数学卷·2018届四川省成都外国语学校高二上学期期中数学试卷（理科） （解析版） 22页

‎2016-2017学年四川省成都外国语学校高二（上）期中数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．直线x+y+1=0的倾斜角是（　　）‎ A．﹣ B． C． D．‎ ‎2．椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（　　）‎ A． B． C．2 D．4‎ ‎3．圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C． D．2‎ ‎4．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（　　）‎ A．（￢p）∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q） D．（￢p）∨（￢q）‎ ‎5．某几何体正视图与侧视图相同，其正视图与俯视图如图所示，且图中的四边形都是边长为2的正方形，正视图中两条虚线互相垂直，则该几何体的表面积是（　　）‎ A．24 B．20+4 C．24+4 D．20+4‎ ‎6．已知点P（a，b）（ab≠0）是圆x2+y2=r2内的一点，直线m是以P为中点的弦所在直线，直线l的方程为ax+by=r2，那么（　　）‎ A．m∥l，且l与圆相交 B．m⊥l，且l与圆相切 C．m∥l，且l与圆相离 D．m⊥l，且l与圆相离 ‎7．以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为（　　）‎ A．﹣ B．﹣1 C． D．‎ ‎8．如图，已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为3的正方形，侧棱AA1长为4，且AA1与A1B1，A1D1的夹角都是60°，则AC1的长等于（　　）‎ A．10 B． C． D．‎ ‎9．x、y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（　　）‎ A．或﹣1 B．2或 C．2或1 D．2或﹣1‎ ‎10．在圆x2+y2=5x内，过点有n条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列的首项a1，最长弦长为an，若公差，那么n的取值集合为（　　）‎ A．{4，5，6} B．{6，7，8，9} C．{3，4，5} D．{3，4，5，6}‎ ‎11．已知椭圆T： +=1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与T相交于A，B两点，若=3，则k=（　　）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎12．关于下列命题，正确的个数是（　　）‎ ‎（1）若点（2，1）在圆x2+y2+kx+2y+k2﹣15=0外，则k＞2或k＜﹣4‎ ‎（2）已知圆M：（x+cosθ）2+（y﹣sinθ）2=1，直线y=kx，则直线与圆恒相切 ‎（3）已知点P是直线2x+y+4=0上一动点，PA、PB是圆C：x2+y2﹣2y=0的两条切线，A、B是切点，则四边形PACB的最小面积是为2‎ ‎（4）设直线系M：xcosθ+ysinθ=2+2cosθ，M中的直线所能围成的正三角形面积都等于12．‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎　‎ 二、填空题：本大概题共4小题，每小题5分.‎ ‎13．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，则异面直线AD1与A1C1所成角的余弦值是　　．‎ ‎14．命题P：将函数sin2x的图象向右平移个单位得到函数y=sin（2x﹣）的图象；命题Q：函数y=sin（x+）cos（﹣x）的最小正周期是π，则复合命题“P或Q”“P且Q”“非P”为真命题的个数是　　个．‎ ‎15．设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的值是最大值为12，则的最小值为　　．‎ ‎16．已知以T=4为周期的函数f（x）=，其中m＞0．若方程3f（x）=x恰有5个实数解，则m的取值范围为　　．‎ ‎　‎ 四、解答题：解答应写出文字说明过程或演算步骤．‎ ‎17．已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实数根；命题q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实数根．‎ ‎（1）若“￢p”为假命题，求m范围；‎ ‎（2）若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．‎ ‎18．某人有楼房一幢，室内面积共计180m2，拟分割成两类房间作为旅游客房，大房间每间面积为18m2，可住游客5名，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为15m2，可以住游客3名，每名游客每天住宿费50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元．如果他只能筹款8000元用于装修，且假定游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，才能获得最大收益？