甘肃省兰州市2020届高三4月诊断考试数学（文）试题 11页

‎2020年兰州市高三诊断考试 数学（文科）‎ 注意事项：‎ ‎1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题纸上.‎ ‎2.本试卷满分150分，考试用时120分钟.答题全部在答题纸上完成，试卷上答题无效.‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知复数，则（ ）‎ A． B．‎5 ‎C．13 D．‎ ‎3.已知非零向量，给定，使得征，，则是的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4.若，则（ ）‎ A．4 B．‎3 ‎C． D．‎ ‎5.已知双曲线的一条渐近线过点，则它的离心率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6.已知集合，从中任选两个角，其正弦值相等的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表1所示，绘制相应的散点图，如图1所示：‎ 表1‎ 年份 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 羊只数量（万只）‎ ‎1.4‎ ‎0.9‎ ‎0.75‎ ‎0.6‎ ‎0.3‎ 草地植被指数 ‎1.1‎ ‎4.3‎ ‎15.6‎ ‎31.3‎ ‎49.7‎ 根据表1及图1得到以下判断：①羊只数量与草场植被指数成减函数关系；②若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为，去掉第一年数据后得到的相关系数为，则；③可以利用回归直线方程，准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数.以上判断中正确的个数是（ ）‎ A．0 B．‎1 ‎C．2 D．3‎ ‎8.已知函数，且，，，则的大小关系为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9.已知圆锥的顶点为，高和底面圆的半径相等，是底面圆的一条直径，点为底面圆周上的一点，且，则异面直线与所成角的正弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10.已知函数，若函数的图象与直线在上有3个不同的交点，则的范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.已知点，抛物线，为抛物线的焦点，为抛物线的准线，‎ 为抛物线上一点，过做，点为垂足，过作的垂线，与交于点，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．5‎ ‎12.已知定义在上的函数，是的导函数，且满足，，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知函数，则______.‎ ‎14.已知向量满足，向量夹角为，且，则向量______.‎ ‎15.在中，分别为角所对的边，且，，，则______.‎ ‎16.大自然是非常奇妙的，比如蜜蜂建造的蜂房.蜂房的结构如图所示，开口为正六边形，侧棱、、、、、相互平行且与平向垂直，蜂房底部由三个全等的菱形构成.瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂房的这种结构是在相同容积下所用材料最省的，因此，有人说蜜蜂比人类更明白如何用数学方法设计自己的家园.英国数学家麦克劳林通过计算得到.已知一个蜂房中，，则此蜂房的表面积是_______.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.在等差数列中，，‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，为数列的前项和，若，求的值.‎ ‎18.如图，在四棱锥中，底前为平行四边形，点在面内的射影为，，点到平面的距离为，且直线与垂直.‎ ‎（Ⅰ）在棱找点，使直线与平面平行，并说明理由；‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三棱锥的体积.‎ ‎19.甘肃省是土地荒漠化较为严重的省份，一代代治沙人为了固沙、治沙，改善生态环境，不断地进行研究与实践，实现了沙退人进.2019年，古浪县八步沙林场“六老汉”三代人治沙群体作为优秀代表，被中宣部授予“时代楷模”称号.在治沙过程中为检测某种固沙方法的效果，治沙人在某一实验沙丘的坡顶和坡腰各布设了50个风蚀插钎，以测量风蚀值.（风蚀值是测量固沙效果的指标之一，数值越小表示该插钎处被风吹走的沙层厚度越小，说明固沙效果越好，数值为0表示该插钎处没有被风蚀）通过一段时间的观测，治沙人记录了坡顶和坡腰全部插钎测得的风蚀值（所测数据均不为整数），并绘制了相应的频率分布直方图.