数学理·河北省石家庄二中2016-2017学年高二上学期10月月考数学试卷（理科）+Word版含解析x 14页

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年河北省石家庄二中高二（上）10月月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（每题5分，共50分）‎ ‎1．点A（a，1）在椭圆的内部，则a的取值范围是（　　）‎ A． B． C．（﹣2，2） D．（﹣1，1）‎ ‎2．方程mx2﹣my2=n中，若mn＜0，则方程的曲线是（　　）‎ A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线 C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的双曲线 ‎3．若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的虚轴长是（　　）‎ A．2 B．1 C． D．‎ ‎4．已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=（　　）‎ A．3 B．6 C．9 D．12‎ ‎5．若AB过椭圆 +=1中心的弦，F1为椭圆的焦点，则△F1AB面积的最大值为（　　）‎ A．6 B．12 C．24 D．48‎ ‎6．已知点P在抛物线y2=4x上，定点M（2，3），则点P到点M的距离和到直线l：x=﹣1的距离之和的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．3‎ ‎7．若椭圆=1与双曲线=1有相同的焦点F1、F2，P是这两条曲线的一个交点，则△F1PF2的面积是（　　）‎ A．4 B．2 C．1 D．‎ ‎8．一动圆P过定点M（﹣4，0），且与已知圆N：（x﹣4）2+y2=16相切，则动圆圆心P的轨迹方程是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎9．已知c是椭圆的半焦距，则的取值范围是（　　）‎ A．（1，+∞） B． C．（1，） D．（1，]‎ ‎10．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（　　）‎ A． B．3 C． D．2‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，共25分）‎ ‎11．抛物线y=4x2的准线方程为　　．‎ ‎12．已知双曲线x2﹣=1（b＞0）的焦距为4，则b=　　．‎ ‎13．已知两定点M（﹣1，0），N（1，0），直线l：y=﹣2x+3，在l上满足|PM|+|PN|=4的点P有　　个．‎ ‎14．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的右焦点为F．短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y=0交椭圆E于A，B两点．若|AF|+|BF|=4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是　　．‎ ‎15．已知点P为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△F1PF2的内心，若2（S﹣S）=S，则该双曲线的离心率是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（16题10分，17题15分，共25分）‎ ‎16．是否存在同时满足下列两条件的直线l：（1）l与抛物线y2=8x有两个不同的交点A和B；（2）线段AB被直线l1：x+5y﹣5=0垂直平分．若不存在，说明理由，若存在，求出直线l的方程．‎ ‎17．如图，设点F1（﹣c，0）、F2（c，0）分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且最小值为0．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若动直线l1，l2均与椭圆C相切，且l1∥l2，试探究在x轴上是否存在定点B，点B到l1，l2的距离之积恒为1？若存在，请求出点B坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河北省石家庄二中高二（上）10月月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每题5分，共50分）‎ ‎1．点A（a，1）在椭圆的内部，则a的取值范围是（　　）‎ A． B． C．（﹣2，2） D．（﹣1，1）‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】将点A代入椭圆方程可得+＜1，解不等式可得a的范围．‎ ‎【解答】解：点A（a，1）在椭圆的内部，‎ 即为+＜1，‎ 即有a2＜2，‎ 解得﹣＜a＜，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎2．方程mx2﹣my2=n中，若mn＜0，则方程的曲线是（　　）‎ A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线 C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的双曲线 ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】将方程的右边化成等于1的形式，得到，再根据mn＜0对照两个分母的符号，化成即得双曲线的标准形式，得到本题答案．