‎ ‎19．如图1，2，在Rt△ABC中，AB=BC=4，点E在线段AB上，过点E作交AC于点F，将△AEF沿EF折起到△PEF的位置（点A与P重合），使得∠PEB=60°．‎ ‎（1）求证：EF⊥PB；‎ ‎（2）试问：当点E在何处时，四棱锥P﹣EFCB的侧面的面积最大？并求此时四棱锥P﹣EFCB的体积及直线PC与平面EFCB所成角的正切值．‎ ‎20．在平面直角坐标系xOy中，经过点且斜率为k的直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q．‎ ‎（Ⅰ）求k的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．‎ ‎21．平面上两点A（﹣1，0），B（1，0），在圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4上取一点P，‎ ‎（Ⅰ）x﹣y+c≥0恒成立，求c的范围 ‎（Ⅱ）从x+y+1=0上的点向圆引切线，求切线长的最小值 ‎（Ⅲ）求|PA|2+|PB|2的最值及此时点P的坐标．‎ ‎22．如图，椭圆M： +=1（a＞b＞0）的离心率为，直线x=±a和y=±b所围成的矩形ABCD的面积为8．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆M的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l：y=x+m（m∈R）与椭圆M有两个不同的交点P，Q，l与矩形ABCD有两个不同的交点S，T．求的最大值及取得最大值时m的值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年四川省成都外国语学校高二（上）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．直线x+y+1=0的倾斜角是（　　）‎ A．﹣ B． C． D．‎ ‎【考点】直线的倾斜角．‎ ‎【分析】根据题意可得直线的斜率k=﹣1，由直线的斜率与倾斜角的关系及倾斜角的范围，可得直线的斜率角．‎ ‎【解答】解：∵直线方程为x+y+1=0，‎ ‎∴化简得y=﹣x﹣1，直线的斜率为k=﹣1，‎ 设直线的倾斜角为α，则tanα=﹣1，‎ ‎∵α∈（0，π），∴，即直线x+y+1=0的倾斜角是．‎ 故选：D ‎　‎ ‎2．椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（　　）‎ A． B． C．2 D．4‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】根据题意，求出长半轴和短半轴的长度，利用长轴长是短轴长的两倍，解方程求出m的值．‎ ‎【解答】解：椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，∴，‎ 故选 A．‎ ‎　‎ ‎3．圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C． D．2‎ ‎【考点】圆的一般方程；点到直线的距离公式．‎ ‎【分析】求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案．‎ ‎【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心坐标为：（1，4），‎ 故圆心到直线ax+y﹣1=0的距离d==1，‎ 解得：a=，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（　　）‎ A．（￢p）∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q） D．（￢p）∨（￢q）‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】先判断命题p和命题q的真假，命题p为真命题，命题q为假命题，再由真值表对照答案逐一检验．‎ ‎【解答】解：不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而¬p为假命题，¬q为真命题，‎ 所以A、B、C均为假命题，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎5．某几何体正视图与侧视图相同，其正视图与俯视图如图所示，且图中的四边形都是边长为2的正方形，正视图中两条虚线互相垂直，则该几何体的表面积是（　　）‎ A．24 B．20+4 C．24+4 D．20+4‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一四棱锥得到的，根据所提供的数据可求出各个面的面积，可得答案．‎ ‎【解答】解：由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一四棱锥得到的，‎ 该四棱锥的底为正方体的上底，高为1，‎ 如图所示：‎ ‎∴四棱锥的侧高为：‎ 故该几何体的表面积为：5×22+4×（×2×）=20+4，‎ 故选：B ‎　‎ ‎6．已知点P（a，b）（ab≠0）是圆x2+y2=r2内的一点，直线m是以P为中点的弦所在直线，直线l的方程为ax+by=r2，那么（　　）‎ A．m∥l，且l与圆相交 B．