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- 2021-06-11 发布
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2019-2020学年安徽省合肥市庐江县高二上学期期末检测数学(文)试题
一、单选题
1.已知命题“若,则”是真命题,则下列命题中一定是真命题的是( )
A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则
【答案】B
【解析】根据逆否命题的等价性即可进行判断.
【详解】
命题“若,则”是真命题,
则根据逆否命题的等价性可知:命题“若,则”是真命题.
故选:B.
【点睛】
本题主要考查四种命题之间的关系的应用,根据逆否命题的等价性是解决本题的关键,属于基础题.
2.若双曲线的渐近线方程为,则其离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由双曲线的渐近线方程求得和的关系,再由离心率公式即可得到结论.
【详解】
由题意,双曲线的渐近线方程为,
可得:,即,
所以,双曲线的离心率为:.
故选:D.
【点睛】
本题考查双曲线的几何性质:渐近线,离心率,考查计算能力,属于基础题.
3.已知,直线与直线垂直,则的值为( )
A. B. C.或 D.或
【答案】C
【解析】根据两直线垂直的性质,两直线垂直时,它们的斜率之积等于,列方程解得即可.
【详解】
直线与直线垂直,
当时,直线和垂直,符合题意;
当时,它们的斜率之积等于,即,解得;
综上,两直线垂直时,的值为或.
故选:C.
【点睛】
本题主要考查两直线垂直的性质,两直线垂直斜率之积等于,注意直线斜率不存在的情况,属于基础题.
4.设是两条不同的直线,是三个不同的平面,则下列结论错误的是( )
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
【答案】C
【解析】根据线线,线面平行与垂直的关系,对各选项逐一判断即可.
【详解】
由是两条不同的直线,是三个不同的平面,
在A中,若,则,故A正确;
在B中,若,则,故B正确;
在C中,若,则或或或与平面相交,故C错误;
在D中,若,则,故D正确;
故选:C.
【点睛】
本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、空间想象能力,考查化归与转化思想、数形结合思想,属于基础题.
5.直线的倾斜角的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】把直线的方程化为斜截式,求出斜率解析式,设出倾斜角,通过斜率的取值范围得到倾斜角的范围.
【详解】
直线,即,斜率为,,
因,设直线的倾斜角为,则,,
所以.
故选:D.
【点睛】
本题考查直线的倾斜角和斜率的关系,以及倾斜角的取值范围,已知三角函数值求角的大小,属于基础题.
6.“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】根据椭圆的定义以及集合的包含关系判断即可.
【详解】
由方程表示焦点在轴上的椭圆,
则,解得,
所以,“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的必要不充分条件.
故选:B.
【点睛】
本题考查了椭圆的定义,考查充分必要条件,属于基础题.
7.如图下面的四个容器高度都相同,将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其
中,注满为止.用下面对应的图象显示该容器中水面的高度和时间之间的关系,其中不
正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【解析】结合几何体的结构和题意知,容器的底面积越大水的高度变化慢、反之变化的快,再由图象越平缓就是变化越慢、图象陡就是变化快来判断.
【详解】
A、因正方体的底面积是定值,故水面高度的增加是均匀的,即图象是直线型的,故A不对;
B、因几何体下面窄上面宽,且相同的时间内注入的水量相同,所以下面的高度增加的快,上面增加的慢,即图象应越来越平缓,故B正确;
C、球是个对称的几何体,下半球因下面窄上面宽,所以水的高度增加的越来越慢;上半球恰相反,所以水的高度增加的越来越快,则图象先平缓再变陡;故C正确;
D、图中几何体两头宽、中间窄,所以水的高度增加的越来越慢后再越来越慢快,则图象先平缓再变陡,故D正确.
故选A.
【点睛】
本题考查了数形结合思想,对于此题没有必要求容器中水面的高度h和时间t之间的函数解析式,因此可结合几何体和图象作定性分析,即充分利用数形结合思想.
8.在正方体中,是的中点,则异面直线与所成的角的余弦值是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】作出图象,将异面直线与所成的角转化为解,即可得到结论.
【详解】
由题意,如图,
令正方体的边长为,在正方体中,知异面直线与所成的角,即为直线与直线所成的角,
在中,,,,由余弦定理得,
,
所以直线与直线所成的角余弦值为,
即异面直线与所成的角的余弦值为.
故选:A.
【点睛】
本题考查异面直线所成的角的余弦值,考查空间能力,计算能力,属于基础题.
9.已知函数的图象如图所示,则的关系是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据函数导数和极值之间的关系,求出对应,的关系,即可得到结论.
【详解】
由函数图象知,为函数的极大值点,为函数的极小值点,
即,是的两个根,又,
所以.
故选:B.
