北京市海淀区首都师范大学附属中学2019-2020学高一下学期期中考试数学（B）试题 15页

北京首师附中2019-2020学年度第二学期期中考试试题 高一数学B卷7-12班用 一、单选题 ‎1.已知函数,的部分图象如图所示,则 ( )‎ A. 3 B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可求得，由可求得，再由可求得，从而可得的解析式，进而可求.‎ ‎【详解】，‎ ‎，代入得，‎ ‎，‎ 又，，‎ ‎，‎ ‎，故选A.‎ ‎【点睛】本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求是解题的关键.‎ ‎2.的展开式中的常数项为（ ）‎ A. 12 B. ﹣‎12 ‎C. 6 D. ﹣6‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在二项展开式的通项公式中,令的幂指数等于0,求出的值,进而求得常数项.‎ ‎【详解】解:展开式中的通项公式为,‎ 令,解得,‎ 故展开式中的常数项为,‎ 故选:A ‎【点睛】本题考查二项式展开式的常数项,属于基础题.‎ ‎3.已知，则（ ）‎ A. B. ‎-8 ‎C. D. 8‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】根据题意，‎ ‎，‎ 从而得到，‎ 而 ，‎ 故选D.‎ ‎4.已知函数，如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析： 因为，设的最小正周期为，则，所以的最小值为，故选C.‎ 考点：三角函数的周期和最值．‎ ‎5.某颜料公司生产两种产品，其中生产每吨产品，需要甲染料1吨，乙染料4吨，丙染料2吨，生产每吨产品，需要甲染料1吨，乙染料0吨，丙染料5吨，且该公司一条之内甲、乙、丙三种染料的用量分别不超过50吨、160吨和200吨，如果产品的利润为300元/吨，产品的利润为200元/吨，则该颜料公司一天之内可获得的最大利润为（ ）‎ A. 14000元 B. 16000元 C. 16000元 D. 20000元 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 依题意，将题中数据统计如下表所示：‎ 设该公司一天内安排生产产品吨、产品吨，所获利润为元，依据题意得目标函数为，约束条件为欲求目标函数 的最大值，先画出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示，则点，，，，作直线，当移动该直线过点时，取得最大值，则也取得最大值（也可通过代入凸多边形端点进行计算，比较大小求得）.故.所以工厂每天生产产品40吨，产品10吨时，才可获得最大利润，为14000元.选A.‎ 点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.‎ ‎6.不等式的解集是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先得到内满足不等式的的范围，再根据正切函数的周期性，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 当时，‎ ‎，‎ 且单调递增，‎ 所以，‎ 因为的周期为，‎ 所以不等式的解集为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查解三角函数不等式，正切函数周期性，属于简单题.‎ ‎7.函数的定义域是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：，故选B.‎ 考点：函数的定义域.‎ ‎8.在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．‎ 若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间上的运动员人数是（ ）‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：抽样方法为系统抽样，总数是人，抽人，也就是个人抽一个，有人，包含第3、4、5四个组，所以抽取个．‎ 考点：1、茎叶图；2.系统抽样．‎ ‎【易错点晴】在系统抽样中，首先要对样本进行编号，本次是由小到大编号；抽样的方法是个个的抽，这个题目易错的地方就是题目给定的区间，这个区间的长度仅为，但是里面有个样本，这个必须从茎叶图里面分析出来，区间端点必须包括进去.‎ ‎9.已知x∈[－π，π]，则“x∈”是“sin（sinx）＜cos（cosx）成立”的（ ）‎ A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：当x∈时，sinx＋cosx≤‎ 所以0≤sinx＜－cosx≤‎ 于是sin（sinx）＜sin（－cosx）＝cos（cosx），充分性成立.‎ 取x＝－，有sin（sinx）＝sin（－）＝－sin＜0‎ cos（cosx）＝cos（－）＝cos＞0‎ 所以sin（sinx）＜＜cos（cosx）也成立，必要性不成立 故选C 考点：三角函数的性质，充要条件 ‎10.设集合A.=,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用交集、并集的定义求解即可.‎ ‎【详解】集合, , 又, 故选C.‎ ‎【点睛】考查的是集合交、并、补的简单基本运算.属于集合简单运算问题.此类问题只要审题清晰、做题时按部就班基本上就不会出错.‎ 二、填空题 ‎11.已知向量，，的夹角为，则__________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎∵，的夹角为 ‎∴‎ ‎∴‎ 故答案为2.‎ ‎12.函数的定义域为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数函数的真数大于0，列出不等式求解集即可．‎ 详解】对数函数f（x）＝log2（x﹣1）中，‎ x﹣1＞0，‎ 解得x＞1；‎ ‎∴f（x）的定义域为（1，+∞）．‎ 故答案为（1，+∞）．‎ ‎【点睛】本题考查了求对数函数的定义域问题，是基础题．‎ ‎13.