‎ ‎【解答】解：∵mx2﹣my2=n中，∴两边都除以n，得 ‎∵mn＜0，得＜0，可得曲线的标准方程形式是，（﹣＞0）‎ ‎∴方程mx2﹣my2=n表示的曲线是焦点在y轴上的双曲线 故选：D ‎　‎ ‎3．若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的虚轴长是（　　）‎ A．2 B．1 C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由题设知b=，b==，由此可求出双曲线的虚轴长．‎ ‎【解答】解：双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于=b，‎ ‎∵双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，‎ ‎∴b=，‎ ‎∴b==，‎ ‎∴b=1，‎ ‎∴该双曲线的虚轴长是2．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎4．已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=（　　）‎ A．3 B．6 C．9 D．12‎ ‎【考点】圆锥曲线的综合；直线与圆锥曲线的关系．‎ ‎【分析】利用椭圆的离心率以及抛物线的焦点坐标，求出椭圆的半长轴，然后求解抛物线的准线方程，求出A，B坐标，即可求解所求结果．‎ ‎【解答】解：椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点（c，0）与抛物线C：y2=8x的焦点（2，0）重合，‎ 可得c=2，a=4，b2=12，椭圆的标准方程为：，‎ 抛物线的准线方程为：x=﹣2，‎ 由，解得y=±3，所以a（﹣2，3），B（﹣2，﹣3）．‎ ‎|AB|=6．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．若AB过椭圆 +=1中心的弦，F1为椭圆的焦点，则△F1AB面积的最大值为（　　）‎ A．6 B．12 C．24 D．48‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】先设A的坐标（x，y）则根据对称性得：B（﹣x，﹣y），再表示出△F1AB面积，由图知，当A点在椭圆的顶点时，其△F1AB面积最大，最后结合椭圆的标准方程即可求出△F1AB面积的最大值．‎ ‎【解答】解：设A的坐标（x，y）则根据对称性得：B（﹣x，﹣y），‎ 则△F1AB面积S=OF×|2y|=c|y|．‎ ‎∴当|y|最大时，△F1AB面积最大，‎ 由图知，当A点在椭圆的顶点时，其△F1AB面积最大，‎ 则△F1AB面积的最大值为：cb=×4=12．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎6．已知点P在抛物线y2=4x上，定点M（2，3），则点P到点M的距离和到直线l：x=﹣1的距离之和的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．3‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】先根据抛物线方程求出准线方程与焦点坐标，根据点A在抛物线外可得到|PAM+d的最小值为|MF|，再由两点间的距离公式可得答案．‎ ‎【解答】解：∵抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣1，焦点F坐标（1，0）‎ 因为点M（2，3），在抛物线外，根据抛物线的定义可得 ‎|PM|+d的最小值为|MF|==‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎7．若椭圆=1与双曲线=1有相同的焦点F1、F2，P是这两条曲线的一个交点，则△F1PF2的面积是（　　）‎ A．4 B．2 C．1 D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】不妨设P为双曲线右支上的点，由椭圆的定义可得，PF1+PF2=4，由双曲线的定义，可得，PF1﹣PF2=2，解方程，再判断三角形PF1F2为直角三角形，由面积公式即可得到．‎ ‎【解答】解：不妨设P为双曲线右支上的点，‎ 由椭圆的定义可得，PF1+PF2=4，‎ 由双曲线的定义，可得，PF1﹣PF2=2，‎ 解得PF1=2+，PF2=2﹣，‎ F1F2=2，‎ 由于（2）2+（2﹣）2=（2）2，‎ 则三角形PF1F2为直角三角形，‎ 则面积为： =1，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎8．一动圆P过定点M（﹣4，0），且与已知圆N：（x﹣4）2+y2=16相切，则动圆圆心P的轨迹方程是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【考点】双曲线的标准方程．‎ ‎【分析】动圆圆心为P，半径为r，已知圆圆心为N，半径为4 由题意知：PM=r，PN=r+4，所以|PN﹣PM|=4，即动点P到两定点的距离之差为常数4，P在以M、C为焦点的双曲线上，且2a=4，2c=8，从而可得动圆圆心P的轨迹方程．‎ ‎【解答】解：动圆圆心为P，半径为r，已知圆圆心为N，半径为4 由题意知：PM=r，PN=r+4，‎ 所以|PN﹣PM|=4，‎ 即动点P到两定点的距离之差为常数4，P在以M、C为焦点的双曲线上，且2a=4，2c=8，‎ ‎∴b=2，‎ ‎∴动圆圆心M的轨迹方程为：．