• 2.59 MB
  • 2021-06-11 发布

宁夏回族自治区银川一中2020届高三模拟考试数学(理)试题

  • 23页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
‎2020年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题卷 注意事项:‎ ‎1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.‎ ‎2.作答时,务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.‎ ‎3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若复数满足,则对应的点位于复平面的( )‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数模的计算、复数的除法化简复数,再根据复数的几何意义,即可得答案;‎ ‎【详解】,‎ 对应的点,‎ 对应的点位于复平面的第四象限.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查复数模的计算、复数的除法、复数的几何意义,考查运算求解能力,属于基础题.‎ ‎2.设集合,,则集合 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出集合和它的补集,然后求得集合的解集,最后取它们的交集得出结果.‎ ‎【详解】对于集合A,,解得或,故.对于集合B,,解得.故.故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法,考查对数不等式的解法,考查集合的补集和交集的运算.对于有两个根的一元二次不等式的解法是:先将二次项系数化为正数,且不等号的另一边化为,然后通过因式分解,求得对应的一元二次方程的两个根,再利用“大于在两边,小于在中间”来求得一元二次不等式的解集.‎ ‎3.已知命题p:直线a∥b,且b⊂平面α,则a∥α;命题q:直线l⊥平面α,任意直线m⊂α,则l⊥m.下列命题为真命题的是( )‎ A. p∧q B. p∨(非q) C. (非p)∧q D. p∧(非q)‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先判断出为假命题、为真命题,然后结合含有简单逻辑联结词命题的真假性,判断出正确选项.‎ ‎【详解】根据线面平行的判定,我们易得命题若直线,直线平面,则直线平面或直线在平面内,命题为假命题;‎ 根据线面垂直的定义,我们易得命题若直线平面,则若直线与平面内的任意直线都垂直,命题为真命题.‎ 故:A命题“”为假命题;B命题“”为假命题;C命题“”为真命题;D命题“”为假命题.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查线面平行与垂直有关命题真假性的判断,考查含有简单逻辑联结词的命题的真假性判断,属于基础题.‎ ‎4.已知向量,是单位向量,若,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设,根据题意求出值,代入向量夹角公式,即可得答案;‎ ‎【详解】设,,‎ 是单位向量,,‎ ‎,,‎ 联立方程解得:或 当时,;‎ 当时,;‎ 综上所述:.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查向量的模、夹角计算,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,求解时注意的两种情况.‎ ‎5.若,则的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用倍角公式、两角差的正弦进行化简,即可得到答案.‎ ‎【详解】,‎ ‎.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数恒等变换求值,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查运算求解能力.‎ ‎6.函数图象可能是( )‎ A B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导,判断导函数函数值的正负,从而判断函数的单调性,通过单调性判断选项.‎ ‎【详解】解:当时,,则,‎ ‎  若,,,‎ ‎  若,,,‎ ‎    则恒成立,‎ 即当时,恒成立,‎ 则在上单调递减, 故选:A.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的图象,可以通过函数的性质进行排除,属于中档题.‎ ‎7.如图,在底面边长为1,高为2的正四棱柱中,点是平面内一点,则三棱锥的正视图与侧视图的面积之和为( )‎ A. 2 B. ‎3 ‎C. 4 D. 5‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据几何体分析正视图和侧视图的形状,结合题干中的数据可计算出结果.‎ ‎【详解】由三视图的性质和定义知,三棱锥的正视图与侧视图都是底边长为高为的三角形,其面积都是,正视图与侧视图的面积之和为,‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查几何体正视图和侧视图面积和,解答的关键就是分析出正视图和侧视图的形状,考查空间想象能力与计算能力,属于基础题.