数学文卷·2018届内蒙古赤峰市高三上学期期末考试 9页

‎2018年赤峰市高三期末考试试卷 文科数学 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合,则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 在复平面内,复数对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3. 已知向量,，若与共线,则实数的值是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4. 如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5. 函数的大致图象为（ ）‎ A.B.C.D.‎ ‎ ‎ ‎6. 《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有女不善织,日减功迟,初日织五尺,末日织一尺,今共织九十尺,问织几日?”,已知“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布,则此问题的答案是（ ）‎ A．25日 B．40日 C. 35日 D．30日 ‎7. 在一次连环交通事故中,只有一个人需要负主要责任,但在警察询问时,甲说:“主要责任在乙”；乙说:“丙应负主要责任”；丙说“甲说的对”；丁说:“反正我没有责任”,四人中只有一个人说的是真话,则该事故中需要负主要责任的人是（ ）‎ A．甲 B．乙 C. 丙 D．丁 ‎8. 将函数的图象向右平移个单位后得到函数,则具有性质（ ）‎ A．图像关于直线对称 B．在上是减函数 ‎ C. 最小正周期是 D．在上是偶函数 ‎9. 若变量满足约束条件,,则的最大值为（ ）‎ A．0 B．2 C. 3 D．4‎ ‎10. 一个长方体被一平面截去一部分后,所剩几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）‎ A．36 B．48 C.64 D．72‎ ‎11. 已知是双曲线的左、右焦点,点在的渐近线上, 且与轴垂直, ,则的离心率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12. 定义在上的函数满足,且对于任意,都有,则不等式的解集为（ ）‎ A． B． C. D．‎ 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13. 将一颗骰子掷两次,则第一次出现的点数是第二次出现的点数的2倍的概率为 ．‎ ‎14. 以等腰三角形的底边上的高为折痕,把和折成互相垂直的两个平面,则下列四个命题:‎ ‎①； ②为等腰直角三角形；‎ ‎③三棱锥是正三棱锥； ④平面平面；‎ 其中正确的命题有 ．(把所有正确命题的序号填在答题卡上)‎ ‎15. 已知直线与抛物线相交于两点,与轴相交于点,若,则 ．‎ ‎16. 若数列中, , , ,则 ．‎ 三、解答题 :共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。第题为必考题,每个试题考生都必须作答,第题为选考题,考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17. 在中,分别是角所对的边,已知, ,且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若,且的面积为,求的值.‎ ‎18. ‎2017年5月14日,第一届“一带一路”国际高峰论坛在北京举行,为了解不同年龄的人对“一带一路”关注程度,某机构随机抽取了年龄在岁之间的100人进行调查,并按年龄绘制成频率分布直方图,如图所示,其分组区间为:, ,,,,.把年龄落在区间和内的人分别称为“青少年”和“中老年”.‎ ‎(1)根据频率分布直方图求样本的中位数(保留两位小数)和众数 ‎(2)根据已知条件完成下面的2×2列联表,并判断能否有99%的把握认为关注“带一路”是否和年龄段有关?‎ 关注 不关注 合计 青少年 ‎15‎ 中老年 合计 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ 附:参考公式，其中 临界值表：‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎19. 如图,在四棱锥中,棱底面,且,,, 是的中点.‎ ‎(1)求证:平面；‎ ‎(2)求三棱锥的体积.‎ ‎20. 已知是椭圆的左、右焦点,点在椭圆 上,且离心率为 ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)若的角平分线所在的直线与椭圆的另一个交点为为椭圆上的一点,当面积最大时,求点的坐标.‎ ‎21. 已知函数，‎ ‎(1)若,求函数的极值及单调区间；‎ ‎(2)若在区间上至少存在一点,使成立,求实数的取值范围.‎ ‎(二)选考题:共10分.请考生在第22、23二题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.‎ ‎22.选修4-4：极坐标系与参数方程(10分)‎ 在直角坐标系中,曲线的参数方程为 (为参数),将曲线上各点的横坐标都缩短为原来的倍,纵坐标坐标都伸长为原来的倍,得到曲线, 在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位,且以原点为极点,以轴非负半轴为极轴)中,直线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求直线和曲线的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的最大值.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲(10分)‎ 已知函数的最小值为 ‎(1)求实数的值；‎ ‎(2)若,且,求证:.‎ ‎2018年赤峰市高三期末考试试卷 文科数学参考答案 一、选择题 ‎1-5:ACBCC 6-10:DABDB 11、12：DA 二、填空题 ‎13. 14. ①② 15.3 16.‎ 三、解答题 ‎17. 解析:(1)由题意,‎ 根据正弦定理得:,即 所以,利用辅助角公式得，‎ 又因为,所以 ‎(2)由题意,且,得，又因为在中,由余弦定理有：‎ ‎，即，所以 即又∵，∴‎ ‎18. 解:(1)根据频率分布直方图可知样本的众数为40,因为 设样本的中位数为,则,所以,即样本的中位数为36.43.‎ ‎(2)依题意知,抽取的“青少年”共有人,“中老年人”共有人,完成列联表如下：‎ 关注 不关注 合计 青少年 ‎15‎ ‎30‎ ‎45‎ 中老年 ‎35‎ ‎20‎ ‎55‎ 合计 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ 结合数据得，‎ 因为，，所以有的把握认为关注“一带一路” 和年龄段有关.‎ ‎19. (1)证明:取中点,连接,∵底面,底面,,且 平面,又平面,所以.‎ 又∵,H为PB的中点, ,又,平面,在中,分别为中点, ,又, ,‎ ‎，∴四边形是平行四边形,∴、平面.‎ ‎(2)解:由(1)知,，∴,又,且,‎ 平面,是三棱锥的高,又可知四边形为矩形,且, ,所以.‎ 另解:是的中点,∴到平面的距离是到平面的距离的一半，‎ 所以.‎ ‎20. 解:(1)由椭圆经过点,离心率,可得,解得 ‎,所以椭圆的标准方程为 ‎(2)由(1)可知,则直线的方程,即 直线的方程,由点A在椭圆上的位置易知直线的斜率为正数，‎ 设为直线上任意一点,则，解得或 ‎ (斜率为负数,舍去)‎ 直线的方程为,设过点且平行于的直线为 由,整理得 由,解得,因为为直线在轴上的截距,依题意, ,故 解得，，所以点的坐标为 ‎21. 解:(1)当时, ,令,解得,又函数的定义域为,由,得,由,得,所以时，有极小值,无极大值，所以的单调递增区间为，单调递减区间为 ‎(2)若在区间上存在一点,使得成立,即在区间上的最小值小于0.,且,令,得到 当,即时,恒成立,即在区间上单调递减故 在区间上的最小值为，‎ 由,得,,当即时，‎ ‎①若,则对成立,所以在区间上单调递减 则在区间 上的最小值为,‎ 显然,在区间的最小值小于0不成立.②若,即时,则有 ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 极小值 所以在区间上的最小值为,由 ‎,得,解得,即，‎ 综上,由①②可知,符题意.‎ ‎22. 选修4-4:坐标系与参数方程 解:(1)因为直线的极坐标方程为,所以有 ‎，即直线的直角坐标方程为:‎ 因为曲线的的参数方程为(为参数),经过变换后为(为参数)‎ 所以化为直角坐标方程为:‎ ‎(2)因为点在曲线上,故可设点的坐标为，‎ 从而点到直线的距离为 由此得,当时,取得最大值,且最大值为 ‎23. 选修4-5不等式选讲 解:(1)因为,当且仅当,‎ 即时取等号,所以的最小值为3,于是 ‎(2)由(1)知,且,由柯西不等式得