湖北省武汉市汉口北高中2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题 16页

www.ks5u.com 湖北省武汉市汉口北高中2019—2010年高一上学期 期末数学试题 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.函数的零点是（ ）‎ A. 1，2 B. -1，-2 C. （1，0）、（2，0） D. （-1，0）、（-2，0）‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令,求解即可.‎ ‎【详解】由题意,令,解得或,即函数的零点是1,2.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查函数零点的求法,利用解方程的方法是解决本题的关键,属于基础题.‎ ‎2.函数的图象与的图象的交点个数是（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当时,令,可得,问题可转化为直线与指数函数图象的交点个数;当时,构造函数,结合函数的单调性与零点存在性定理,可判断出函数在上存在唯一零点.‎ 详解】若,令,则,‎ 函数与的图象在上最多两个交点,‎ 又和都是方程的解,‎ 故时,函数的图象与的图象的交点个数是2;‎ 若,构造函数,显然函数在上单调递增,又,,即函数在上存在唯一零点.‎ 故时,函数的图象与的图象的交点个数是1.‎ 所以,函数的图象与的图象的交点个数是3.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查函数图象交点个数,考查了函数的图象性质,注意运用零点存在性定理,属于基础题.‎ ‎3.、所在象限分别是（ ）‎ A. 一、三 B. 二、四 C. 一、二 D. 二、三 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由,,进而判断所在象限,即可得出结论.‎ ‎【详解】由题意,,即在第二象限,‎ ‎,即在第三象限,‎ 故答案为:D.‎ ‎【点睛】本题考查了象限角的应用,利用终边相同的角的概念是解题的关键,属于基础题.‎ ‎4.如图所示，扇形OAB中，弦AB的长等于半径，则弦AB所对的圆心角的弧度数满足（ ）‎ A. B. ‎ C. D. 以上都不是 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由弦的长等于半径,可知是正三角形,进而可求得角的弧度数.‎ ‎【详解】由题意,,故是正三角形,即.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查圆心角,考查了扇形及正三角形的性质,属于基础题.‎ ‎5.已知角是第一象限角，则的终边位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第一或第二象限 D. 第一或第二象限或轴的非负半轴上 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由象限角可得到角的范围,进而可求得的范围,即可得出的终边所在位置.‎ ‎【详解】∵由角是第一象限角,∴可得,‎ ‎∴.‎ 即的终边位于第一或第二象限或轴的非负半轴上.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查了象限角,熟练利用角的范围是解题的关键,属于基础题.‎ ‎6.已知，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由,且,可求得的值.‎ ‎【详解】∵,且,‎ ‎∴.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值,注意角的范围,属于基础题.‎ ‎7.（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三角函数诱导公式,化简即可.‎ ‎【详解】由题意,.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的求值计算,注意三角函数的诱导公式的运用,属于基础题.‎ ‎8.为了得到函数的图象，可以把函数的图象（ ）‎ A. 横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的2倍 B. 横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标缩短到原来的倍 C. 横坐标缩短到原来的倍，纵坐标伸长到原来的倍 D. 横坐标缩短到原来的倍，纵坐标伸长到原来的2倍 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合三角函数图象的伸缩变换规律,可得到答案.‎ ‎【详解】把函数的图象横坐标缩短到原来的倍,纵坐标保持不变,得到的图象,然后将所得的图象横坐标保持不变,纵坐标伸长到原来的2倍,得到的图象.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数图象的伸缩变换,熟练掌握规律是解题的关键,属于基础题.‎ ‎9.已知角、，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合角的范围,及和的值,分别求出的值,再由,展开可求出答案.‎ ‎【详解】∵角,,∴,‎ 又,,‎ ‎∴,,‎ 所以,.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查了同角三角函数关系的运用,考查了两角和与差的正弦公式的运用,考查了学生的计算求解能力,利用是解题的关键,属于基础题.‎ ‎10.函数，的单调递减区间是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令,可求得函数的单调递减区间,进而取可求出答案.‎ ‎【详解】由题意,令,解得,‎ 取,得,‎ 则函数在的单调递减区间是.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的单调区间,利用正弦函数的单调性是解题的关键,属于基础题.‎ ‎11.函数在一个周期内的图象如图所示，且，则其解析式为（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合图象,可求出,和周期的值,再由,可求出的值,然后利用函数过点,可求出.‎ ‎【详解】由图象可知,,,‎ 周期,则,‎ 当时,,即,‎ 则,解得,‎ 取,得.‎ 故函数解析式为:.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数解析式的求法,利用图象性质是解题的关键,属于中档题.‎ ‎12.已知函数是奇函数，则的可能取值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 利用辅助角公式对函数化简,然后利用奇函数的性质,可求得的表达式,即可得出答案.‎ ‎【详解】由题意,,‎ ‎∵是奇函数,∴,‎ 则,即.‎ 当时,.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换,考查了奇函数的性质,考查了学生的计算求解能力,属于基础题.‎ 二、填空题：本大题共4小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.