m⊥l，且l与圆相切 C．m∥l，且l与圆相离 D．m⊥l，且l与圆相离 ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】由P在圆内，得到P到圆心距离小于半径，利用两点间的距离公式列出不等式a2+b2＜r2‎ ‎，由直线m是以P为中点的弦所在直线，利用垂径定理得到直线OP与直线m垂直，根据直线OP的斜率求出直线m的斜率，再表示出直线l的斜率，发现直线m与l斜率相同，可得出两直线平行，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离，利用得出的不等式变形判断出d大于r，即可确定出直线l与圆相离．‎ ‎【解答】解：∵点P（a，b）（ab≠0）在圆内，‎ ‎∴a2+b2＜r2，‎ ‎∵kOP=，直线OP⊥直线m，‎ ‎∴km=﹣，‎ ‎∵直线l的斜率kl=﹣=km，‎ ‎∴m∥l，‎ ‎∵圆心O到直线l的距离d=＞=r，‎ ‎∴l与圆相离．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎7．以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为（　　）‎ A．﹣ B．﹣1 C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】设椭圆的两个焦点为F1，F2，圆与椭圆交于A，B，C，D四个不同的点，设|F1F2|=2c，则|DF1|=c，|DF2|=c．由椭圆的定义知2a=||DF1|+|DF2|=c+c，根据离心率公式求得答案．‎ ‎【解答】解：设椭圆的两个焦点为F1，F2，圆与椭圆交于A，B，C，D四个不同的点，‎ 设|F1F2|=2c，则|DF1|=c，|DF2|=c．‎ 椭圆定义，得2a=||DF1|+|DF2|=c+c，‎ 所以e===﹣1，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎8．如图，已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为3的正方形，侧棱AA1长为4，且AA1与A1B1，A1D1的夹角都是60°，则AC1的长等于（　　）‎ A．10 B． C． D．‎ ‎【考点】棱柱的结构特征．‎ ‎【分析】直接根据向量的加法把所求问题分解，再平方计算出模长的平方，进而求出结论．‎ ‎【解答】解：因为 =++；‎ ‎∴（）2=（ ++）2‎ ‎=（）2+（）2+（）2+2 •+2 •+2 •‎ ‎=42+32+32+2×4×3cos120°+2×4×3cos120°+2×3×3cos90°‎ ‎=10．‎ ‎∴AC1=‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎9．x、y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（　　）‎ A．或﹣1 B．2或 C．2或1 D．2或﹣1‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=ax+z斜率的变化，从而求出a的取值．‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．‎ 由z=y﹣ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．‎ 若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，‎ 若a＞0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＞0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，‎ 则直线y=ax+z与直线2x﹣y+2=0平行，此时a=2，‎ 若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，‎ 则直线y=ax+z与直线x+y﹣2=0，平行，此时a=﹣1，‎ 综上a=﹣1或a=2，‎ 故选：D ‎　‎ ‎10．在圆x2+y2=5x内，过点有n条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列的首项a1，最长弦长为an，若公差，那么n的取值集合为（　　）‎ A．{4，5，6} B．{6，7，8，9} C．{3，4，5} D．{3，4，5，6}‎ ‎【考点】等差数列的性质；直线与圆相交的性质．‎ ‎【分析】先由圆的几何性质，最短时该点与圆心的连线与所在直线垂直，最长时则该直线过圆心，即圆的直径．从而求得首项和末尾项，再由公差的范围求解．‎ ‎【解答】解析：A；由题意得，，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴3≤n﹣1＜6，‎ ‎∴4≤n＜7，‎ ‎∵n∈N*，‎ ‎∴n=4，5，6．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎11．已知椭圆T： +=1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与T相交于A，B两点，若=3，则k=（　　）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），根据求得y1和y2关系根据离心率设，b=t，代入椭圆方程与直线方程联立，消去x，根据韦达定理表示出y1+y2和y1y2，进而根据y1和y2关系求得k．