2018-2019学年辽宁省大连市高二上学期期末考试数学（文）试题 解析版 16页

绝密★启用前 辽宁省大连市2018-2019学年高二上学期期末考试数学（文)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．若命题是真命题，命题是假命题，则下列命题一定是真命题的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵命题q是假命题，命题p是真命题，‎ ‎∴“p∧q”是假命题，即A错误；‎ ‎“p∨q”是真命题，即B正确；‎ ‎“￢p∧q”是假命题，即C错误；‎ ‎“￢p∨q”是假命题，故D错误；‎ 故选：B．‎ ‎2．设，则p是q成立的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由指数函数的性质可知，当必有，所以的充分条件，而当时，可得，此时不一定有，所以的不必要条件，综上所述，的充分而不必要条件，所以正确选项为A.‎ 考点：充分条件与必要条件.‎ ‎【方法点睛】判断是不是的充分（必要或者充要）条件，遵循充分必要条件的定义，当成立时， 也成立，就说是的充分条件，否则称为不充分条件；而当成立时， 也成立则是的必要条件，否则称为不必要条件；当能证明的同时也能证明，则是的充分条件．‎ 视频 ‎3．已知命题，总有，则为（ ）‎ A．，总有 B．，总有 C．，总有 D．，总有 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称命题与存在性命题的关系，即可得到命题的否定，得出答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题，总有，‎ 则为命题“，总有”，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了命题的否定，其中解答中熟记全称命题与存在性命题的关系，准确书写是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎4．若，则函数（ ）‎ A．有最大值-4 B．有最小值4 C．有最大值-2 D．有最小值2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用基本不等式可直接得到函数的最值.‎ ‎【详解】‎ ‎∵x>0，‎ 由基本不等式可得≥2＝4‎ 当且仅当x=即x＝2时取等号,‎ ‎∴x＝2时，函数有最小值4‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，正确运用基本不等式是关键．‎ ‎5．曲线（其中为自然对数的底数）在点处的切线的倾斜角等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，求得导数，得到，即在点处的切线的斜率为，进而可求解切线的倾斜角，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，曲线，则，所以，‎ 即在点处的切线的斜率为，‎ 设切线的倾斜角为，则，解得，‎ 即切线的倾斜角为，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟记导数的几何意义，求得函数在某点处的导数，得到切线的斜率是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎6．若直线过点，则的最小值等于（）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：∵直线（，）过点，∴．则 ，当且仅当时取等号．故答案为：C．‎ 考点：基本不等式.‎ 视频 ‎7．在等差数列中，，则其前9项和的值为（ ）‎ A．-2 B．0 C．1 D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差数列的性质可得，在利用等差数列的求和公式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由等差数列的性质可得，‎ 所以数列的前项的和，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等差数列的性质和等差数列的求和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的性质的应用是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎8．已知双曲线的一条渐近线方程为，则（ ）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，双曲线的一条渐近线方程为，得出，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，双曲线的一条渐近线方程为，‎ 又直线为双曲线的一条渐近线，所以，则，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中熟记双曲线的几何性质是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎9．在等比数列中，，前3项之和，则公比的值为（ ）‎ A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1或2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意和等比数列的通项公式与前n项和公式，列出方程组，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，在等比数列中，，前3项之和，‎ 所以，解得或，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等比数列的通项公式和前n项公式的应用，其中解答中熟记等比数列的前n项和公式，同时在利用等比数列的前n项和公式时要注意的情况，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎10．