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- 2021-06-11 发布
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第二节 函数的单调性与最值
1．函数的单调性
(1)增函数、减函数
增函数 减函数
一般地，设函数 f(x)的定义域为 I：如果对于定义域 I 内某个区
间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x2
定义 当 x1f(x2)，
那么就说函数 f(x)在区间 D 上是
减函数
图象
描述
自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数 y＝f(x)在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函数 y＝f(x)在这一区间具有
(严格的)单调性，区间 D 叫做函数 y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前
提
设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足
条
件
①对于任意的 x∈I，都有 f(x)≤M；
②存在 x0∈I，使得 f(x0)＝M
①对于任意 x∈I，都有 f(x)≥M；
②存在 x0∈I，使得 f(x0)＝M
结
论
M 为函数 y＝f(x)的最大值 M 为函数 y＝f(x)的最小值
1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数 y＝1
x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )
(2)具有相同单调性的函数的和、差、积、商函数还具有相同的单调性．( )
(3)若定义在 R 上的函数 f(x)有 f(－1)0 时，f(x)＝3－x 为减函数；
当 x∈(0，3
2 )时，f(x)＝x2－3x 为减函数，
当 x∈(
3
2
，＋∞)时，f(x)＝x2－3x 为增函数；
当 x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－ 1
x＋1为增函数；
当 x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－|x|为减函数．
3．函数 f(x)＝|x－2|x 的单调减区间是( )
A．[1,2] B．[－1,0]
C．[0,2] D．[2，＋∞)
解析：选 A 由于 f(x)＝|x－2|x＝Error!结合图象(图略)可知函数的单调减区间是
[1,2]．
4．若函数 y＝x2－2ax＋1 在(－∞，2]上是减函数，则实数 a 的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．[－2，＋∞)
C．[2，＋∞) D．(－∞，2]
解析：选 C 函数 y＝x2－2ax＋1 图象的对称轴方程为 x＝a，要使该函数在(－∞，2]
上是减函数，则需满足 a≥2.
5．设定义在[－1,7]上的函数 y＝f(x)的图象如图所示，则函数 y＝f(x)的增区间为
________．
解析：由图可知函数的增区间为[－1,1]和[5,7]．
答案：[－1,1]和[5,7]
6．函数 f(x)＝ 2
x－1在[－2,0]上的最大值与最小值之差为________．
解析：易知 f(x)在[－2,0]上是减函数，
∴f(x)max－f(x)min＝f(－2)－f(0)＝－2
3－(－2)＝4
3.
答案：4
3
考点一 确定函数的单调性(区间) (重点保分型考点——师生共研)
确定函数的单调性是函数单调性问题的基础，是高考的必考内容，多以选择题、填空
题的形式出现，但有时也出现在解答题的某一问中，属于低档题目.
[典题领悟]
1．试讨论函数 f(x)＝ ax
x－1(a≠0)在(－1,1)上的单调性．
解：法一：设－10，x1－1<0，x2－1<0，
故当 a>0 时，f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)，
函数 f(x)在(－1,1)上单调递减；
当 a<0 时，f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)0 时，f′(x)<0，函数 f(x)在(－1,1)上单调递减；
当 a<0 时，f′(x)>0，函数 f(x)在(－1,1)上单调递增．
2．求函数 f(x)＝－x2＋2|x|＋1 的单调区间．
解：易知 f(x)＝Error!
＝Error!
