2020届二轮复习圆锥曲线离心率综合问题课时作业（全国通用） 25页

第三十八讲 圆锥曲线的离率问题 A组 一、选择题 ‎1．（2017年高考全国3卷理）已知椭圆C：，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A‎1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】以线段为直径的圆是，直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，整理为，即，即 ，，故选A.‎ ‎2．已知双曲线，抛物线， 与有公共的焦点， 与在第一象限的公共点为，直线的倾斜角为，且，则关于双曲线的离心率的说法正确的是（）‎ A. 仅有两个不同的离心率且 B. 仅有两个不同的离心率且 C. 仅有一个离心率且 D. 仅有一个离心率且 ‎【答案】C ‎【解析】 的焦点为 ， 双曲线交点为，即 ，设 横坐标为 ，则 ， ，‎ 可化为 ， ，‎ ‎ 只有一个根在 内，故选C.‎ ‎3．已知是双曲线的左右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点,交另一条渐近线于点，且,则该双曲线的离心率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由 到渐近线 的距离为 ，即有 ，则 ，在 中， ‎ ‎ ，化简可得 ，即有 ，即有 ，故选A.‎ ‎4．设是双曲线的右顶点， 是右焦点，若抛物线的准线上存在一点，使，则双曲线的离心率的范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】抛物线的准线方程为,正好是双曲的右准线.由于AF= ,所以AF弦,圆心,半径圆上任取一点P, ,‎ 现在转化为圆与准线相交问题.所以,解得.填A.‎ ‎5．中心为原点的椭圆焦点在轴上， 为该椭圆右顶点， 为椭圆上一点， ，则该椭圆的离心率的取值范围是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设椭圆标准方程为，设P(x,y)，点P在以OA为直径的圆上。圆的方程： ，化简为， 可得。则所双可得，选B.‎ ‎6．设点分别为双曲线： 的左、右焦点，若在双曲线左支上存在一点，满足，点到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意知，可知是等腰三角形， 在直线的投影是中点，可得，由双曲线定义可得，则，又，知，可得，解得．故本题答案选．‎ ‎7．如图，两个椭圆的方程分别为和（， ），从大椭圆两个顶点分别向小椭圆引切线、，若、的斜率之积恒为，则椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意知，外层椭圆方程为 ，设切线的方程为代入内层椭圆消去得: 由化简得同理得所以选A.‎ ‎8．已知双曲线C： 的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为A、B，虚轴的上、下端点分别为C、D，若线段BC与双曲线的渐近线的交点为E，且，则双曲线的离心率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据双曲线的性质可以得到， ， ， ，双曲线的渐近线方程，直线方程： ，联立得到，即点，所以是线段的中点，又因为，所以，而， ，故，因为，所以，因为，即，所以，故选C ‎9．已知是双曲线上的三个点， 经过原点, ‎ 经过右焦点,若且,则该双曲线的离心率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】做出如图因为 经过原点, 经过右焦点, 可得为矩形，设AF=a,则根据双曲线定义可知，在得得 ‎10．已知分别为双曲线的右焦点和右顶点，过作轴的垂线在第一象限与双曲线交于点， 的延长线与双曲线在第一象限的渐近线交于点，若,则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】过Q作QR⊥x轴与R，如图，由题意设F（c，0），则由OA=a得AF=c-a，将x=c代入双曲线得P，则直线AP 的斜率为，所以直线AP的方程为，与渐近线联立，得x=，所以AR=，根据相似三角形及，得AF=）AR，即代入，得 ‎11．已知双曲线（， ），过其左焦点作轴的垂线，交双曲线于、两点，若双曲线的右顶点在以为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】是双曲线通径， ，由题意，即， ，即，解得（舍去），故选D．‎ ‎12．