‎ ‎【解答】解：A（x1，y1），B（x2，y2），‎ ‎∵，∴y1=﹣3y2，‎ ‎∵，设，b=t，‎ ‎∴x2+4y2﹣4t2=0①，‎ 设直线AB方程为，代入①中消去x，可得，‎ ‎∴，，‎ 解得，‎ 故选B ‎　‎ ‎12．关于下列命题，正确的个数是（　　）‎ ‎（1）若点（2，1）在圆x2+y2+kx+2y+k2﹣15=0外，则k＞2或k＜﹣4‎ ‎（2）已知圆M：（x+cosθ）2+（y﹣sinθ）2=1，直线y=kx，则直线与圆恒相切 ‎（3）已知点P是直线2x+y+4=0上一动点，PA、PB是圆C：x2+y2﹣2y=0的两条切线，A、B是切点，则四边形PACB的最小面积是为2‎ ‎（4）设直线系M：xcosθ+ysinθ=2+2cosθ，M中的直线所能围成的正三角形面积都等于12．‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】点（2，1）在圆外，则k2+2k﹣8＞0，解得k＜﹣4，或k＞2，故（1）正确；利用点到直线的距离公式，得到d=，再利用辅助角公式化简得d=|sin（θ+φ）|，从而d≤r，则直线与圆相交或相切，故（2）错误；因为S四边形PACB=2SRt△PAC=PA，而PA=，所以当PC取得最小值时，四边形PACB的面积最小．又因为PC的最小值就是圆心C到直线的距离d，利用点到直线的距离公式即可算出d=，所以四边形PACB的面积为2，故（3）正确；由直线系M的方程可知，所以直线都是定圆（x﹣2）2+y2=4的切线，利用圆的半径即可算出正三角形的面积，故（4）正确．‎ ‎【解答】解：对于（1）：∵点（2，1）在圆外，∴k2+2k﹣8＞0，解得k＜﹣4，或k＞2，故（1）正确；‎ 对于（2）：圆心M到直线的距离d==|sin（θ+φ）|，其中sinφ=，cosφ=，‎ ‎∵|sin（θ+φ）|≤1，∴直线与圆相交或相切．故（2）错误；‎ 对于（3）：圆C：x2+y2﹣2y=0，即x2+（y﹣1）2=1，故圆心C（0，1），半径r=1，‎ 圆心C到直线2x+y+4=0的距离d=，即PCmin=，‎ ‎∵，∴PAmin=2，‎ ‎∵，∴（S四边形PACB）min=2，故（3）正确；‎ 对于（4）：直线系M：xcosθ+ysinθ=2+2cosθ，即（x﹣2）cosθ+ysinθ=2‎ ‎∵点（2，0）到直线的距离d=，‎ ‎∴直线系M都是圆C：（x﹣2）2+y2=4的切线．‎ 设△ABC是M中的直线所能围成的一个正三角形，则AC=2r=4，AB=2AD=2‎ ‎∴S=，故（4）正确．‎ 综上可知，正确的是（1），（3），（4），共有3个．‎ 故选：C ‎　‎ 二、填空题：本大概题共4小题，每小题5分.‎ ‎13．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，则异面直线AD1与A1C1所成角的余弦值是　　．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】由A1C1∥AC，知∠D1AC是异面直线AD1与A1C1所成角，由此能求出异面直线AD1与A1C1所成角的余弦值．‎ ‎【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，‎ ‎∵A1C1∥AC，∴∠D1AC是异面直线AD1与A1C1所成角，‎ 连结AC，CD1，‎ ‎∵AD1=AC=CD1，‎ ‎∴∠D1AC=60°，‎ ‎∴异面直线AD1与A1C1所成角的余弦值为cos60°=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．命题P：将函数sin2x的图象向右平移个单位得到函数y=sin（2x﹣）的图象；命题Q：函数y=sin（x+）cos（﹣x）的最小正周期是π，则复合命题“P或Q”“P且Q”“非P”为真命题的个数是　2　个．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】先分别判断命题P和Q的真假，将sin2x的图象向右平移个单位得到函数y=sin2（x﹣）=sin（2x﹣），故命题P为假命题，y=sin（x+）cos（=，周期T=π，故命题Q为真．再根据真值表分别判断“P或Q”“P且Q”“非P”的真假性即可．‎ ‎【解答】解：对于命题P：将sin2x的图象向右平移个单位得到函数y=sin2（x﹣）=sin（2x﹣），‎ 故命题P为假命题；‎ 对于命题Q：y=sin（x+）cos（﹣x）=sin[]cos（）===，周期T=，故命题Q为真命题．‎ 根据真值表，“P或Q“为真命题，“P且Q“为假命题，“非P“为真命题．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎15．设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的值是最大值为12，则的最小值为　　．‎ ‎【考点】简单线性规划的应用；基本不等式在最值问题中的应用．‎ ‎【分析】先根据条件画出可行域，设z=ax+by，再利用几何意义求最值，将最大值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=ax+by，过可行域内的点（4，6）时取得最大值，从而得到一个关于a，b的等式，最后利用基本不等式求最小值即可．