函数f(x)的值域；‎ ‎(2)若f(x0)＝，且x0∈，求f(x0＋1)的值．‎ 解：(1)由已知可得，f(x)＝3cos ωx＋sin ωx＝2sin.‎ 易知正三角形ABC的高为2，从而BC＝4.‎ 所以函数f(x)的最小正周期T＝4×2＝8，即＝8，ω＝.‎ 函数f(x)的值域为[－2，2]．‎ ‎(2)已知f(x0)＝，‎ 由(1)得 f(x0)＝2sin＝，‎ 即sin＝.‎ 由x0∈，‎ 知＋∈，‎ 所以cos＝＝.‎ 故f(x0＋1)＝2sin ‎＝2sin ‎＝2 ‎＝2＝.‎ ‎17．(12分)(2015·山西晋中二模，17)已知函数f(x)＝2·sin xcos x－(cos2x－sin2x)，x∈R.‎ ‎(1)试说明函数f(x)的图象是由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到的；‎ ‎(2)若函数g(x)＝f(x∈R)，试写出函数g(x)的单调区间．‎ 解：(1)∵f(x)＝2sin xcos x－(cos2x－sin2x)‎ ‎＝sin 2x－cos 2x＝2sin，‎ ‎∴f(x)＝2sin(x∈R)，‎ ‎∴函数f(x)的图象可由y＝sin x的图象按如下方式变换得到：‎ ‎①将函数y＝sin x的图象向右平移个单位，得到函数y＝sin的图象；‎ ‎②将函数y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin的图象；‎ ‎③将函数y＝sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函数f(x)＝2sin(x∈R)的图象．‎ ‎(2)由(1)知，f(x)＝2sin(x∈R)，‎ 则g(x)＝f＝2sin 2x(x∈R)．‎ 由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ(k∈Z)，‎ 得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)．‎ 所以函数g(x)的单调递增区间是(k∈Z)．‎ 同理可得，函数g(x)的单调递减区间是 (k∈Z)．‎ ‎18．(14分)(2012·湖北，17)已知向量a＝(cos ωx－sin ωx，sin ωx)，b＝(－cos ωx－sin ωx，‎ ‎2cos ωx)，设函数f(x)＝a·b＋λ(x∈R)的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)若y＝f(x)的图象经过点，求函数f(x)在区间上的取值范围．‎ 解：(1)f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2sin ωx·cos ωx＋λ ‎＝－cos 2ωx＋sin 2ωx＋λ ‎＝2sin＋λ.‎ 由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，‎ 可得sin＝±1，‎ 所以2ωπ－＝＋kπ(k∈Z)，即ω＝＋(k∈Z)．‎ 又ω∈，k∈Z，所以k＝1，故ω＝.‎ 所以函数f(x)的最小正周期是.‎ ‎(2)由y＝f(x)的图象过点，得f＝0，‎ 即λ＝－2sin ‎＝－2sin＝－，‎ 故f(x)＝2sin－.‎ 由0≤x≤，得－≤x－≤，‎ 所以－≤sin≤1，‎ 得－1－≤2sin－≤2－，‎ 故函数f(x)在区间上的取值范围为[－1－，2－]．‎