‎ ‎ ‎ ‎（Ⅰ）根据直方图估计“坡腰处一个插钎风蚀值小于‎30”‎的概率；‎ ‎（Ⅱ）若一个插钎的风蚀值小于30，则该数据要标记“*”，否则不标记根据以上直方图，完成列联表：‎ 标记 不标记 合计 坡腰 坡顶 合计 并判断是否有的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关？‎ 附：，‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎20.已知点为椭圆的一个焦点，点为椭圆的右顶点，点为椭圆的下顶点，椭圆上任意一点到点距离的最大值为3，最小值为1.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若在椭圆上但不在坐标轴上，且直线直线，直线的斜率分别为和，求证：（为椭圆的离心率）.‎ ‎21.已知函数（且）.‎ ‎（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若，讨论函数的单调性与单调区间；‎ ‎（Ⅲ）若有两个极值点，证明：.‎ 请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22.【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的直角坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）若直线与曲线交于两点，求线段的长度；‎ ‎（Ⅱ）若直线与轴，轴分别交于两点，点在曲线上，求的取值范围.‎ ‎23.【选修4-5：不等式选讲】‎ 已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）对，，使得成立，求的取值范围.‎ ‎2020年高三诊断考试试题答案 数学（文科）‎ ‎1.B 2.A 3.B 4.C 5.A 6.B 7.B 8.D 9.A 10.C 11.D 12.D ‎11.【解析】根据抛物线定义 为的垂直平分线 ‎ 故选D．‎ ‎12.【解析】由，构造函数，则 ‎，所以可以设，即 ‎，，又因为得，所以，由得且时，在上为减函数，‎ 时，在上为增函数，所以.故答案为D．‎ ‎13.4 14. 15.9 16.‎ ‎16.【解析】连接、，则，‎ 为菱形，，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎.‎ ‎17.【解析】‎ ‎（Ⅰ）设等差数列的公差是，由，得：‎ 解得，所以 ‎（Ⅱ）设，‎ 得到 ‎18.【解析】‎ ‎（Ⅰ）点为中点时直线与面平行.‎ 证明：连接，交点，则点为的中点，因为点为中点，‎ 故为的中位线，则，平面，平面，所以与平面平行 ‎（Ⅱ）根据题意，底面，底面，则有，‎ ‎，所以平面，则设，‎ ‎，得 则 ‎19.【解析】‎ ‎（Ⅰ）设“坡腰处一个插钎风蚀值小于‎30”‎为事件C ‎（Ⅱ）完成列联表如下：‎ 标记 不标记 合计 坡腰 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ 坡顶 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 合计 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ 根据列联表，计算得：‎ 所以有的把握认为，数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关 ‎（Ⅰ）椭圆的标准方程为：‎ ‎（Ⅱ）由（1）可知，，设的斜率为，则斜率也为故直线的方程为，直线的方程为 由得，即 解得或 ‎ 由得，即 解得或 ‎ ‎21.【解析】‎ ‎（Ⅰ）因为时，所以，那么，，所以曲线在处的切线方程为：，即：‎ ‎（Ⅱ）因为，由可得：‎ 当，，时，有，，满足，‎ 和时，‎ 即在和上为减函数；‎ 时，即在上为增函数.‎ 当时，，恒成立，所以在为减函数 综上可知：‎ 当时，在和上为减函数，‎ 在上，为增函数：‎ 当时，在上，为减函数 ‎（Ⅲ）因为有两个极值点则 有两个正根，则有，，，即，‎ 所以 若要，即要 构造函数，则，易知在上为增函数 且，，所以存在使即 且时，单调递减，时，单调递增.‎ 所以在上有最小值为，‎ 又因为则，所以在上恒成立，‎ 即成立 ‎22.【解析】‎ ‎（Ⅰ）由条件可知直线的普通方程为，‎ 曲线的直角坐标方程为.‎ 根据曲线的直角坐标方程可知为以为圆心，以为半径的圆，‎ 圆心到直线的距离，‎ 所以弦；‎ ‎（Ⅱ）因为曲线的参数方程为（为参数，且），‎ 又因为，，设曲线上点的坐标为，‎ 则，，‎ 所以，，则，‎ 所以 ‎23.【解析】‎ ‎（Ⅰ）由或或解得或或，‎ 所以不等式的解集为 ‎（Ⅱ）因为当时，‎ 又因为，‎ 由题意，，使得成立，‎ 则有，即所以有，‎ 解之得