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导数，令导数为0，由题意可得判别式大于0，即可求解，得出答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数，则，‎ 因为函数有两个极值点，‎ 则方程有两个不相等的实数根，即有两个不相等实数根，‎ 则，解得或，‎ 即实数的取值范围是，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用导数研究函数的极值问题，其中解答中明确函数的导数与函数的极值的关系，以及合理应用二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎11．若函数在区间单调递增，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导数，根据函数在区间单调递增，可得在上恒成立，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，可得，‎ 由函数在区间单调递增，可得在上恒成立，‎ 即在上恒成立，又由在区间上的最大值为1，‎ 所以，即实数的取值范围是，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的应用，以及恒成立问题的求解，其中解答中把函数的单调性转化为恒成立问题，利用分离参数法求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力.‎ ‎12．已知定点，，是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，则点的轨迹是（ ）‎ A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：根据三角形中位线性质以及中垂线性质得,再根据双曲线定义得结果.‎ 详解：因为N为中点，O为中点，所以 因为P在线段的中垂线上，所以 因此，即点的轨迹是双曲线，‎ 选D.‎ 点睛：求轨迹方程，一般有以下方法，一是定义法，动点满足圆或圆锥曲线定义；二是直接法，化简条件即得；三是转移法，除所求动点外，一般还有已知轨迹的动点，寻求两者关系是关键；四是交轨法或参数法，如何消去参数是解题关键，且需注意消参过程中的等价性.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．不等式的解集是__________．‎ ‎【答案】{x|0＜x＜2}‎ ‎【解析】‎ 解：不等式x2﹣2x＜0可化为 x（x﹣2）＜0，‎ 解得：0＜x＜2；‎ ‎∴不等式的解集为{x|0＜x＜2}．‎ 故答案为：{x|0＜x＜2}．‎ ‎【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，解题时应按照解不等式的一般步骤进行解答即可，是基础题．‎ ‎14．等比数列中，，且，，则等于__________．‎ ‎【答案】81‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等比数列的定义和性质可得，a1+a2 、a3+a4、a5+a6成等比数列，由a1+a2＝1，a3+a4＝9，可得a5+a6的值．‎ ‎【详解】‎ 根据等比数列的定义和性质可得，每2项的和仍然成等比数列，‎ 即a1+a2 、a3+a4、a5+a6成等比数列且公比为9，‎ ‎∵a3+a4＝9，则a5+a6＝9×9＝81，‎ 故答案为：81．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的定义和性质，属于基础题.‎ ‎15．如图是函数的导函数的图像，给出下列命题：‎ ‎①-2是函数的极值点；‎ ‎②函数在处取最小值；‎ ‎③函数在处切线的斜率小于零；‎ ‎④函数在区间上单调递增.‎ 则正确命题的序号是__________．‎ ‎【答案】①④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由条件利用导函数的图象的特征，利用导数研究函数的单调性和极值，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论.‎ ‎【详解】‎ 根据导函数的图象可得，‎ 当上，，在上，，‎ 故函数在上函数单调递减，‎ 在，函数单调递增，‎ 所以是函数的极小值点，所以①正确；‎ 其中两函数的单调性不变，则在处不是函数的最小值，所以②不正确；‎ 由图象可得，所以函数在处的切线的斜率大于零，所以③不正确；‎ 由图象可得，当时，，所以函数在上单调递增，所以④是正确的，‎ 综上可知，①④是正确的.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值问题，其中解答中根据到函数的图象得到导函数的取值，正确理解函数的导数与原函数关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎ ‎16．已知双曲线的右焦点为，过原点的直线与双曲线相交于两点，连接，若，，，则该双曲线的离心率为__________．‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设双曲线的另一个焦点为，分类连接，根据双曲线的对称性可知，四边形为矩形，结合矩形的性质，求得，再由双曲线的定义，求得，即可求解双曲线的离心率.‎ ‎【详解】‎ 在直角中，由勾股定理可得，解得，‎ 设双曲线的另一个焦点为，分类连接，‎ 根据双曲线的对称性可知，四边形为矩形，‎ 结合矩形的性质，可得，即，‎ 由双曲线的定义可知，解得，‎ 所以双曲线的离心率为.‎ ‎ 【点睛】‎ 本题主要考查了双曲线的定义，对称性，以及双曲线的几何性质的应用，其中解答中利用双曲线的对称性和双曲线的定义求得的值是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎ ‎17．将长为的铁丝截成段，搭成一个正四棱柱的模型，以此为骨架做成一个容积最大的容器，则此四棱柱的高应该是 ．