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- 2021-06-11 发布
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核心素养测评六 指数与指数函数
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1.函数f(x)=的值域是 ( )
A.(-2,+∞) B.(-∞,-2)∪(0,+∞)
C.(0,+∞) D.(-∞,-2)
【解析】选B.令u=2x-1,则u>-1,且u≠0,y=,则y<-2或y>0.
2.(2019·文昌模拟)已知a=0.24,b=0.32,c=0.43,则 ( )
A.bc>a.
3.(2019·太原模拟)函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是 ( )
A.a>1,b<0 B.a>1,b>0
C.00 D.00,所以b<0.
4.(2020·北京模拟)若ea+πb≥e-b+π-a,则有 ( )
A.a+b≤0 B.a-b≥0
C.a-b≤0 D.a+b≥0
【解析】选D.令f(x)=ex-π-x,则f(x)在R上单调递增,又ea+πb≥e-b+π-a,所以ea-π-a≥e-b-πb,即f(a)≥f(-b),所以a≥-b,即a+b≥0.
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5.(2019·十堰模拟)定义在[-7,7]上的奇函数f(x),当00的解集为 ( )
A.(2,7] B.(-2,0)∪(2,7]
C.(-2,0)∪(2,+∞) D.[-7,-2)∪(2,7]
【解析】选B.当00等价于f(x)>f(2),即20等价于f(x)>f(-2),即-20的解集为(-2,0)∪(2,7].
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.指数函数y=f(x)的图象经过点(m,3),则f(0)+f(-m)=________.
【解析】设f(x)=ax(a>0且a≠1),所以f(0)=a0=1.且f(m)=am=3.所以f(0)+f(-m)=1+a-m=1+=.
答案:
7.若f(x)=是R上的奇函数,则实数a的值为________,f(x)的值域为________.
【解析】因为函数f(x)是R上的奇函数,
所以f(0)=0,所以=0,解得a=1,
f(x)==1-.
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因为2x+1>1,所以0<<2,
所以-1<1-<1,
所以f(x)的值域为(-1,1).
答案:1 (-1,1)
8.给出下列结论:
①当a<0时,(a2=a3;
②=|a|(n>1,n∈N*,n为偶数);
③函数f(x)=(x-2-(3x-7)0的定义域是;
④若2x=16,3y=,则x+y=7.
其中正确结论的序号有________.
【解析】因为a<0时,(a2>0,a3<0,所以①错;②显然正确;解,
得x≥2且x≠,所以③正确;
因为2x=16,所以x=4,
因为3y==3-3,所以y=-3,
所以x+y=4+(-3)=1,所以④错.
故②③正确.
答案:②③
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],求a+b的值.
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【解析】①当a>1时,函数f(x)=ax+b在[-1,0]上为增函数,由题意得无解.
②当00,所以x=1.
(2)当t∈[1,2]时,2t+
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m≥0,
即m(22t-1)≥-(24t-1),
因为22t-1>0,所以m≥-(22t+1),
因为t∈[1,2],所以-(22t+1)∈[-17,-5],故实数m的取值范围是[-5,+∞).
(15分钟 35分)
1.(5分)(2020·太原模拟)已知a=,b=,c=,则下列关系式中正确的是 ( )
A.c>,所以<<,即bf(c)>f(b),则下列结论中,一定成立的是 ( )
A.a<0,b<0,c<0 B.a<0,b≥0,c>0
C.2-a<2c D.2a+2c<2
【解析】选D.作出函数f(x)=|2x-1|的图象,如图.
因为af(c)>f(b),结合图象知00,b<1,
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所以0<2a<1,2-a>1,
所以f(a)=|2a-1|=1-2a<1,
所以f(c)<1,所以0f(c),
所以1-2a>2c-1,
所以2a+2c<2.
【变式备选】
(2020·西安模拟)若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,且a≠1),满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是 ( )
A.(-∞,2] B.[2,+∞)
C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]
【解析】选B.由f(1)=,得a2=,解得a=或a=-(舍去),即f(x)=.
由于y=|2x-4|在(-∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增,所以f(x)在(-∞,2]上递增,在[2,+∞)上递减.
3.(5分)(2020·北京模拟)某种物质在时刻t(min)与浓度M(mg/L)的函数关系为M(t)=art+24(a,r为常数).在t=0 min和t=1 min时测得该物质的浓度分别为124 mg/L和64 mg/L,那么在t=4 min时,该物质的浓度为____________mg/L;若该物质的浓度小于24.001 mg/L,则最小的整数的值为________.
【解析】根据条件:ar0+24=124,ar+24=64,
所以a=100,r=,所以M(t)=100+24;
所以M(4)=100+24=26.56;
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由100+24<24.001得:<(0.1)5;
所以lg12.6;所以最小的整数t的值是13.
答案:26.56 13
【变式备选】
已知a-=3(a>0),求a2+a+a-2+a-1的值.
【解析】因为a-=3,
所以a2+=+2·a·=9+2=11,而=a2++2=13,所以a+=,所以a2+a+a-2+a-1=11+.
4.(10分)已知函数y=a+b的图象过原点，且无限接近直线y=2，但又不与该直线相交.
(1)求该函数的解析式，并画出图象.
(2)判断该函数的奇偶性和单调性.
【解析】(1)因为函数y=a+b的图象过原点，所以0=a+b，即a+b=0，所以
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b=-a.函数y=a-a=a.
又0<≤1，-1<-1≤0.
且y=a+b无限接近直线y=2，但又不与该直线相交，所以a<0且0≤a<-a，所以-a=2，函数y=-2+2.用描点法画出函数的图象，如图.
(2)显然函数的定义域为R.
令y=f(x)，则f(-x)=-2+2
=-2+2=f(x)，所以f(x)为偶函数.
当x>0时，y=-2+2=-2+2为单调增函数.当x<0时，
y=-2+2=-2+2为单调减函数.
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所以y=-2+2在(-∞，0)上为减函数，在(0，+∞)上为增函数.
5.(10分)已知函数f(x)=.
(1)若a=-1,求f(x)的单调区间.
(2)若f(x)有最大值3,求a的值.
(3)若f(x)的值域是(0,+∞),求a的值.
【解析】(1)当a=-1时,f(x)=,
令g(x)=-x2-4x+3,
由于g(x)在(-∞,-2]上单调递增,在[-2,+∞)上单调递减,而y=在R上单调递减,所以f(x)在(-∞,-2]上单调递减,在[-2,+∞)上单调递增,即函数f(x)的单调递增区间是[-2,+∞),单调递减区间是(-∞,-2].
(2)令g(x)=ax2-4x+3,则f(x)=,由于f(x)有最大值3,所以g(x)应有最小值-1,
因此必有解得a=1,
即当f(x)有最大值3时,a的值等于1.
(3)令g(x)=ax2-4x+3,则f(x)=,由指数函数的性质知要使f(x)=的值域为(0,+∞),应使g(x)=ax2-4x+3的值域为R,因此只能a=0(因为若a≠0,则g(x)为二次函数,其值域不可能为R).故f(x)的值域为(0,+∞)时,a的值为0.
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