在闭区间 [－1，1]上任取两个实数，则它们的和不大于1的概率是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 设这两个数分别为x,y，则试验的区域，事件发生的区域..‎ ‎14.命题：“若，则”逆否命题是______.‎ ‎【答案】若，则 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据逆否命题的定义即可得到结论．‎ ‎【详解】命题“若，则”的逆否命题是：若，则 故答案为若，则 ‎【点睛】本题主要考查四种命题之间的关系，即原命题与逆否命题的形式．‎ ‎15.已知函数f(x)=其中为常数，且，则__________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由为奇函数，可得，从而得到结果.‎ ‎【详解】令，又为奇函数，为奇函数，‎ ‎∴为奇函数，‎ 又，∴‎ ‎∴，‎ 故答案为：3‎ 点睛】本题考查函数奇偶性，考查整体思想，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎16.现有甲、乙两个投资项目，对甲项目投资十万元，据对市场份样本数据统计，年利润分布如下表：‎ 年利润 万元 万元 万元 频数 对乙项目投资十万元，年利润与产品质量抽查的合格次数有关，在每次抽查中，产品合格的概率均为，在一年之内要进行次独立的抽查，在这次抽查中产品合格的次数与对应的利润如下表：‎ 合格次数 次 次 次 年利润 万元 万元 万元 记随机变量分别表示对甲、乙两个项目各投资十万元的年利润．‎ ‎（1）求的概率；‎ ‎（2）某商人打算对甲或乙项目投资十万元，判断哪个项目更具有投资价值，并说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）从长期投资来看，项目甲更具有投资价值．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由的所有情况共有,由此能求出的概率；‎ ‎（2）求出随机变量的分布列和及随机变量的分布列和,由,且 的概率比的概率更大,得到从长期投资来看,项目甲更具有投资价值．‎ ‎【详解】（1）的所有情况有:‎ ‎,‎ ‎,‎ 所以.‎ ‎（2）随机变量的分布列为:‎ ‎1.2‎ ‎1.0‎ ‎0.9‎ 所以,‎ 随机变量的分布列为：‎ ‎1.3‎ ‎1.1‎ ‎0.6‎ 所以,‎ 因为,且的概率比的概率更大,‎ 所以从长期投资来看,项目甲更具有投资价值.‎ ‎【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和期望,考查概率公式的应用,考查数据分析能力.‎ ‎17.已知集合，集合.‎ ‎（1）当，求；‎ ‎（2）若，求实数取值范围.‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）化简集合，得到，或，求交集即可.‎ ‎（2），分类讨论和，解不等式即可.‎ ‎【详解】解：（1）因为，‎ 所以.‎ 或，.‎ ‎（2）.‎ 当时，.‎ 当时，.‎ 综上：‎ ‎【点睛】本题主要考查了集合的运算，同时考查了子集关系和对数不等式，计算能力是解题的关键，属于简单题.‎ ‎18.已知是实数, 关于的方程在区间上有实根, 求的取值范围.‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（1）当时,, 令得,‎ 在上无零点, 故.‎ ‎（2）当时,的对称轴为.‎ ‎① 当,即时,须使,即的解集为.‎ ‎②当,即时,须使,即,解得,‎ 的取值范围是.‎ ‎（3）当时, ① 当,即时,须有,即,‎ 解得或,又的取值范围是.‎ ‎②当时,即时,须有,即,解集为.‎ 综上所述 ,的取值范围是.‎ ‎19.如图所示，已知，，，，，，试用、、、、、表示下列各式：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将（1）、（2）、（3）中的每个向量利用共起点的向量的差向量表示，再利用平面向量加法和减法运算可得出结果.‎ ‎【详解】（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量减法的三角形法则，以及平面向量的加减法运算，解题时要将问题的向量利用共起点的向量加以表示，属于基础题.‎ ‎20.已知不共线，向量，且，求k的值.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量平行，得存在，使得，再利用不共线可得．‎ ‎【详解】∵，∴由共线向量，知存在，使得，即不共线，‎ ‎，即.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量共线定理，掌握平面向量共线的充要条件是解题基础．‎ ‎21.若，设其定义域上的区间（）.‎ ‎（1）判断该函数的奇偶性，并证明；‎ ‎（2）当时，判断函数在区间（）上的单调性，并证明；‎ ‎（3）当时，若存在区间（），使函数在该区间上的值域为，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）在（）为增函数，证明见解析；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先求出函数的定义域，再根据定义法证明函数的奇偶性；‎ ‎（2）利用定义法证明函数的单调性，按照：设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；‎ ‎（3）由（1）得，当时，在为减函数，故若存在定义域，‎ ‎，使值域为，则有，从而问题可转化为，是方程的两个解，进而问题得解．‎ ‎【详解】解：（1）因为 由解得或，即的定义域为，关于原点对称．‎ 为奇函数.‎ ‎（2）在（）为增函数；‎ 证明：的定义域为，则Ü．‎ 设，，则，且，，‎ ‎，‎ 即，‎ 因为时，所以，即，‎ 所以在（）为增函数． ‎ ‎（3）由（1）得，当时，在（）为递减函数，‎ 若存在定义域（），使值域为，‎ 则有 ‎，是方程在上的两个相异的根，‎ 即，‎ 即在上两个相异的根，‎ 令，‎ 则在有2个零点，‎ 解得 即当时，，‎ 当时，方程组无解，即（）不存在．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数奇偶性的证明以及函数单调性和值域的关系，结合对数函数的性质转化为一元二次方程，利用根的分布是解决本题的关键，考查学生的转化能力，属于难题．‎