【点睛】
本题主要考查函数的极值和导数之间的关系,以及根与系数之间的关系的应用,考查学生的计算能力,属于基础题.
10.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】试题分析:由三视图分析可知,该几何体的表面积为圆锥的表面积与圆柱的侧面积之和.,,所以几何体的表面积为.
【考点】三视图与表面积.
11.给出下列说法:
①方程表示一个圆;
②若,则方程表示焦点在轴上的椭圆;
③已知点,若,则动点的轨迹是双曲线的右支;
④以过抛物线焦点的弦为直径的圆与该抛物线的准线相切,
其中正确说法的个数是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据题意,依次分析题目中的四个命题,综合即可得答案.
【详解】
根据题意,
对于①,方程变形为,不是圆的方程,
故①错误;
对于②,方程变形为,若,则有,则方程表示焦点在轴上的椭圆,故②错误;
对于③,点,则,若,则动点的轨迹是一条射线(以为端点向右的射线),故③错误;
对于④,由抛物线的定义,以过抛物线焦点的弦为直径的圆与该抛物线的准线相切,故④正确.
综上,正确说法的个数为个.
故选:B.
【点睛】
本题考查曲线与方程,注意常见圆锥曲线的定义与方程的形式,属于基础题.
12.在平面直角坐标系xoy中,直线l与曲线和曲线均相切,切点分别为A、B两点,则两切点AB间的长为( )
A. B. C.. D.
【答案】D
【解析】设切点,利用导数求得切线斜率,可得切线方程为,利用圆心到直线的距离等于半径可得的值,由切线长定理可得结果.
【详解】
设切点,切点在曲线上,
,
,
以为切点的切线的斜率为,
直线的方程为,即,
直线与曲线(以原点为圆心,以1为半径的半圆)相切,
,
或(舍),
,
,
所以切点坐标为,
由切线长定理可得,
,故选D.
【点睛】
本题主要考查利用导数求切线斜率及点到直线距离公式,属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率,主要体现在以下几个方面:(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数;(2) 己知斜率求切点即解方程;(3) 巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.
二、填空题
13.命题:,,写出命题的否定:_______________
【答案】,
【解析】特称命题改为全称命题,把“”改为“”,“存在”改为“所有”,再否定结论.
【详解】
命题是特称命题,它的否定是全称命题,
所以命题的否定为:
,
【点睛】
本题考查含有量词的命题的否定.方法:先改量词,再否定结论.
14.圆与圆的位置关系是__________.
【答案】外切
【解析】直接写出圆心坐标与半径,再计算圆心距,即可得到位置关系.
【详解】
圆,其圆心,半径,
圆,其圆心,半径,
所以,,即,
故两圆的位置关系为外切.
故答案为:外切.
【点睛】
本题考查两圆的位置关系,属于基础题.
15.棱长为的正方体的外接球与内切球的体积比为__________.
【答案】
【解析】确定棱长为的正方体的外接球与内切球的半径,即可求得棱长为的正方体的外接球与内切球的体积之比.
【详解】
棱长为的正方体的外接球的直径为正方体的体对角线,即外接球的半径为,
棱长为的正方体的内切球的半径为,
所以,外接球与内切球的体积之比为.
故答案为:
【点睛】
本题考查球的体积,考查学生的计算能力,属于基础题.
16.已知函数是定义在上的奇函数,且.若时,,则不等式的解集为__________.
【答案】
【解析】分析:构造函数,由的单调性结合的奇偶性可得解.
详解:设,则,当时,由已知得,为增函数,由为奇函数得,即,∴当时,,当时,,,又是奇函数,∴当时,,时,.∴不等式的解集为.
故答案为.
点睛:本题考查考查用导数研究函数的单调性,解题关键是构造新函数,注意根据已知导数不等式构造新函数,常见的新函数有,,,.
三、解答题
17.已知:方程所表示的曲线为焦点在轴上的椭圆;实数满足不等式,.
(1)若为真,求实数的取值范围;
(2)若是的必要不充分条件,求实数的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)根据题意列出不等式组解得即可;
(2)根据题意列出不等式解得即可.
【详解】
(1)因为方程所表示的曲线为焦点在轴上的椭圆,
所以,解得:,
所以,实数的取值范围为.
(2)因为命题实数满足不等式
若是的必要不充分条件,所以,即,
故实数的取值范围为.
【点睛】
本题考查命题的真假,考查充分必要条件,属于基础题.
18.如图,四边形为正方形,平面,平面.
(1)证明:平面平面;
(2)证明:平面.
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】(1)先证明平面,平面,进而可得结论;
(2)先证明平面平面,再由面面垂直得线面垂直,即可得到结论.
【详解】
(1)因为平面,平面,
所以,所以平面,
因为为正方形,,所以平面,
因为,平面,平面,
所以平面平面.