‎ ‎8.抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为,则的值为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程,解得两交点,由三角形的面积公式,计算即可得到所求值.‎ ‎【详解】抛物线的准线为, 双曲线的两条渐近线为, 可得两交点为, 即有三角形的面积为,解得,故选A.‎ ‎【点睛】本题考查三角形的面积的求法,注意运用抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程,考查运算能力,属于基础题.‎ ‎9.《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈,葭生其中,出水两尺,引葭赴岸,适与岸齐,问水深,葭各几何?”,其意思是:有一个直径为一丈的圆柱形水池,池中心生有一颗类似芦苇的植物,露出水面两尺,若把它引向岸边,正好与岸边齐,问水有多深,该植物有多高?其中一丈等于十尺,如图若从该葭上随机取一点,则该点取自水下的概率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意知:,,设,则,在 中,列勾股方程可解得,然后由得出答案.‎ ‎【详解】解:由题意知:,,设,则 在中,列勾股方程得:,解得 所以从该葭上随机取一点,则该点取自水下的概率为 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了几何概型中的长度型,属于基础题.‎ ‎10.执行如图所示的程序框图,则输出的结果为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 循环依次为 ‎ 直至结束循环,输出 ‎,选D.‎ 点睛:算法与流程图的考查,侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念,包括选择结构、循环结构、伪代码,其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件,更要通过循环规律,明确流程图研究的数学问题,是求和还是求项.‎ ‎11.如图所示,在平面直角坐标系中,是椭圆的右焦点,直线与椭圆交于,两点,且,则该椭圆的离心率是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 联立直线方程与椭圆方程,解得和的坐标,然后利用向量垂直的坐标表示可得,由离心率定义可得结果.‎ ‎【详解】由,得,所以,.‎ 由题意知,所以,.‎ 因为,所以,所以.‎ 所以,所以,‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与椭圆的交点,考查了向量垂直的坐标表示,考查了椭圆的离心率公式,属于基础题.‎ ‎12.已知函数,当时,的取值范围为,则实数m的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导分析函数在时的单调性、极值,可得时,满足题意,再在时,求解的x的范围,综合可得结果.‎ ‎【详解】当时,,‎ 令,则;,则,‎ ‎∴函数在单调递增,在单调递减.‎ ‎∴函数在处取得极大值为,‎ ‎∴时,的取值范围为,‎ ‎∴‎ 又当时,令,则,即,‎ ‎∴‎ 综上所述,的取值范围为.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数分析函数值域的方法,考查了分段函数的性质,属于难题.‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.在一次医疗救助活动中,需要从A医院某科室的6名男医生、4名女医生中分别抽调3名男医生、2名女医生,且男医生中唯一的主任医师必须参加,则不同的选派案共有________‎ 种.(用数字作答)‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先选派男医生中唯一的主任医师,由题意利用排列组合公式即可确定不同的选派案方法种数.‎ ‎【详解】首先选派男医生中唯一的主任医师,‎ 然后从名男医生、名女医生中分别抽调2名男医生、名女医生,‎ 故选派的方法为:.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】解排列组合问题要遵循两个原则:一是按元素(或位置)的性质进行分类;二是按事情发生的过程进行分步.具体地说,解排列组合问题常以元素(或位置)为主体,即先满足特殊元素(或位置),再考虑其他元素(或位置).‎ ‎14.若x,y满足,且y≥−1,则3x+y的最大值_____‎ ‎【答案】5.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由约束条件作出可行域,令z=3x+y,化为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,把最优解的坐标代入目标函数得答案.‎ ‎【详解】由题意作出可行域如图阴影部分所示. ‎ 设,‎ 当直线经过点时,取最大值5.‎ 故答案为5‎ ‎【点睛】本题考查简单的线性规划,考查数形结合的解题思想方法,是中档题.‎ ‎15.在中,角所对的边分别为,,的平分线交于点D,且,则的最小值为________.‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ 分析:先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.