画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－
1,0]和[1，＋∞)．
[解题师说]
1．掌握确定函数单调性(区间)的 3 种常用方法
(1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论．其关键是作差变形，
为了便于判断差的符号，通常将差变成因式连乘(除)或平方和的形式，再结合变量的范围、
假定的两个自变量的大小关系及不等式的性质进行判断．(如典题领悟第 1 题)
(2)图象法：如果 f(x)是以图象形式给出的，或者 f(x)的图象易作出，则可由图象的直观
性确定它的单调性．(如典题领悟第 2 题)
(3)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调性．(如典题领悟第 1 题)
2．熟记函数单调性的 4 个常用结论
(1)若 f(x)，g(x)均是区间 A 上的增(减)函数，则 f(x)＋g(x)也是区间 A 上的增(减)函数；
(2)若 k>0，则 kf(x)与 f(x)单调性相同；若 k<0，则 kf(x)与 f(x)单调性相反；
(3)函数 y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与 y＝－f(x)，y＝ 1
f(x)的单调性相反；
(4)函数 y＝f(x)(f(x)≥0)在公共定义域内与 y＝ f(x)的单调性相同．
3．谨防 3 种失误
(1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间应以“定义域优先”为原则．(如冲关演练
第 1 题)
(2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示．
(3)图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
[冲关演练]
1．(2017·全国卷Ⅱ)函数 f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是( )
A．(－∞，－2) B．(－∞，1) C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)
解析：选 D 由 x2－2x－8＞0，得 x＞4 或 x＜－2.因此，函数 f(x)＝ln(x2－2x－8)的定
义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数 y＝x2－2x－8 在(4，＋∞)上单调递增，由复合
函数的单调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)．
2．下列函数中，满足“∀x1，x2∈(0，＋∞)且 x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0”的是
( )
A．f(x)＝2x B．f(x)＝|x－1|
C．f(x)＝1
x－x D．f(x)＝ln(x＋1)
解析：选 C 由(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0 可知，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，A、D 选项
中，f(x)为增函数；B 中，f(x)＝|x－1|在(0，＋∞)上不单调，对于 f(x)＝1
x－x，因为 y＝1
x与 y
＝－x 在(0，＋∞)上单调递减，因此 f(x)在(0，＋∞)上是减函数．
3．已知函数 y＝ 1
x－1，那么( )
A．函数的单调递减区间为(－∞，1)和(1，＋∞)
B．函数的单调递减区间为(－∞，1)∪(1，＋∞)
C．函数的单调递增区间为(－∞，1)和(1，＋∞)
D．函数的单调递增区间为(－∞，1)∪(1，＋∞)
解析：选 A 函数 y＝ 1
x－1可看作是由 y＝1
x向右平移 1 个单位长度得到的，∵y＝1
x在(－
∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，∴y＝ 1
x－1在(－∞，1)和(1，＋∞)上单调递减，∴函数 y＝ 1
x－1
的单调递减区间为(－∞，1)和(1，＋∞)，故选 A.
4．判断函数 f(x)＝x＋a
x(a>0)在(0，＋∞)上的单调性．
解：设 x1，x2 是任意两个正数，且 x10，即 f(x1)>f(x2)，
所以函数 f(x)在(0， a ]上是减函数；
当 a≤x1a，x1－x2<0，
所以 f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)0)在(0， a ]上是减函数，在[ a，＋∞)上是增函数．
考点二 求函数的值域(最值) (基础送分型考点——自主练透)
[考什么·怎么考]
函数的值域(最值)是高考的重要内容之一，函数、方程、不等式，还有立体几何、解析
几何等很多问题都需要转化为函数的值域(最值)问题.高考中选择题、填空题、解答题都有
考查.
方法(一) 性质法求函数的值域(最值)
1．函数 y＝x2－1
x2＋1的值域为________．
解析：由 y＝x2－1
x2＋1，可得 x2＝1＋y
1－y.
由 x2≥0，知1＋y
1－y≥0，解得－1≤y<1，
故所求函数的值域为[－1,1)．
答案：[－1,1)
2．若函数 f(x)＝－ a
x＋b(a>0)在 [
1
2
，2 ]上的值域为[
1
2
，2 ]，则 a＝________，b＝
________.
解析：∵f(x)＝－a
x＋b(a>0)在[
1
2
，2 ]上是增函数，
∴f(x)min＝f(
1
2 )＝1
2，f(x)max＝f(2)＝2.
即Error!解得 a＝1，b＝5
2.
