广西师师范大学附属中学2021届高三数学（理）上学期第三次月考试题（Word版含答案） 8页

广西师范大学附属2021届高三年级第三次月考 ‎（数学-理科）‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|x2≤4}，则A∪B＝‎ A．(-∞，-2] B．(-∞，2] C．[2，+∞) D．[-2，+∞)‎ ‎2．|(1+2i)(1-i)|＝‎ A． B．‎3 C． D．2‎ ‎3．随着电子商务的快速发展，快递服务已经成为人们日常生活中必不可少的部分．国家邮政局数据显示，我国快递业务量已连续6年居世界榜首，下图是我国2011—2019年的快递业务量（单位：亿件）及增速情况，则以下说法正确的是 A．2012—2019年我国快递业务量的增速逐年减少 B．2013—2014年我国快递业务量的增速最大 C．2019年我国快递业务量比2015年大约增长300%‎ D．2019年我国快递业务量比2014年增加了495.6亿件 ‎4．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3+‎3a1＝‎5a2，则数列{an}的公比为 A． B． C．2 D．‎ ‎5．五铢钱是一种中国古铜币，奠定了中国硬通货铸币圆形方孔的传统，这种钱币外圆内方，象征着天地乾坤．如图是一枚西汉五铢钱币，其直径为2.5厘米．现向该钱币上随机投掷一点，若该点落在方孔内的概率为，则该五铢钱的穿宽（即方孔边长）为 A．0.8厘米 B．1厘米 C．1.1厘米 D．1.2厘米 ‎6．已知a＞0，b＞0，‎4a+b+2＝2ab，则下列不等式一定成立的是 A．a+b≥7 B．a+b≤‎5 C．‎2a+b≥7 D．‎2a+b≤6‎ ‎7．已知某锥体的三视图如图所示，其中侧视图为等边三角形，则该锥体的体积为 A． B．‎3 C． D．‎ ‎8．将函数的图象向左平移个单位后的图形关于原点对称，则函数f(x)在上的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．某集团军接到抗洪命令，紧急抽调甲、乙、丙、丁四个专业抗洪小组去A，B，C，D四地参加抗洪抢险．其中甲不去A地也不去B地，乙与丙不去A地也不去D地，如果乙不去B地，那么丁不去A地，则去D地的是 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎10．已知函数的定义域为[0，m]，值域为，则实数m的最大值为 A．π B． C． D．‎ ‎11．已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，点M，N分别在抛物线C上．若，则点M到y轴的距离为 A． B． C． D．1‎ ‎12．已知f(x)是定义在R上的连续函数，f′(x)是f(x)的导函数，且f(x)-f(-x)+4x＝0．若当x＞0时，f′(x)＞-2，则不等式f(x-2)-f(x)＞4的解集为 A．(-∞，-1) B．(-∞，1) C．(-1，+∞) D．(1，+∞)‎ 二、填空题 ‎13．已知向量，，则的值为__________．‎ ‎14．已知双曲线C：的右焦点为F，左顶点为A，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为M．若，则C的离心率为__________．‎ ‎15．已知递增等差数列{an}，其前n项和为Sn，，则当公差d的值为__________时，‎ S13的最小值为__________．‎ ‎16．设m≠-1，函数则使得成立的实数m的个数为__________．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题 ‎17．已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．‎ ‎（1）求C；‎ ‎（2）若a＝6，c＝b+4，求△ABC的面积．‎ ‎18．已知某校共有1000名学生参加体能达标测试，现从中随机抽取100名学生的成绩，将他们的测试成绩（满分：100分）分为6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，得到如下频数分布表．‎ 成绩/分 ‎[40，50)‎ ‎[50，60)‎ ‎[60，70)‎ ‎[70，80)‎ ‎[80，90)‎ ‎[90，100]‎ 频数 ‎10‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎（1）求这100名学生的体能测试平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．‎ ‎（2）在这100名学生中，规定：测试成绩不低于80分为“优秀”，成绩低于80分为“非优秀”．请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为体能测试成绩是否优秀与性别有关？‎ 优秀 非优秀 总计 男生 ‎30‎ 女生 ‎50‎ 总计 ‎（3）根据样本数据，可认为该校全体学生的体能测试成绩X近似服从正态分布N(μ，14.312)，其中μ近似为样本平均数，则这1000名学生中体能测试成绩不低于84.81分的估计有多少人？‎ 参考公式及数据：X～N(μ，σ2)，P(μ-σ≤X＜μ+σ)≈0.6827，P(μ-2σ≤X＜μ+2σ)≈0.9545；‎ ‎，其中n＝a+b+c+d．‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎19．四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，DC＝AD＝1，AB＝2，∠PAD＝45°，E是PA的中点，F在线段AB上，且满足．‎ ‎（Ⅰ）求证：DE∥平面PBC；‎ ‎（Ⅱ）求二面角F-PC-B的余弦值；‎ ‎20．已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B，离心率为，P是C上异于A，B的动点．‎ ‎（1）证明：直线AP，BP的斜率之积为定值，并求出该定值．