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．已知c是椭圆的半焦距，则的取值范围是（　　）‎ A．（1，+∞） B． C．（1，） D．（1，]‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】利用椭圆的中心、一个短轴的顶点、一个焦点构成一个直角三角形，运用勾股定理、基本不等式，直角三角形的2个直角边之和大于斜边，便可以求出式子的范围．‎ ‎【解答】解：椭圆的中心、一个短轴的顶点、一个焦点构成一个直角三角形，两直角边分别为 b、c，斜边为a，‎ 由直角三角形的2个直角边之和大于斜边得：b+c＞a，‎ ‎∴＞1，‎ 又∵=≤=2，‎ ‎∴1＜≤，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎10．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（　　）‎ A． B．3 C． D．2‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】求得直线PF的方程，与y2=8x联立可得x=1，利用|QF|=d可求．‎ ‎【解答】解：设Q到l的距离为d，则|QF|=d，‎ ‎∵=4，‎ ‎∴|PQ|=3d，‎ ‎∴不妨设直线PF的斜率为﹣=﹣2，‎ ‎∵F（2，0），‎ ‎∴直线PF的方程为y=﹣2（x﹣2），‎ 与y2=8x联立可得x=1，‎ ‎∴|QF|=d=1+2=3，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，共25分）‎ ‎11．抛物线y=4x2的准线方程为　　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】先把抛物线方程整理成标准方程，进而求得p，再根据抛物线性质得出准线方程．‎ ‎【解答】解：整理抛物线方程得x2=y，∴p=‎ ‎∵抛物线方程开口向上，‎ ‎∴准线方程是y=﹣‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎12．已知双曲线x2﹣=1（b＞0）的焦距为4，则b=　　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据双曲线的方程和焦距求出a、c，由c2=a2+b2求出b的值．‎ ‎【解答】解：由得，a=1，‎ 因焦距为4，则c=2，所以b==，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎13．已知两定点M（﹣1，0），N（1，0），直线l：y=﹣2x+3，在l上满足|PM|+|PN|=4的点P有　2　个．‎ ‎【考点】两点间的距离公式．‎ ‎【分析】运用椭圆的定义可得，点P的轨迹方程是=1，把=﹣2x+3代入=1，由判别式大于0，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由椭圆的定义可知，点P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其方程是=1，‎ 把y=﹣2x+3代入=1，并整理得，19x2﹣48x+24=0，由△=（﹣48）2﹣4×19×24＞0，‎ ‎∴在l上满足|PM|+|PN|=4的点P有2个．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎14．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的右焦点为F．短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y=0交椭圆E于A，B两点．若|AF|+|BF|=4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是　　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】如图所示，设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，可得4=|AF|+|BF|=|AF′|+|BF|=2a．取M（0，b），由点M到直线l的距离不小于，得到关于b的不等式，求出b的范围．再利用离心率计算公式e=即可得出．‎ ‎【解答】解：如图所示，‎ 设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，‎ ‎∴4=|AF|+|BF|=|AF′|+|AF|=2a，∴a=2．‎ 取M（0，b），∵点M到直线l的距离不小于，‎ ‎∴≥，解得b≥1．‎ ‎∴e==≤=．‎ ‎∴椭圆E的离心率的取值范围是（0，]．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．已知点P为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△F1PF2的内心，若2（S﹣S）=S，则该双曲线的离心率是　2　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由I为△F1PF2的内心，可知I到三角形三边距离都相等，由2（﹣）=，根据三角形的面积公式可得2（丨PF1丨•r﹣丨PF2丨•r）=丨F1F2丨•r，求得2（丨PF1丨﹣丨PF2丨）=丨F1F2丨，根据双曲线的定义可得：丨PF1丨﹣丨PF2丨=2a，丨F1F2丨=2c，则c=2a，利用离心率公式e=即可求得双曲线的离心率．