已知点分别是双曲线的左右两焦点，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于两点，若是以为顶角的等腰三角形，其中，则双曲线离心率的取值范围为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 ‎ ‎ 因为为等腰三角形，设，‎ 由为双曲线上一点， ，‎ 由为双曲线上一点， ，‎ 再中，由余弦定理得,‎ 所以，所以 又因为，所以，所以，故选A.‎ 二、填空题 ‎13．设、分别为椭圆与双曲线的公共焦点，它们在第一象限内交于点， ，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设MF1=s,MF2=t，由椭圆的定义可得s+t=‎2a1，‎ 由双曲线的定义可得s−t=‎2a2，‎ 解得s=a1+a2,t=a1−a2，‎ 由∠F1MF2=90°，运用勾股定理，可得s2+t2=‎4c2，‎ 即为，‎ 由离心率的公式可得，‎ 由,可得，‎ 据此有： ‎ 由a2>b1,可得，‎ 则双曲线的离心率的取值范围为.‎ ‎14．已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的左支上，若直线与圆相切于点且，则双曲线的离心率值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设双曲线的左焦点为，由圆心可知， ，又，可知，且，由双曲线的定义得， ， 中， .‎ ‎15．过双曲线的右焦点且垂于轴的直线与双曲线交于, 两点，与双曲线的渐近线交于, 两点，若,则双曲线离心率的取值范围为__________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】易知，因为渐近线，所以 ，由化简得，即，所以，从而，‎ 解得.‎ B组 一、选择题 ‎1．已知椭圆的两个焦点是， 是直线 与椭圆的一个公共点，当取得最小值时椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】解：联立直线与椭圆的方程整理可得： ，‎ 满足题意时： ，‎ 当 时，椭圆的离心率取得最小值 .‎ 本题选择D选项.‎ ‎2．过双曲线： （， ）的左焦点作圆： 的切线，设切点为，延长交双曲线于，若点为线段的中点，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】取双曲线右焦点,连接，由题意可知， 为直角三角形，且由勾股定理可知， ，选A.‎ ‎3．已知双曲线的右顶点为为坐标原点,以为圆心的圆与双曲线的某一条渐近线交于两点,若且,则双曲线的离心率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由图知是等边三角形，设中点是，圆的半径为，则， ， ，因为，所以， ‎ ‎，即，所以，即， ，从而得，故选B．‎ ‎4．在平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点,若的垂心为的焦点，则的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】设， ， 焦点为，由题意，即，所以，又， ， ， ， ，而，即， ， ， ，所以，故选C．‎ ‎5．已知双曲线的左右顶点分别为， 是双曲线上异于的任意一点，直线和分别与轴交于两点， 为坐标原点，若依次成等比数列，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设，因为，所以，直线方程为，令得， ，即，同理得，由于成等比数列，则，即， 是双曲线上的点，则，所以，即，所以， ，而，从而， ，所以，故选A．‎ ‎6．已知点是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若是钝角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】如图，根据双曲线的对称性可知，若是钝角三角形，显然为钝角，因此，由于过左焦点且垂直于轴，所以， ， ，则， ，所以，化简整理得： ，所以，即，两边同时除以得，解得或（舍），故选择D.‎ ‎7．双曲线的右焦点和虚轴上的一个端点分别为，点为双曲线左支上一点，若周长的最小值为，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设双曲线的右焦点为 ， 的周长为 ， 而 ，所以三角形周长的最小值是 ，解得： ， ，解得： ，故选B.‎ ‎8．已知椭圆和双曲线焦点相同，且离心率互为倒数， 是它们的公共焦点， 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若，则椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设 ， 在椭圆中 ‎， ，即 在双曲线中 ‎ ‎， 即，则 所以，由题知，则椭圆离心率，选A.