高中数学（人教A版）必修4第1章 三角函数 测试题（含详解） 8页

第一章测试 ‎(时间：120分钟，满分：150分)‎ 一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．下列说法中，正确的是(　　)‎ A．第二象限的角是钝角 B．第三象限的角必大于第二象限的角 C．－831°是第二象限角 D．－95°20′，984°40′，264°40′是终边相同的角 解析　A、B均错，－831°＝－720°－111°是第三象限的角，C错，∴选D.‎ 答案　D ‎2．若点(a,9)在函数y＝3x的图像上，则tan的值为(　　)‎ A．0　　　　B.　　　　C．1　　　　D. 解析　由题意，得‎3a＝9，得a＝2，∴tan＝tan＝tan＝.‎ 答案　D ‎3．函数y＝sin的图像(　　)‎ A．关于直线x＝－对称 B．关于直线x＝－对称 C．关于直线x＝对称 D．关于直线x＝π对称 解析　将x＝－代入函数式，y＝sin＝sin＝1，取得最大值．‎ ‎∴x＝－是函数y＝sin的一条对称轴，故应选B.‎ 答案　B ‎4．若|cosθ|＝cosθ，|tanθ|＝－tanθ，则的终边在(　　)‎ A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限或x轴上 D．第二、四象限或x轴上 解析　由题意知，cosθ≥0，tanθ≤0，所以θ在x轴上或在第四象限，故在第二、四象限或在x轴上．‎ 答案　D ‎5．如果函数f(x)＝sin(πx＋θ)(0<θ<2π)的最小正周期是T，且当x＝2时取得最大值，那么(　　)‎ A．T＝2，θ＝ B．T＝1，θ＝π C．T＝2，θ＝π D．T＝1，θ＝ 解析　由题意知T＝＝2，又当x＝2时，有2π＋θ＝2kπ＋(k∈Z)，∴θ＝.‎ 答案　A ‎6．若sin＝－，且π0，则cosθ＝________.‎ 解析　由sinθ＝－，tanθ>0知，cosθ<0.‎ ‎∴cosθ＝－ ＝－ ＝－.‎ 答案　－ ‎14．设α是第三象限的角，tanα＝，则cosα＝________.‎ 解析　借助直角三角形，易知cosα＝－.‎ 答案　－ ‎15．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图像如图所示，则ω＝________.‎ 解析　由图知，＝－＝，∴T＝π.‎ 又T＝＝π，∴ω＝.‎ 答案　 ‎16．给出下列命题：‎ ‎①函数y＝cos是奇函数；‎ ‎②存在实数x，使sinx＋cosx＝2；‎ ‎③若α，β是第一象限角且α<β，则tanαtanβ，∴③不成立．‎ ‎④把x＝代入函数y＝sin，得y＝－1.‎ ‎∴x＝是函数图像的一条对称轴．‎ ‎⑤因为y＝sin图像的对称中心在图像上，而不在图像上，所以⑤不成立．‎ 答案　①④‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(10分)已知方程sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求的值．‎ 解　∵sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，‎ ‎∴－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)．‎ ‎∴－sin(π－α)＝2cos(－α)．‎ ‎∴sinα＝－2cosα.‎ 可知cosα≠0.‎ ‎∴原式＝ ‎＝＝＝－.‎ ‎18．(12分)在△ABC中，sinA＋cosA＝，求tanA的值．‎ 解　∵sinA＋cosA＝，①‎ 两边平方，得2sinAcosA＝－，‎ 从而知cosA<0，∴∠A∈.‎ ‎∴sinA－cosA＝ ‎＝ ＝.②‎ 由①②，得sinA＝，cosA＝，‎ ‎∴tanA＝＝－2－.‎ ‎19．(12分)已知f(x)＝sin＋，x∈R.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)求函数f(x)的单调减区间；‎ ‎(3)函数f(x)的图像可以由函数y＝sin2x(x∈R)的图像经过怎样变换得到？‎ 解　(1)T＝＝π.‎ ‎(2)由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，‎ 得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.‎ 所以所求的单调减区间为(k∈Z)．‎ ‎(3)把y＝sin2x的图像上所有点向左平移个单位，再向上平移个单位，即得函数f(x)＝sin＋的图像．‎ ‎20．(12分)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图像过点P，图像与P点最近的一个最高点坐标为.‎ ‎(1)求函数解析式；‎ ‎(2)求函数的最大值，并写出相应的x的值；‎ ‎(3)求使y≤0时，x的取值范围．‎ 解　(1)由题意知＝－＝，∴T＝π.‎ ‎∴ω＝＝2，由ω·＋φ＝0，得φ＝－，又A＝5，‎ ‎∴y＝5sin.‎ ‎(2)函数的最大值为5，此时2x－＝2kπ＋(k∈Z)．∴x＝kπ＋(k∈Z)．‎ ‎(3)∵5sin≤0，‎ ‎∴2kπ－π≤2x－≤2kπ(k∈Z)．‎ ‎∴kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．‎ ‎21．(12分)已知cos＝cos，‎ sin＝－sin，且0<α<π，‎ ‎0<β<π，求α，β的值．‎ 解　cos＝cos，即sinα＝sinβ①‎ sin＝－sin，即cosα＝cosβ②‎ ‎①2＋②2得 ‎2＝sin2α＋3cos2α.‎ 又sin2α＋cos2α＝1，‎ ‎∴cos2α＝.∴cosα＝±.‎ 又∵α∈(0，π)，∴α＝，或α＝π.‎ ‎(1)当α＝时，cosα＝，cosβ＝cosα＝，‎ 又β∈(0，π)，∴β＝.‎ ‎(2)当α＝时，cosα＝－，‎ cosβ＝cosα＝－，‎ 又β∈(0，π)，∴β＝.‎ 综上，α＝，β＝，或α＝，β＝.‎ ‎22．(12分)已知函数f(x)＝x2＋2xtanθ－1，x∈[－1，]，其中θ∈.‎ ‎(1)当θ＝－时，求函数的最大值和最小值；‎ ‎(2)求θ的取值范围，使y＝f(x)在区间[－1，]上是单调函数(在指定区间为增函数或减函数称为该区间上的单调函数)．‎ 解　(1)当θ＝－时，‎ f(x)＝x2－x－1＝2－.‎ ‎∵x∈[－1，]，‎ ‎∴当x＝时，f(x)的最小值为－，‎ 当x＝－1时，f(x)的最大值为.‎ ‎(2)f(x)＝(x＋tanθ)2－1－tan2θ是关于x的二次函数．它的图像的对称轴为x＝－tanθ.‎ ‎∵y＝f(x)在区间[－1，]上是单调函数，‎ ‎∴－tanθ≤－1，或－tanθ≥，即tanθ≥1，或tanθ≤－.‎ ‎∵θ∈，‎ ‎∴θ的取值范围是∪.‎