‎ ‎【解答】解：∵I为△F1PF2的内心，‎ ‎∴I到三角形三边距离都相等，设内切圆半径r，‎ ‎∴2（﹣）=，‎ ‎∴2（丨PF1丨•r﹣丨PF2丨•r）=丨F1F2丨•r，‎ ‎2（丨PF1丨﹣丨PF2丨）=丨F1F2丨，‎ ‎∵丨PF1丨﹣丨PF2丨=2a，丨F1F2丨=2c，‎ ‎∴2a=c，即c=2a，‎ ‎∴离心率e==2，‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ 三、解答题（16题10分，17题15分，共25分）‎ ‎16．是否存在同时满足下列两条件的直线l：（1）l与抛物线y2=8x有两个不同的交点A和B；（2）线段AB被直线l1：x+5y﹣5=0垂直平分．若不存在，说明理由，若存在，求出直线l的方程．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】假设存在，设出点的坐标，联立方程可表示出AB的斜率，根据已知条件确定直线AB的斜率，进而求得y1+y2的值，则AB的中点的纵坐标可求，带入直线求得x，进而求得直线AB的方程．‎ ‎【解答】解：假定在抛物线y2=8x上存在这样的两点A（x1，y1），B（x2，y2）．‎ 则有： ‎ ‎∵线段AB被直线l1：x+5y﹣5=0垂直平分，且，‎ ‎∴kAB=5，即．‎ 设线段AB的中点为．‎ 代入x+5y﹣5=0得x=1．‎ ‎∴AB中点为．故存在符合题设条件的直线，其方程为：．‎ ‎　‎ ‎17．如图，设点F1（﹣c，0）、F2（c，0）分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且最小值为0．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若动直线l1，l2均与椭圆C相切，且l1∥l2，试探究在x轴上是否存在定点B，点B到l1，l2的距离之积恒为1？若存在，请求出点B坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（1）设P（x，y），可得向量坐标关于x、y的形式，从而得到，结合点P为椭圆C上的点，化简得，说明最小值为1﹣c2=0，从而解出a2=2且b2=1，得到椭圆C的方程．‎ ‎（2）当直线l1，l2斜率存在时，设它们的方程为y=kx+m与y=kx+n，与椭圆方程联解并利用根的判别式列式，化简得m2=1+2k2且n2=1+2k2，从而得到m=﹣n．再假设x轴上存在B（t，0），使点B到直线l1，l2的距离之积为1，由点到直线的距离公式列式，并化简去绝对值整理得k2（t2﹣3）=2或k2（t2﹣1）=0，再经讨论可得t=±1，得B（1，0）或B（﹣1，0）．最后检验当直线l1，l2斜率不存在时，（1，0）或（﹣1，0）到直线l1，l2的距离之积与等于1，从而得到存在点B（1，0）或B（﹣1，0），满足点B到l1，l2的距离之积恒为1．‎ ‎【解答】解：（1）设P（x，y），则有，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎∴‎ ‎∵点P在椭圆C上，可得，可得y2=x2，‎ ‎∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 因此，最小值为1﹣c2=0，解之得c=1，可得a2=2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎∴椭圆C的方程为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎（2）①当直线l1，l2斜率存在时，设其方程为y=kx+m，y=kx+n﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 把l1的方程代入椭圆方程，得（1+2k2）x2+4mkx+2m2﹣2=0‎ ‎∵直线l1与椭圆C相切，‎ ‎∴△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）=0，化简得m2=1+2k2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 同理可得n2=1+2k2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎∴m2=n2，而若m=n则l1，l2重合，不合题意，因此m=﹣n﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 设在x轴上存在点B（t，0），点B到直线l1，l2的距离之积为1，‎ 则，即|k2t2﹣m2|=k2+1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 把1+2k2=m2代入，并去绝对值整理，可得k2（t2﹣3）=2或k2（t2﹣1）=0，而前式显然不能恒成立；‎ 因而要使得后式对任意的k∈R恒成立 必须t2﹣1=0，解之得t=±1，得B（1，0）或B（﹣1，0）；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎②当直线l1，l2斜率不存在时，其方程为和，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 定点（﹣1，0）到直线l1，l2的距离之积为；定点（1，0）到直线l1，l2的距离之积为，也符合题意．‎ 综上所述，满足题意的定点B为（﹣1，0）或（1，0）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎　‎ ‎2016年11月22日