‎ ‎9．已知椭圆的右焦点为为坐标原点， 为轴上一点，点是直线与椭圆的一个交点，且，则椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】如图：‎ 因为，所以， ，所以， ， ，由椭圆定义，可得，选D.‎ ‎10．设椭圆与函数的图象相交于两点，点为椭圆上异于的动点，若直线的斜率取值范围是，则直线的斜率取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设， ，因为椭圆和函数的图象都关于原点对称，则从而有 由，得，即有 则，因为，则有,选D.‎ ‎11．已知、为双曲线： 的左、右焦点，点在上， ，且，则双曲线的离心率（ ）‎ A. B. C. 2 D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】由双曲线定义及，得 由余弦定理得，得,选A.‎ 二、填空题 ‎12．过双曲线（， ）的左焦点向圆作一条切线，若该切线与双曲线的两条渐进线分别相交于第一、二象限，且被双曲线的两条渐进线截得的线段长为，则该双曲线的离心率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设该切线与双曲线的两条渐近线交点,分别联立切线与两条渐近线: ,解得,,解得,根据弦长公式得: ,两边平方得: ,即,解得: 或,又因为切线与双曲线的两条渐进线分别相交于第一、二象限，所以,故填.‎ ‎13．已知椭圆的左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线交椭圆于两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为__________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】设椭圆的左、右焦点分别为,将代入椭圆方程可得，可设,由，可得，即有，即，可得，代入椭圆方程可得，由,即有，解得.‎ ‎14．椭圆的左、右焦点分别为，上、下顶点分别为，右顶点为，直线与交于点.若，则的离心率等于__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图：设，由，得根据相似三角形得： 求得，又直线方程为： ，将点D代入得： ‎ C组 一、选择题 ‎1．已知中， ，以为焦点的双曲线（）经过点，且与边交于点，若，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设 ，根据双曲线的定义的定义可得 ，又知 在直角三角形 中，根据勾股定理可得 可得 ， 在直角三角形 中，根据勾股定理可得，故选D.‎ ‎2．已知分别为双曲线： ()的左、右顶点，不同两点在双曲线上，且关于轴对称，设直线的斜率分别为，则当取最大值时，双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】解：由题意可知，满足题意时 ，结合对称性可知： ，‎ 设点 的坐标为 ，则： ，‎ 点 在双曲线上，则： ，‎ 据此有： .‎ 本题选择A选项.‎ ‎3．已知双曲线（， ）的左、右焦点分别为， ，点在双曲线的右支上，若， ，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，得，则，由正弦定理，得，解得，即该双曲线的离心率为；故选C.‎ ‎4．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且垂直于轴的直线与该双曲线的左支交于两点， 分别交轴于两点，若的周长 12，则取得最大值时该双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】解：由题意,△ABF2的周长为24，‎ ‎∵|AF2|+|BF2|+|AB|=24，‎ ‎∵|AF2|+|BF2|−|AB|=‎4a,|AB|= ，‎ ‎∴ =24−‎4a,∴b2=a(6−a)，‎ ‎∴y=a2b2=a3(6−a),∴y′=‎2a2(9−‎2a)，‎ ‎00,a>4.5,y′<0，‎ ‎∴a=4.5时,y=a2b2取得最大值,此时ab取得最大值, ，‎ 故： .‎ 本题选择D选项.‎ ‎5．若直线和直线相交于一点，将直线绕该点依逆时针旋转到与第一次重合时所转的角为，则角就叫做到的角， ，其中分别是的斜率，已知双曲线： 的右焦点为， 是右顶点， 是直线上的一点， 是双曲线的离心率， ，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】解：设 的斜率为 ，由题意可知： ，‎ 不妨设 ，当 时由对称性可知结果一致，‎ 则： ，‎ 令 ，‎ 则 ，‎ 当 取得最大值时满足题意，‎ 很明显 ，则： ，‎ 当且仅当 时等号成立，‎ 此时： .