‎ 详解:由题意可知,,由角平分线性质和三角形面积公式得,化简得,因此 当且仅当时取等号,则的最小值为.‎ 点睛:在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.‎ ‎16.棱长为的正四面体与正三棱锥的底面重合,若由它们构成的多面体 的顶点均在一球的球面上,则正三棱锥的内切球半径为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由棱长为的正四面体求出外接球的半径,进而求出正三棱锥的高及侧棱长,可得正三棱锥的三条侧棱两两相互垂直,进而求出体积与表面积,设内切圆的半径,由等体积,求出内切圆的半径.‎ ‎【详解】由题意可知:‎ 多面体的外接球即正四面体的外接球 作面交于,连接,如图 则,且为外接球的直径,可得 ‎,‎ 设三角形 的外接圆的半径为,则,解得,‎ 设外接球的半径为,则可得,‎ 即,解得,‎ 设正三棱锥的高为,‎ 因为,所以,‎ 所以,‎ 而,‎ 所以正三棱锥的三条侧棱两两相互垂直,‎ 所以,‎ 设内切球的半径为,,‎ 即解得:.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查多面体与球的内切和外接问题,考查转化与化归思想,考查空间想象能力、运算求解能力,求解时注意借助几何体的直观图进行分析.‎ 三、解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.‎ ‎(一)必考题:共60分 ‎17.已知数列的前项和为,且满足.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)若,,且数列前项和为,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由,可求,然后由时,可得,根据等比数列的通项可求 ‎(2)由,而,利用裂项相消法可求.‎ ‎【详解】(1)当时,,解得,‎ 当时,①‎ ‎②‎ ‎②①得,即,‎ 数列是以2为首项,2为公比的等比数列,‎ ‎;‎ ‎(2)‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查递推公式在数列的通项求解中的应用,等比数列的通项公式、裂项求和方法,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力.‎ ‎18.棉花的纤维长度是评价棉花质量的重要指标,某农科所的专家在土壤环境不同的甲、乙两块实验地分别种植某品种的棉花,为了评价该品种的棉花质量,在棉花成熟后,分别从甲、乙两地的棉花中各随机抽取20根棉花纤维进行统计,结果如下表:(记纤维长度不低于300的为“长纤维”,其余为“短纤维”)‎ 纤维长度 甲地(根数)‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎4‎ 乙地(根数)‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎10‎ ‎6‎ ‎(1)由以上统计数据,填写下面列联表,并判断能否在犯错误概率不超过0.025的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”.‎ 甲地 乙地 总计 长纤维 短纤维 总计 附:(1);‎ ‎(2)临界值表;‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎(2)现从上述40根纤维中,按纤维长度是否为“长纤维”还是“短纤维”采用分层抽样的方法抽取8根进行检测,在这8根纤维中,记乙地“短纤维”的根数为,求的分布列及数学期望.‎ ‎【答案】(1)在犯错误概率不超过的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”.(2)见解析 ‎【解析】‎ 试题分析:(1)可以根据所给表格填出列联表,利用列联表求出,结合所给数据,应用独立性检验知识可作出判断;(2)写出的所有可能取值,并求出对应的概率,可列出分布列并进一步求出的数学期望.试题解析:(Ⅰ)根据已知数据得到如下列联表:‎ 甲地 乙地 总计 长纤维 ‎9‎ ‎16‎ ‎25‎ 短纤维 ‎11‎ ‎4‎ ‎15‎ 总计 ‎20‎ ‎20‎ ‎40‎ 根据列联表中的数据,可得 所以,在犯错误概率不超过的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”. ‎ ‎(Ⅱ)由表可知在8根中乙地“短纤维”的根数为,‎ 的可能取值为:0,1,2,3, ‎ ‎,,‎ ‎,.‎ ‎∴ 的分布列为:‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎∴ .‎ ‎19.在底面为菱形的四棱柱中,平面.‎ ‎(1)证明:平面;‎ ‎(2)求二面角的正弦值.‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由已知可证,即可证明结论;‎ ‎(2)根据已知可证平面,建立空间直角坐标系,求出坐标,进而求出平面和平面的法向量坐标,由空间向量的二面角公式,即可求解.‎ ‎【详解】方法一:(1)依题意,且∴,‎ ‎∴四边形是平行四边形,∴,‎ ‎∵平面,平面,‎ ‎∴平面.‎ ‎(2)∵平面,∴,‎ ‎∵且为的中点,∴,‎ ‎∵平面且,‎ ‎∴平面,‎ 以为原点,分别以为轴、轴、轴的正方向,‎ 建立如图所示的空间直角坐标系,‎ 则,,,,‎ ‎∴‎ 设平面法向量为,‎ 则,∴,取,则.