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设四棱柱的高为，则四棱柱的底面边长为，则；则正四棱柱的体积，，则当时，；当时，；即当时，函数有极大值，也是最大值．‎ 考点：函数的最值．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎18．已知一个动点到点的距离比到直线的距离多1.‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）若过点的直线与曲线交于两点，且线段中点是点，求直线的方程.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意，转化为动点满足到点的距离比到直线的距离相等，根据抛物线的定义，即可求解抛物线的方程；‎ ‎（2）当直线斜率存在时，设，代入作差，即可求得直线斜率，进而利用正弦的点斜式方程，即可得到结论.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵动点满足到点的距离比到直线距离多1，‎ ‎∴动点满足到点的距离比到直线的距离相等，‎ ‎∴动点是以为焦点，为准线的抛物线，方程为 ‎（2）当直线斜率不存在时，显然不为中点，‎ 当直线斜率存在时，设为直线斜率，设，‎ ‎，得，‎ ‎∴‎ 又是线段的中点，∴，∴‎ 故直线的方程为，化为一般形式即：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了抛物线的定义，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中熟记抛物线的定义，以及合理求解直线的斜率是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎19．已知函数 .(I)若函数的图象过原点,且在原点处的切线斜率是,求的值;(II)若函数在区间上不单调,求的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ),或(Ⅱ)‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由导函数知识求出导函数，然后代入求解参数；（2）利用导数知识转化为函数零点存在性问题，再利用一元二次不等式求解a 的取值范围 ‎（1）（5分）由题意得 又，解得，或 ‎（2）（7分）函数在区间不单调，等价于导函数在既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数即函数在上存在零点，根据零点存在定理，有 ‎， 即：‎ 整理得：，解得 ‎20．已知椭圆，点的坐标为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点.‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）对于任意的，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）为定值 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由椭圆方程和离心率公式直接得到答案；（2）设直线l：y＝k（x﹣1），与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合向量的数量积运算，化简即可求得的值 ‎【详解】‎ ‎（1）∵，∴‎ ‎（2）设直线的方程为：，，‎ 联立消去得：‎ 则，‎ ‎∵，，‎ ‎∴‎ ‎∴对任意，有为定值.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的离心率，考查直线与椭圆的位置关系和韦达定理的运用，考查向量的数量积，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎21．已知椭圆的上顶点与左右焦点构成三角形面积为 ‎，又椭圆的离心率为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点的直线与椭圆交于两点，求面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）（2）3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由离心率，三角形面积结合即可得到椭圆方程；‎ ‎（2）设直线方程为，与椭圆联立，写出韦达定理，求出△ABF2的面积，利用换元法求函数的最值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）椭圆离心率，又，，‎ 解得，，∴椭圆方程 ‎（2）显然，直线的斜率不能为0，‎ 设直线的方程为，，‎ 联立消去得 则 ‎∴‎ 设，则，，∴‎ 设函数，时为增函数，∴，‎ ‎∴，‎ 即时，面积的最大值为3‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的定义和性质以及三角形面积的应用问题，考查换元法求函数最值问题，是中档题．‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）当时，求函数的单调递减区间；‎ ‎（2）若时，恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）递减区间是（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求函数的导数，解不等式，即得函数的递减区间；（2）构造函数，由题意不等式恒成立只需,对函数g(x)求导,对参数a进行讨论，判断函数单调性，由单调性得函数最小值，从而可求出a的范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意知，函数的定义域为，‎ 当时，‎ 由得，故的单调递减区间是 ‎（2）设，则，‎ 当时，时，，‎ 在单调递增，恒成立；‎ 当时，设，‎ ‎∵，∴，使得时，，‎ ‎∴，在单调递减，‎ ‎∴，与条件矛盾.‎ 故的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查函数恒成立问题，是一道中档题．‎