‎ ‎13.函数的最大值是_________，最小值是________.‎ ‎【答案】 (1). 5 (2). 1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合,可求出的范围,进而可求出答案.‎ ‎【详解】因,所以.‎ 即的最大值是5,最小值是1.‎ 故答案为:5;1.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的最值,利用的范围是解决本题的关键,属于基础题.‎ ‎14.等腰三角形一个底角的余弦为，那么这个三角形顶角的正弦值是__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设等腰三角形一个底角，则，可得顶角为，利用二倍角的余弦公式以及同角三角函数的关系可得结果.‎ ‎【详解】设等腰三角形一个底角，则，‎ 可得顶角为，‎ ‎，‎ ‎，故答案为.‎ ‎【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．‎ ‎15.已知函数的零点位于区间内，则实数的取值范围是________.‎ ‎【答案】（0,1）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合零点的概念,可得,然后由,可求得的取值范围,进而可得到的取值范围.‎ ‎【详解】由题意,令,得,‎ 因为,所以,故.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的零点,利用参变分离及对数函数的性质是解题的关键,属于基础题.‎ ‎16.已知关于的方程有两个解，则实数的取值范围是___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令,则问题可转化为函数与的图象有两个交点,分和两种情况讨论,并结合函数的图象可得出答案.‎ ‎【详解】由题意,令,则与的图象有两个交点,‎ 若,则,此时函数为上的增函数,显然与的图象不可能有两个交点.‎ 若,则,作出函数的图象,如下图,‎ 显然,当,即时,与的图象有两个交点.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查方程的解,转化为函数图象的交点个数,并利用数形结合是解决本题的关键,属于中档题.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知角的终边上有一点P的坐标是，其中.求,,的值.‎ ‎【答案】答案详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出,然后分和两种情况讨论,并结合三角函数的定义,可求得答案.‎ ‎【详解】由三角函数的定义,,‎ 当时,；‎ 当时,.‎ ‎【点睛】本题考查了任意角的三角函数的定义,考查了计算求解能力,属于基础题.‎ ‎18.已知，其中是第四象限角.‎ ‎（1）化简；‎ ‎（2）若，求,.‎ ‎【答案】（1）;（2），‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由,,可将原式的根号去掉,然后结合是第四象限角,可对原式进行化简;‎ ‎（2）结合（1）可求得的值,进而可求得,.‎ ‎【详解】（1） ,‎ ‎∵是第四象限角,∴，又,‎ ‎∴.‎ ‎（2）由（1）知,又,∴,‎ 即,解得,‎ ‎∵是第四象限角,∴,‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的化简与求值,熟练运用同角三角函数关系是解题的关键,属于基础题.‎ ‎19.已知函数.‎ ‎（1）用五点法画出该函数在区间的简图；‎ ‎（2）结合所画图象，指出函数在上的单调区间.‎ ‎【答案】（1）图像见详析;（2）函数在区间上的增区间为,,减区间为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将看作一个整体,结合,可取出关键点和端点,然后利用五点作图法可作出简图;‎ ‎（2）结合图象,判断出单调区间即可.‎ ‎【详解】（1）令,则,列表如下：‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎-2‎ 描点画图得函数在区间的简图如下：‎ ‎（2）由（1）中图象可知，‎ 函数在区间上的增区间为和,减区间为.‎ ‎【点睛】本题考查利用五点作图法画三角函数的图象,考查了三角函数的图象和性质,属于基础题.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎（1）求的最小正周期；‎ ‎（2）当时，求的最小值以及取得最小值是的值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)答案见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用倍角公式化简整理函数表达式，由周期．‎ ‎（2）先求解，由正弦函数图像求解最值．‎ ‎【详解】：‎ ‎(1)最小正周期为 ‎(2)由得，所以当 的最小值为.‎ 取最小值时的集合为 ‎【点睛】：三角函数在闭区间内上的最值问题的步骤：‎ ‎（1）换元，令，其中 ‎（2）画出三角函数的函数图像．‎ ‎（3）由图像得出最值．‎ ‎21.一种药在病人血液中的量保持在以上，才有疗效；而低于，病人就有危险．现给某病人的静脉注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，那么应在什么时候范围再向病人的血液补充这种药？（精确到）（参考数据：，，）‎ ‎【答案】应在用药小时后及小时前再向病人的血液补充药.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：先设未知数，再根据题意列出不等式，整理得指数不等式，再利用指数函数的单调性、指对关系，、换底公式和对数的运算性质，以及条件进行求解．‎ 试题解析：‎ 设应在病人注射这种药小时后再向病人的血液补充这种药， ‎ 依题意，可得， ‎ 整理，得，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 同理得， ‎ 解得：， ‎ 答：应在用药小时后及小时前再向病人的血液补充药．‎ ‎22.已知函数的零点位于区间.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）由二分法，在精确度为0.1的条件下，可以近似认为函数的零点可取内的每一个值，试求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）结合函数的单调性及零点存在性定理,易得在区间内有唯一零点,即可求得的值;‎ ‎（2）由是的零点,可得,进而,结合二次函数的性质,可求得答案.‎ ‎【详解】（1）∵在内单调递增,‎ 又,,‎ 由函数零点存在性定理可知,在区间内有唯一零点.‎ 又的零点位于内,‎ ‎∴.‎ ‎（2）∵是的零点,即,∴,‎ 由（1）知,则,‎ ‎∴,‎ ‎∵二次函数在区间上是减函数,‎ ‎,,‎ ‎∴函数在区间的值域为.‎ 故的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查了零点存在性定理的应用,考查了函数的单调性与值域,考查了学生的计算求解能力,属于中档题.‎ ‎ ‎