‎ 设平面的法向量为,‎ 则,∴,取,则.‎ ‎∴,‎ 设二面角的平面角为,则,‎ ‎∴二面角的正弦值为.‎ 方法二:(1)证明:连接交于点,‎ 因为四边形为平行四边形,所以为中点,‎ 又因为四边形为菱形,所以为中点,‎ ‎∴在中,且,‎ ‎∵平面,平面,‎ ‎∴平面 ‎(2)略,同方法一.‎ ‎【点睛】本题主要考查线面平行的证明,考查空间向量法求面面角,意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养,属于中档题.‎ ‎20.如图,点为圆:上一动点,过点分别作轴,轴的垂线,垂足分别为,,连接延长至点,使得,点的轨迹记为曲线.‎ ‎(1)求曲线的方程;‎ ‎(2)若点,分别位于轴与轴的正半轴上,直线与曲线相交于,两点,且,试问在曲线上是否存在点,使得四边形为平行四边形,若存在,求出直线方程;若不存在,说明理由.‎ ‎【答案】(1)(2)不存在;详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设,,,通过,即为的中点,转化求解,点的轨迹的方程.‎ ‎(2)设直线的方程为,先根据,可得,①,再根据韦达定理,点在椭圆上可得,②,将①代入②可得,该方程无解,问题得以解决 ‎【详解】(1)设,,则,,‎ 由题意知,所以为中点,‎ 由中点坐标公式得,即,‎ 又点在圆:上,故满足,得.‎ 曲线的方程.‎ ‎(2)由题意知直线的斜率存在且不为零,设直线的方程为,‎ 因为,故,即①,‎ 联立,消去得:,‎ 设,,‎ ‎,,‎ ‎,‎ 因为四边形为平行四边形,故,‎ 点在椭圆上,故,整理得②,‎ 将①代入②,得,该方程无解,故这样的直线不存在.‎ ‎【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法、满足条件的点是否存在的判断与直线方程的求法,考查数学转化思想方法,是中档题.‎ ‎21.已知函数,其中e为自然对数的底数.‎ ‎(1)讨论函数的单调性;‎ ‎(2)用表示中较大者,记函数.若函数在上恰有2个零点,求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】(1)函数的单调递增区间为和,单调递减区间为;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题可得,结合的范围判断的正负,即可求解;‎ ‎(2)结合导数及函数的零点的判定定理,分类讨论进行求解 ‎【详解】(1),‎ ‎①当时,,‎ ‎∴函数在内单调递增;‎ ‎②当时,令,解得或,‎ 当或时,,则单调递增,‎ 当时,,则单调递减,‎ ‎∴函数的单调递增区间为和,单调递减区间为 ‎(2)(Ⅰ)当时,所以在上无零点;‎ ‎(Ⅱ)当时,,‎ ‎①若,即,则是的一个零点;‎ ‎②若,即,则不是的零点 ‎(Ⅲ)当时,,所以此时只需考虑函数在上零点的情况,因为,所以 ‎①当时,在上单调递增。又,所以 ‎(ⅰ)当时,在上无零点;‎ ‎(ⅱ)当时,,又,所以此时在上恰有一个零点; ‎ ‎②当时,令,得,由,得;由,得,所以在上单调递减,在上单调递增,‎ 因为,,所以此时在上恰有一个零点,‎ 综上,‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求函数单调区间,考查利用导数处理零点个数问题,考查运算能力,考查分类讨论思想 ‎(二)选考题:共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.‎ ‎22.在平面直角坐标系中,曲线,曲线的参数方程为 ‎(为参数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求曲线、的极坐标方程;‎ ‎(2)在极坐标系中,射线与曲线,分别交于、两点(异于极点),定点,求的面积 ‎【答案】(1),;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先把参数方程化成普通方程,再利用极坐标的公式把普通方程化成极坐标方程;‎ ‎(2)先利用极坐标求出弦长,再求高,最后求的面积.‎ ‎【详解】(1)曲线的极坐标方程为: ,‎ 因为曲线的普通方程为: , ‎ 曲线的极坐标方程为;‎ ‎(2) 由(1)得:点的极坐标为, 点的极坐标为,‎ ‎,‎ 点到射线的距离为 ‎ 的面积为 .‎ ‎【点睛】本题考查普通方程、参数方程与极坐标方程之间的互化,同时也考查了利用极坐标方程求解面积问题,考查计算能力,属于中等题.‎ ‎23.设不等式的解集为M,.‎ ‎(1)证明:;‎ ‎(2)比较与的大小,并说明理由.‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析:‎ ‎(1)首先求得集合M,然后结合绝对值不等式的性质即可证得题中的结论;‎ ‎(2)利用平方做差的方法可证得|1-4ab|>2|a-b|.‎ 试题解析:‎ ‎(Ⅰ)证明:记f (x) =|x-1|-|x+2|,‎ 则f(x)= ,所以解得-<x<,故M=(-,).‎ 所以,||≤|a|+|b|<×+×=.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)得0≤a2<,0≤b2<.‎ ‎|1-4ab|2-4|a-b|2=(1-8ab+‎16a2b2)-4(a2-2ab+b2)=4(a2-1)(b2-1)>0.‎ 所以,|1-4ab|>2|a-b|.‎

相关文档