答案：1 5
2
[方法点拨]
(1)先进行转化与分离，再利用函数的性质(如 x2≥0，ex>0 等)求解即可．
(2)如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，那么 f(x)在区间端点处取最值；如果函数
y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减，那么 ymax＝f(b)；如果函数 y＝f(x)
在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增，那么 ymin＝f(b)，从而得出值域．
方法(二) 数形结合法求函数的值域(最值)
3．函数 y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为________．
解析：
函数 y＝Error!
作出函数的图象如图所示．
根据图象可知，函数 y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为[3，＋∞)．
答案：[3，＋∞)
4．设函数 f(x)＝Error!的图象过点(1,1)，函数 g(x)是二次函数，若函数 f(g(x))的值域是
[0，＋∞)，则函数 g(x)的值域是________．
解析：因为函数 f(x)＝Error!的图象过点(1,1)，所以 m＋1＝1，解
得 m＝0，所以 f(x)＝Error!画出函数 y＝f(x)的大致图象如图所示，观察图象可知，
当纵坐标在[0，＋∞)上时，横坐标在(－∞，－1]∪[0，＋∞)上变化．
而 f(x)的值域为[－1，＋∞)，f(g(x))的值域为[0，＋∞)，因为 g(x)是二次函数，
所以 g(x)的值域是[0，＋∞)．
答案：[0，＋∞)
[方法点拨]
先作出函数的图象，再观察其最高点或最低点，求出值域或最值．
方法(三) 换元法求函数的值域(最值)
5．函数 y＝x＋ 1－x2的最大值为________．
解析：由 1－x2≥0，可得－1≤x≤1.
可令 x＝cos θ，θ∈[0，π]，
则 y＝cos θ＋sin θ＝ 2sin(θ＋π
4 )，θ∈[0，π ]，
所以－1≤y≤ 2，故原函数的最大值为 2.
答案：[ 2]
6．已知函数 f(x)的值域为[
3
8
，4
9 ]，则函数 g(x)＝f(x)＋ 1－2f(x)的值域为________．
解析：∵3
8≤f(x)≤4
9，
∴1
3≤ 1－2f(x)≤1
2.
令 t＝ 1－2f(x)，
则 f(x)＝1
2(1－t2)(
1
3 ≤ t ≤ 1
2)，
令 y＝g(x)，则 y＝1
2(1－t2)＋t，
即 y＝－1
2(t－1)2＋1(
1
3 ≤ t ≤ 1
2).
∴当 t＝1
3时，y 有最小值7
9；
当 t＝1
2时，y 有最大值7
8.
∴g(x)的值域为[
7
9
，7
8 ].
答案：[
7
9
，7
8 ][方法点拨]
对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求值域或最值；换元
法求值域时，一定要注意新元的范围对值域的影响．
方法(四) 分离常数法求函数的值域(最值)
7．函数 y＝3x＋1
x－2 的值域为________．
解析：y＝3x＋1
x－2 ＝3(x－2)＋7
x－2 ＝3＋ 7
x－2，
因为 7
x－2≠0，所以 3＋ 7
x－2≠3，
所以函数 y＝3x＋1
x－2 的值域为{y|y∈R 且 y≠3}．
答案：{y|y∈R 且 y≠3}
8．当－3≤x≤－1 时，函数 y＝5x－1
4x＋2的最小值为________．
解析：由 y＝5x－1
4x＋2，可得 y＝5
4－ 7
4(2x＋1).