(2)由平面,平面,
得:平面平面,
又,平面平面,
所以平面.
【点睛】
本题考查了面面平行的判定定理,面面垂直的判定定理,线面垂直,考查空间思维能力,属于基础题.
19.已知圆C:(x﹣a)2+(y﹣2)2=4(a>0)及直线l:x﹣y+3=0.当直线l被圆C截得的弦长为时,求
(Ⅰ)a的值;
(Ⅱ)求过点(3,5)并与圆C相切的切线方程.
【答案】(Ⅰ)a=1;(Ⅱ)5x﹣12y+45=0或x=3.
【解析】(Ⅰ)根据圆的方程找出圆心坐标与圆的半径,然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d,然后根据垂径定理得到弦心距,弦的一半及圆的半径成直角三角形,利用勾股对了列出关于a的方程,求出方程的解即可得到a的值,然后由a大于0,得到满足题意a的值;
(Ⅱ)把(Ⅰ)求出a的值代入圆的方程中确定出圆的方程,即可得到圆心的坐标,并判断得到已知点在圆外,分两种情况:当切线的斜率不存在时,得到x=3为圆的切线;当切线的斜率存在时,设切线的斜率为k,由(3,5)和设出的k写出切线的方程,根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径,利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d,让d等于圆的半径即可列出关于k的方程,求出方程的解即可得到k的值,把k的值代入所设的切线方程即可确定出切线的方程.综上,得到所有满足题意的切线的方程.
【详解】
解:(Ⅰ)依题意可得圆心C(a,2),半径r=2,
则圆心到直线l:x﹣y+3=0的距离,
由勾股定理可知,代入化简得|a+1|=2,
解得a=1或a=﹣3,
又a>0,所以a=1;
(Ⅱ)由(1)知圆C:(x﹣1)2+(y﹣2)2=4,圆心坐标为(1,2),圆的半径r=2
由(3,5)到圆心的距离为r=2,得到(3,5)在圆外,
∴①当切线方程的斜率存在时,设方程为y﹣5=k(x﹣3)
由圆心到切线的距离dr=2,
化简得:12k=5,可解得,
∴切线方程为5x﹣12y+45=0;
②当过(3,5)斜率不存在直线方程为x=3与圆相切.
由①②可知切线方程为5x﹣12y+45=0或x=3.
【点睛】
此题考查学生掌握直线与圆相切时所满足的条件,灵活运用垂径定理及勾股定理化简求值,灵活运用点到直线的距离公式化简求值,是一道综合题
20.某商场的销售部经过市场调查发现,该商场的某种商品每日的销售量(单位:千克)与销售价格(单位:元/千克)满足关系式,其中,为常数,已知销售价格为元/千克时,每日可售出该商品千克.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若该商品的成本为元/千克,试确定销售价格的值,使该商场每日销售该商品所获得的利润最大.
【答案】(Ⅰ)2;(Ⅱ)当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.
【解析】试题分析:(Ⅰ)由题意可得时,,代入函数解析式可得的值;(Ⅱ) 根据利润等于销量乘以销售价格与成本的差,列函数关系式(三次函数),利用导数研究函数单调性变化规律,确定函数最值.
试题解析:解:(Ⅰ)因为时,,所以,故
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,该商品每日的销售量
所以商场每日销售该商品所获得的利润为
从而
于是,当变化时,的变化情况如下表:
由上表可得,是函数在区间内的极大值点,也是最大值点.
所以,当时,函数取得最大值,且最大值等于42
答:当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.
21.如图,四棱锥中,侧面为等边三角形且垂直于底面..
(1)证明:直线平面;
(2)若的面积为4,求四棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)由题意可得,进而可得平面;
(2)由的面积为4,可计算得,进而计算四棱锥的体积.
【详解】
(1)在四棱锥中,
,所以,
因为平面,平面,
所以平面.
(2)由,
设,则,
设是的中点,连接
由侧面为等边三角形,则,且,
因为平面底面,平面底面,
所以平面,
又平面,且,
因为底面,所以,
又面积为,可得,
解得,则,
则
【点睛】
本题考查直线与平面平行的判定,考查空间想象能力与思维能力,训练了多面体体积的求法,属于中档题.
22.已知椭圆:的离心率,且过点.
(1)求椭圆的方程;
(2)如图,过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线交椭圆分别于,且满足,,求面积的最大值.
【答案】(1);(2).
【解析】【详解】
(1)根据条件有,解得,所以椭圆.
(2)根据,可知,分别为的中点,
且直线斜率均存在且不为0,现设点,
直线的方程为,不妨设,
联立椭圆有,
根据韦达定理得:,,
,,同理可得,
所以面积,现令,
那么,
所以当,时,的面积取得最大值.