‎ ‎（2）设，直线AP，BP分别交直线l：x＝3于M，N两点，O为坐标原点，试问：在x轴上是否存在定点T，使得O，M，N，T四点共圆？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎21．已知函数f(x)＝(x-1)ex-b．‎ ‎（1）求f(x)的单调区间；‎ ‎（2）设a＞0，若函数g(x)＝f(x)-ax在区间[0，+∞)上有一个零点x0，求a2+4b的最小值以及此时x0的值．‎ ‎（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22．[选修4—4：坐标系与参数方程]‎ 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，a＞0．‎ ‎（1）求l的普通方程和C的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点P(0，-2)，l与C交于A，B两点，，求a的值．‎ ‎23．[选修4—5：不等式选讲]‎ 已知函数．‎ ‎（1）若f(x)≥a对任意x∈[1，+∞)恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎（2）证明：f(x)+x2-2x＞3．‎ ‎10月22日月考数学试题参考答案 ‎1-12题：DADCB CDBAA DB ‎13．5 14． 15．1，13 16．1‎ ‎17．解：（1）由已知及正弦定理得 ， 所以 ‎，即． 因为sin A≠0，所以， 所以． 又因为C∈(0，π)，所以． 所以△ABC的面积．‎ ‎18．解：（1）由题意得这100名学生的体能测试平均成绩为 ‎．‎ ‎（2）在抽取的100名学生中，测试成绩优秀的有25人，由此可得完整的2×2列联表：‎ 优秀 非优秀 总计 男生 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 女生 ‎5‎ ‎45‎ ‎50‎ 总计 ‎25‎ ‎75‎ ‎100‎ K2的观测值， 故有99.9%的把握认为体能测试成绩是否优秀与性别有关．‎ ‎（3）依题意，X服从正态分布N(70.5，14.312)， P(μ-σ≤X＜μ+σ)＝P(56.19≤X＜84.81)≈0.6827， ， 所以这1000人中体能测试成绩不低于84.81分的人数估计为0.15865×1000≈159．‎ ‎19．（1）证明：∵由题意可得DA，DC，DP两两互相垂直，∴如图，以D为原点，DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系D-xyz，∴A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(0，1，0)，P(0，0，1)，，∵设平面PBC的法向量为，∴，， ，∴， 令y＝1，∴，又∵‎ ‎，∴，∴，∵DE不在平面PBC内，∴DE∥平面PBC；‎ ‎（2）解：∵设F(1，t，0)，∴，， 由，∴，∴，∴，∵设平面FPC的法向量为，由，∴，∴，令x＝1，∴∴，∴‎ ‎，又∵由图可知，该二面角为锐二面角，∴二面角F-PC-D的余弦值为；‎ ‎20．（1）证明：由题意知A(-a，0)，B(a，0)， 设P(x0，y0)，y0≠0，则， 所以直线AP与BP的斜率之积 ‎， 即直线AP，BP的斜率之积为定值．‎ ‎（2）解：存在．理由如下： 由题意知，得． 因为，所以，所以b2＝1， 所以椭圆C的方程为． 设直线AP的方程为， 则直线BP的方程为． 联立可得， 同理可得． 假设△MNO的外接圆恒过定点T(t，0)，t≠0， 因为线段MN的垂直平分线所在直线的方程为， 线段OT的垂直平分线所在直线的方程为， 所以圆心． 又|OE|＝|ME|， 所以， 解得 ‎． 所以存在定点，使得O，M，N，T四点共圆．‎ ‎21．解：（1）因为f(x)＝(x-1)ex-b，所以f′(x)＝xex． 当x∈(-∞，0)时，f′(x)＜0，f(x)‎ 单调递减； 当x∈(0，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增； 所以f(x)的单调递减区间为(-∞，0)，单调递增区间为(0，+∞)．‎ ‎（2）g(x)＝(x-1)ex-ax-b，则g′(x)＝xex-a． 因为a＞0，存在x0＞0，使g′(x0)＝0，即，且g(x)在区间[0，x0]上单调递减，在区间[x0，+∞)上单调递增． 因为g(x)在区间[0，+∞)上有一个零点， 所以， 解得 ‎， 因此． 设h(x)＝x2e2x-4(x2-x+1)ex， 则h′(x)＝2(x2+x)ex(ex-2)， 所以h(x)在区间[0，ln 2]上单调递减，在区间[ln 2，+∞)上单调递增， 所以h(ln 2)＜h(0)＝-4， h(x)≥h(ln 2)＝-4(ln 2)2+8ln 2-8． 所以当a＝2ln 2，b＝-2(ln 2)2+2ln 2-2时， a2+4b取到最小值-4(ln 2)2+8ln 2-8， 此时x0＝ln 2．‎ ‎22．解：（1）由（t为参数）， 消去t，得直线l的普通方程为x-y-2＝0． 由，得(ρsin θ)2＝4aρcos θ， 令ρsin θ＝y，ρcos θ＝x， 则C的直角坐标方程为y2＝4ax(a＞0)．‎ ‎（2）易知点P在直线l上，设直线l的参数方程为（m为参数）， 代入曲线C的方程y2＝4ax， 得． 设A，B对应的参数分别为m1，m2， 则 所以，解得a＝1，满足Δ＞0． 所以a的值为1．‎ ‎23．（1）解：当x≥1时，． 当时，在区间[1，2)上单调递减，在区间上单调递增，此时f(x)min＝f(2)＝4； 当时，在区间上单调递增， 此时． 综上，当x∈[1，+∞)时，f(x)min＝4， 所以a≤4，即a的取值范围为(-∞，4]．‎ ‎（2）证明：因为， 当且仅当 时，等号成立． 又， 当且仅当x＝2或-2时，等号成立， 所以f(x)≥4，当且仅当x＝2或-2时，等号成立． 又x2-2x＝(x-1)2-1≥-1，当且仅当x＝1时取等号， 所以f(x)+x2-2x＞3．‎