∵－3≤x≤－1，∴ 7
20≤－ 7
4(2x＋1)≤7
4，
∴8
5≤y≤3
∴所求函数的最小值为8
5
答案：8
5
[方法点拨]
通过配凑函数解析式的分子，把函数分离成常数和分式的形式，而此式的分式，只有分
母中含有变量，进而可利用函数性质确定其值域．
[怎样快解·准解]
求函数值域（最值）的类型及其方法
(1)若所给函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域；当函数解析式中出现偶次方
幂、绝对值等时，可利用函数的性质(如 x2≥0，|x|≥0， x≥0，ex>0 等)确定函数的值域或
最值．
(2)若函数解析式的几何意义较明显(如距离、斜率等)或函数图象易作出，可用数形结合
法求函数的值域或最值．
(3)形如求 y＝ ax＋b＋(cx＋d)(ac≠0)的函数的值域或最值，常用代数换元法、三角换
元法结合题目条件将原函数转化为熟悉的函数，再利用函数的相关性质求解．
(4)形如求 y＝cx＋d
ax＋b(ac≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解．
另外，基本不等式法、导数法求函数值域或最值也是常用方法，在后面章节中有重点
讲述．
考点三 函数单调性的应用 (题点多变型考点——追根溯源)
函数单调性的应用常以基本初等函数为载体，考查学生数形结合思想、转化与化归思
想的应用，综合分析问题的能力.在高考中常以选择题、填空题出现，难度中等.
常见的命题角度有：
(1)比较函数值的大小；
(2)解函数不等式；
(3)利用单调性求参数的取值范围(或值).
[题点全练]
角度(一) 比较函数值的大小
1．(2018·哈尔滨联考)已知函数 f(x)的图象关于直线 x＝1 对称，当 x2>x1>1 时，[f(x2)－
f(x1)](x2－x1)<0 恒成立，设 a＝f(－1
2 )，b＝f(2)，c＝f(e)，则 a，b，c 的大小关系为( )
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>c>b D．b>a>c
解析：选 D 因为 f(x)的图象关于直线 x＝1 对称，所以 f(－1
2 )＝f(
5
2 ).由 x2>x1>1
时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0 恒成立，知 f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
∵1<2<5
2f(
5
2 )>f(e)，
∴b>a>c.
[题型技法] 比较函数值大小的解题思路
比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化
到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．
角度(二) 解函数不等式
2．定义在 R 上的奇函数 y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且 f(
1
2 )＝0，则不等式 f(log1
9
x)>0 的解集为________．
解析：∵y＝f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 y＝f(x)在(0，＋∞)上递增．
∴y＝f(x)在(－∞，0)上也是增函数，
又 f(
1
2 )＝0，知 f(－1
2 )＝－f(
1
2 )＝0.
故原不等式 f(log x)>0 可化为1
9
f(log x)>f (
1
2 )或 f(－1
2 )1
2或－1
2f(h(x))的形式，再根据函数的单调性去
掉“f”，得到一般的不等式 g(x)>h(x)(或 g(x)0，且 a≠1.
又函数 f(x)在 R 上单调，而二次函数 y＝ax2－x－1
4的图象开口向上，
所以函数 f(x)在 R 上单调递减，
故有Error!即Error!
所以 a∈[
1
4
，1
2 ].
[题型技法] 利用单调性求参数的范围(或值)的方法
(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单
调区间比较求参数；
(2)需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调
的．
[题“根”探求]
看
个性
角度(一)是函数值大小的比较，转化为在同一单调区间内的自变量的大小比
较；
角度(二)是角度(一)的拓展，是把函数不等式问题转化为两函数值大小比较问
1
9
1
9
1
9
题；
角度(三)是在角度(一)和角度(二)基础上的更深一步的拓展，根据函数单调性
把问题转化为单调区间关系的比较
找
共性
对于求解此类有关函数单调性应用的题目，其通用的方法是利用转化思想解
题，其思维流程是：
[冲关演练]
1．已知函数 f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，若 f(a2－a)>f(a＋3)，则实数 a 的取值
范围为________．
解析：由已知可得Error!解得－33，所以实数 a 的取值范围为(－3，－1)∪
(3，＋∞)．
答案：(－3，－1)∪(3，＋∞)
2．已知函数 f(x)＝x|2x－a|(a>0)在区间[2,4]上单调递减，则实数 a 的值是________．
解析：f(x)＝x|2x－a|＝Error!(a>0)，
作出函数图象(图略)可得该函数的递减区间是[
a
4
，a
2 ]，所以Error!解得 a＝8.