‎ 本题选择C选项.‎ ‎6．已知双曲线： （， ）的一条渐近线为，圆： 与交于， 两点，若是等腰直角三角形，且（其中为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】双曲线渐近线为，圆的圆心为，半径，由于，由勾股定理得，故，在中，由余弦定理得，解得.根据圆心到直线的距离为，有，结合解得，故离心率为.‎ ‎7．已知为双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线右支的一个交点为， 与双曲线相交于点，且，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. ‎2 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】依题意设，则根据双曲线的定义，有，分别在两个直角三角形和中利用勾股定理有，解得，且 ‎，故离心率为.‎ ‎8．已知双曲线的左、右焦点分别为，焦距为，抛物线的准线交双曲线左支于两点，且，其中为原点，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】如下图：‎ ‎，‎ ‎, ,代入双曲线方程，可得，解得，选C.‎ 对于求离心率的题，重要的是根据几何关系，或代数关系建立关于或的等式，再进一步求出离心率。‎ ‎9．已知为双曲线的左焦点，点为双曲线虚轴的一个端点，过， 的直线与双曲线的一条渐近线在轴右侧的交点为，若，则此双曲线的离心率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由双曲线，可设，易知左焦点，过的直线方程斜率为，所以直线方程为，双曲线的一条渐近线方程为，联立这两式可得，根据，代入得，整理得 ‎10．已知椭圆的左右焦点分别为， ，过的直线与椭圆交于A，B两点，若是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 如图所示，设，则，‎ ‎ 因为是以为直角顶点的等腰直角三角形，‎ 所以， ‎ ‎ 联立解得，‎ ‎ 解得，故选A.‎ ‎11．设P为双曲线C： ， 上且在第一象限内的点，F1，F2分别是双曲的左、右焦点，PF2⊥F‎1F2，x轴上有一点A且AP⊥PF1，E是AP的中点，线段EF1与PF2交于点M．若，则双曲线的离心率是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题设条件知， ， ， ．‎ 在Rt△PF‎1A中，由射影定理得，所以．‎ 所以， .．‎ 所以EF1的直线方程是，当x = c时．‎ 即， ，又，所以，即，同除以a4得，得或．‎ 所以．‎ ‎12．已知点是抛物线： 准线上的一点，点是的焦点，点在上且满足，当取最小值时，点恰好在以原点为中心， 为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 由点在抛物线的准线上，所以，所以抛物线的方程为，‎ ‎ 所以抛物线的焦点，准线方程为，‎ 过点作准线的垂线，垂直为，‎ 由抛物线的定义可知,‎ 因为，则，当直线与抛物线相切时，此时取得最小值，‎ 设直线的斜率为，则直线的方程为，‎ 联立方程组 ，整理，由，解得，‎ 此时直线的方程为，‎ 由与抛物线方程联立，解得点，‎ 此时双曲线的焦点坐标为，且过点 根据双曲线的定义可知，‎ 所以，所以双曲线的离心率为 ，故选A。‎ 二、填空题 ‎13．已知椭圆C: 的左右焦点分别为， ,点P在椭圆C上，线段与圆： 相切于点Q，若Q是线段的中点，e为C的离心率，则的最小值是______________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 连接,‎ ‎ 由为中位线，可得 , ,‎ ‎ 圆，可得且，‎ 由椭圆的定义可得，可得，‎ 又，可得，‎ 即有，即为，‎ 化为，即，‎ ‎，即有，‎ 则，‎ 当且仅当时，即时等号成立，所以的最小值为.‎ ‎14．已知椭圆： 的右焦点为，上、下顶点分别为， ，直线交于另一点，若直线交轴于点，则的离心率是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，得，则直线的方程分别为，联立两直线方程，得，则，解得，则该椭圆的离心率为.‎ ‎15．已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点， 在抛物线上且满足，当取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】过作准线的垂线，垂足为，‎ 则由抛物线的定义可得 ，‎ 设 的倾斜角为，则 当取得最大值时， 最小，此时直线与抛物线相切，‎ 设直线的方程为，代入s可得即∴双曲线的实轴长为∴双曲线的离心率为