‎ ‎【解答】解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，‎ 当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）过直线x﹣y+2=0与直线3x﹣y﹣6=0的交点（4，6）时，‎ 目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12，‎ 即4a+6b=12，即2a+3b=6，‎ 而=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．已知以T=4为周期的函数f（x）=，其中m＞0．若方程3f（x）=x恰有5个实数解，则m的取值范围为　　．‎ ‎【考点】函数的周期性；分段函数的解析式求法及其图象的作法．‎ ‎【分析】根据对函数的解析式进行变形后发现当x∈（﹣1，1]，[3，5]，[7，9]上时，f（x）的图象为半个椭圆．根据图象推断要使方程恰有5个实数解，则需直线y=与第二个椭圆相交，而与第三个椭圆不公共点．把直线分别代入椭圆方程，根据△可求得m的范围．‎ ‎【解答】解：∵当x∈（﹣1，1]时，将函数化为方程x2+=1（y≥0），‎ ‎∴实质上为一个半椭圆，其图象如图所示，‎ 同时在坐标系中作出当x∈（1，3]得图象，再根据周期性作出函数其它部分的图象，‎ 由图易知直线 y=与第二个椭圆（x﹣4）2+=1（y≥0）相交，‎ 而与第三个半椭圆（x﹣8）2+=1 （y≥0）无公共点时，方程恰有5个实数解，‎ 将 y=代入（x﹣4）2+=1 （y≥0）得，（9m2+1）x2﹣72m2x+135m2=0，令t=9m2（t＞0），‎ 则（t+1）x2﹣8tx+15t=0，由△=（8t）2﹣4×15t （t+1）＞0，得t＞15，由9m2＞15，且m＞0得 m，‎ 同样由 y=与第三个椭圆（x﹣8）2+=1 （y≥0）由△＜0可计算得 m＜，‎ 综上可知m∈（，）‎ 故答案为：（，）‎ ‎　‎ 四、解答题：解答应写出文字说明过程或演算步骤．‎ ‎17．已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实数根；命题q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实数根．‎ ‎（1）若“￢p”为假命题，求m范围；‎ ‎（2）若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．‎ ‎【考点】复合命题的真假；命题的否定．‎ ‎【分析】（1）根据四种命题之间的关系判断即可；（2）通过讨论p真q假，p假q真，从而得到m的范围．‎ ‎【解答】解：（1）由p得：△1=m2﹣4＞0，﹣m＜0，则m＞2；‎ ‎（2）△2=16（m﹣2）2﹣16＜0，则1＜m＜3，‎ ‎∵“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，‎ ‎∴p，q一真一假，‎ ‎①p真q假时：，解得：m≥3，‎ ‎②p假q真时：，解得：1＜m≤2，‎ ‎∴m的取值范围是：m≥3或1＜m≤2．‎ ‎　‎ ‎18．某人有楼房一幢，室内面积共计180m2，拟分割成两类房间作为旅游客房，大房间每间面积为18m2，可住游客5名，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为15m2，可以住游客3名，每名游客每天住宿费50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元．如果他只能筹款8000元用于装修，且假定游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，才能获得最大收益？‎ ‎【考点】简单线性规划的应用．‎ ‎【分析】先设分割大房间为x间，小房间为y间，收益为z元，列出约束条件，再根据约束条件画出可行域，设z=200x+150y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=200x+150y过可行域内的整数点时，从而得到z值即可．‎ ‎【解答】解：设分割大房间为x间，小房间为y间，收益为z元 根据题意得： ‎ 求：z=200x+150y的最大值．‎ 作出约束条件表示的平面区域 把目标函数z=200x+150y化为 平移直线，直线越往上移，z越大，‎ 所以当直线经过M点时，z的值最大，‎ 解方程组得，‎ 因为最优解应该是整数解，通过调整得，当直线过M'（3，8）和M''（0，12）时z最大 所以当大房间为3间，小房间为8间或大房间为0间，小房间为12间时，可获最大的收益为1800元．‎ ‎　‎ ‎19．如图1，2，在Rt△ABC中，AB=BC=4，点E在线段AB上，过点E作交AC于点F，将△AEF沿EF折起到△PEF的位置（点A与P重合），使得∠PEB=60°．‎ ‎（1）求证：EF⊥PB；‎ ‎（2）试问：当点E在何处时，四棱锥P﹣EFCB的侧面的面积最大？并求此时四棱锥P﹣EFCB的体积及直线PC与平面EFCB所成角的正切值．‎ ‎【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】（1）推导出EF⊥AB，EF⊥BE，EF⊥PE，由此能证明EF⊥PB．　‎ ‎（2）设BE=x，PE=y，则x+y=4，当且仅当x=y=2时，S△PEB的面积最大，此时，BE=PE=2．