答案：8
(一)普通高中适用
A 级——基础小题练熟练快
1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．y＝ln(x＋2) B．y＝－ x＋1
C．y＝(
1
2 )x D．y＝x＋1
x
解析：选 A 函数 y＝ln(x＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函
数．
2．如果函数 f(x)＝ax2＋2x－3 在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数 a 的取值范围
是( )
A.(－1
4
，＋∞) B.[－1
4
，＋∞)
C.[－1
4
，0) D.[－1
4
，0]解析：选 D 当 a＝0 时，f(x)＝2x－3 在定义域 R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上
单调递增；
当 a≠0 时，二次函数 f(x)的对称轴为 x＝－1
a，
因为 f(x)在(－∞，4)上单调递增，
所以 a<0，且－1
a≥4，解得－1
4≤a<0.
综上，实数 a 的取值范围是[－1
4
，0].
3．已知函数 f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足 f(2x
－1)＜f (
1
3 )的 x 的取值范围是( )
A.(
1
3
，2
3 ) B.[
1
3
，2
3 )
C.(
1
2
，2
3 ) D.[
1
2
，2
3 )解析：选 D 因为函数 f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足 f(2x－1)＜
f(
1
3 ).
所以 0≤2x－1＜1
3，解得1
2≤x＜2
3.
4．函数 y＝|x|(1－x)在区间 A 上是增函数，那么区间 A 是( )
A．(－∞，0) B.[0，1
2 ]
C．[0，＋∞) D.(
1
2
，＋∞)解析：选 B y＝|x|(1－x)
＝Error!
＝Error!
＝Error!
画出函数的大致图象如图所示．
由图易知原函数在[0，1
2 ]上单调 递增．
5．设偶函数 f(x)的定义域为 R，当 x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则 f(－2)，f(π)，
f(－3)的大小关系是( )
A．f(π)＞f(－3)＞f(－2)
B．f(π)＞f(－2)＞f(－3)
C．f(π)＜f(－3)＜f(－2)
D．f(π)＜f(－2)＜f(－3)
解析：选 A 因为 f(x)是偶函数，
所以 f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．
又因为函数 f(x)在[0，＋∞)上是增函数，
所以 f(π)＞f(3)＞f(2)，
即 f(π)＞f(－3)＞f(－2)．
6．已知函数 f(x)＝log2x＋ 1
1－x，若 x1∈(1,2)，x2∈(2，＋∞)，则( )
A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)<0，f(x2)>0
C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0
解析：选 B ∵函数 f(x)＝log2x＋ 1
1－x在(1，＋∞)上为增函数，且 f(2)＝0，∴当 x1∈
(1,2)时，f(x1)f(2)＝0，即 f(x1)<0，f(x2)>0.
7．函数 f(x)＝Error!的最大值为________．
解析：当 x≥1 时，函数 f(x)＝1
x为减函数，所以 f(x)在 x＝1 处取得最大值，为 f(1)＝1；
当 x<1 时，易知函数 f(x)＝－x2＋2 在 x＝0 处取得最大值，为 f(0)＝2.故函数 f(x)的最大值
为 2.
答案：2
8．已知函数 f(x)＝ x2－2x－3，则该函数的单调递增区间为________．
解析：设 t＝x2－2x－3，由 t≥0，即 x2－2x－3≥0，解得 x≤－1 或 x≥3，所以函数 f(x)
的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数 t＝x2－2x－3 的图象的对称轴为 x＝1，所以
函数 t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数 f(x)的单调递增区间为
[3，＋∞)．
答案：[3，＋∞)
9．若函数 f(x)＝1
x在区间[2，a]上的最大值与最小值的和为3
4，则 a＝________.
解析：由 f(x)＝1
x的图象知，f(x)＝1
x在(0，＋∞)上是减函数，∵[2，a]⊆(0，＋∞)，
∴f(x)＝1
x在[2，a]上也是减函数，
∴f(x)max＝f(2)＝1
2，f(x)min＝f(a)＝1
a，
∴1
2＋1
a＝3
4，∴a＝4.
答案：4
10．给定函数：①y＝x1
2；②y＝log1
2(x＋1)；③y＝|x－1|；④y＝2x＋1，其中在区间(0,1)
上单调递减的函数序号是________．
解析：①y＝x1
2在(0,1)上递增；②因为 t＝x＋1 在(0,1)上递增，且 0＜1
2＜1，故 y＝log1
2(x
＋1)在(0,1)上递减；③结合函数图象可知 y＝|x－1|在(0,1)上递减；④因为 u＝x＋1 在(0,1)上
递增，且 2＞1，故 y＝2x＋1 在(0,1)上递增，故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是②③.
答案：②③
B 级——中档题目练通抓牢
1．若函数 f(x)＝x2＋a|x|＋2，x∈R 在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均为增函数，则实
数 a 的取值范围是( )
A.[－11
3
，－3] B．[－6，－4]
C.[－3，－2 2] D.[－4，－3]
解析：选 B 由于 f(x)为 R 上的偶函数，因此只需考虑函数 f(x)在(0，＋∞)上的单调性
即可．由题意知函数 f(x)在[3，＋∞)上为增函数，在[1,2]上为减函数，故－a
2∈[2,3]，即 a∈
[－6，－4]．
2．已知函数 f(x)是 R 上的增函数，A(0，－3)，B(3,1)是其图象上的两点，那么不等式
－3＜f(x＋1)＜1 的解集的补集是(全集为 R)( )
A．(－1,2)
B．(1,4)
C．(－∞，－1)∪[4，＋∞)
D．(－∞，－1]∪[2，＋∞)
解析：选 D 由函数 f(x)是 R 上的增函数，A(0，－3)，B(3,1)是其图象上的两点，知不
等式－3＜f(x＋1)＜1 即为 f(0)＜f(x＋1)＜f(3)，所以 0＜x＋1＜3，所以－1＜x＜2，故不等
式－3＜f(x＋1)＜1 的解集的补集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．
3．(2018·河南平顶山一模)已知 f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数．对任意两个不相等的
正数 x1，x2，都有x2f(x1)－x1f(x2)
x1－x2 >0，记 a＝f(30.2)
30.2 ，b＝f(0.32)
0.32 ，c＝f(log25)
log25 ，则 a，b，c 的
大小关系为( )
A．ax2，
∵x2f(x1)－x1f(x2)
x1－x2 >0，
∴x2f(x1)－x1f(x2)>0，
∴x2f(x1)－x1f(x2)
x1x2 ＝f(x1)
x1 －f(x2)
x2 >0，
即f(x1)
x1 >f(x2)
x2 ，
∴f(x)
x 是(0，＋∞)上的增函数．
∵1<30.2<30.5<2,0<0.32<1，log25>2，
∴0.32<30.2f(x)，则实数 x 的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C．(－1,2)
D．(－2,1)
解析：选 D ∵当 x＝0 时，两个表达式对应的函数值都为 0，∴函数的图象是一条连
续的曲线．又∵当 x≤0 时，函数 f(x)＝x3 为增函数，当 x>0 时，f(x)＝ln(x＋1)也是增函数，∴
函数 f(x)是定义在 R 上的增函数．因此，不等式 f(2－x2)>f(x)等价于 2－x2>x，即 x2＋x－
2<0，解得－21 时，
f(x)<0.
(1)证明：f(x)为单调递减函数．
(2)若 f(3)＝－1，求 f(x)在[2,9]上的最小值．
解：(1)证明：任取 x1，x2∈(0，＋∞)，且 x1>x2，
则x1
x2>1，由于当 x>1 时，f(x)<0，
所以 f(
x1
x2 )<0，即 f(x1)－f(x2)<0，
因此 f(x1)
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