EF⊥平面PBE，从而平面EFCB⊥平面PBE．作PO⊥BE于O，则PO为四棱锥P﹣EFCB的高，∠PCO就是PC与平面EFCB所成角．由此能求出结果．‎ ‎【解答】证明：（1）∵EF∥BC且BC⊥AB，‎ ‎∴EF⊥AB，即EF⊥BE，EF⊥PE．又BE∩PE=E，‎ ‎∴EF⊥平面PBE，又PB⊂平面PBE，‎ ‎∴EF⊥PB．　‎ 解：（2）设BE=x，PE=y，则x+y=4．‎ ‎∴．‎ 当且仅当x=y=2时，S△PEB的面积最大，此时，BE=PE=2．‎ 由（1）知EF⊥平面PBE，‎ ‎∵EF⊂平面EFCB，∴平面EFCB⊥平面PBE．‎ 在平面PBE中，作PO⊥BE于O，则PO⊥平面EFCB．‎ 即PO为四棱锥P﹣EFCB的高．‎ 又．‎ ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴BO=1，在Rt△OBC中，．‎ ‎∵PO⊥平面EFCB，∴∠PCO就是PC与平面EFCB所成角．‎ ‎∴，‎ 故直线PC与平面EFCB所成角的正切值为 ‎　‎ ‎20．在平面直角坐标系xOy中，经过点且斜率为k的直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q．‎ ‎（Ⅰ）求k的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】向量的共线定理；平面的概念、画法及表示．‎ ‎【分析】（1）直线l与椭圆有两个不同的交点，即方程组有2个不同解，转化为判别式大于0．‎ ‎（2）利用2个向量共线时，坐标之间的关系，由一元二次方程根与系数的关系求两根之和，解方程求常数k．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由已知条件，直线l的方程为，‎ 代入椭圆方程得．‎ 整理得①‎ 直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q，等价于①的判别式△=，‎ 解得或．即k的取值范围为．‎ ‎（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，‎ 由方程①，． ②‎ 又． ③‎ 而．‎ 所以与共线等价于，‎ 将②③代入上式，解得．‎ 由（Ⅰ）知或，‎ 故没有符合题意的常数k．‎ ‎　‎ ‎21．平面上两点A（﹣1，0），B（1，0），在圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4上取一点P，‎ ‎（Ⅰ）x﹣y+c≥0恒成立，求c的范围 ‎（Ⅱ）从x+y+1=0上的点向圆引切线，求切线长的最小值 ‎（Ⅲ）求|PA|2+|PB|2的最值及此时点P的坐标．‎ ‎【考点】圆的切线方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由x﹣y+c≥0，得c≥y﹣x，由圆的参数方程得c≥4+2sinθ﹣3﹣2cosθ，即可求c的范围；‎ ‎（Ⅱ）求出圆心C到直线x+y+1=0的距离为，利用勾股定理求切线长的最小值；‎ ‎（Ⅲ）设出的是PP（a，b），使要求的式子转化为求圆上的点到原点的距离问题，利用数形结合法求最值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由x﹣y+c≥0，得c≥y﹣x，由圆的参数方程得c≥4+2sinθ﹣3﹣2cosθ，所以 ‎（Ⅱ）圆心C到直线x+y+1=0的距离为，切线长的最小值为 ‎（Ⅲ）设P（a，b），则|PA|2+|PB|2=2a2+2b2+2，a2+b2为圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4上的点到原点的距离平方，所以最小值为20，；最大值为100，．‎ ‎　‎ ‎22．如图，椭圆M： +=1（a＞b＞0）的离心率为，直线x=±a和y=±b所围成的矩形ABCD的面积为8．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆M的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l：y=x+m（m∈R）与椭圆M有两个不同的交点P，Q，l与矩形ABCD有两个不同的交点S，T．求的最大值及取得最大值时m的值．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）通过椭圆的离心率，矩形的面积公式，直接求出a，b，然后求椭圆M的标准方程；‎ ‎（Ⅱ） 通过，利用韦达定理求出|PQ|的表达式，通过判别式推出的m的范围，①当时，求出取得最大值．利用由对称性，推出，取得最大值．③当﹣1≤m≤1时，取得最大值．求的最大值及取得最大值时m的值．‎ ‎【解答】解：（I）…①‎ 矩形ABCD面积为8，即2a•2b=8…②‎ 由①②解得：a=2，b=1，‎ ‎∴椭圆M的标准方程是．‎ ‎（II），‎ 由△=64m2﹣20（4m2﹣4）＞0得．‎ 设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，‎ ‎．‎ 当l过A点时，m=1，当l过C点时，m=﹣1．‎ ‎①当时，有，，‎ 其中t=m+3，由此知当，即时，取得最大值．‎ ‎②由对称性，可知若，则当时，取得最大值．‎ ‎③当﹣1≤m≤1时，，，‎ 由此知，当m=0时，取得最大值．‎ 综上可知，当或m=0时，取得最大值．‎ ‎　‎ ‎2016年12月1日