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  • 2021-06-11 发布

【数学】天津市和平区2020届高三第二次质量调查(二模)试题

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天津市和平区2020届高三第二次质量调查(二模)试题 温馨提示:本试卷包括第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分。‎ 考试时间120分钟。祝同学们考试顺利!‎ 第Ⅰ卷 选择题(共45分)‎ 注意事项:‎ ‎1. 答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。‎ ‎2. 每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。‎ ‎3. 本卷共9小题,每小题5分,共45分。‎ 如果事件互斥,那么 如果事件相互独立,那么 ‎ ‎ . ‎ ‎ 锥体的体积公式. 球体 ‎ 其中表示锥体的底面积, 其中R为球的半径.‎ ‎ 表示锥体的高.‎ 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. ‎ ‎1.设复数的共轭复数为,且,则复数在复平面内对应点位于( )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎2.设,则“”是“”的( )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎3.已知:,,,则 的大小关系为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.已知甲、乙两人独立出行,各租用共享单车一次(假定费用只可能为1、2、3元).甲、乙租车费用为1元的概率分别是0.5、0.2,甲、乙租车费用为2元的概率分别是0.2、0.4,则甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为( )‎ A.0.18 B.‎0.3 ‎ C.0.24 D.0.36‎ ‎5.在中,角、、的对边分别为、、,若,,,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.已知双曲线的右焦点为,圆(为双曲线的半焦距)与双曲线的一条渐近线交于两点,且线段的中点落在另一条渐近线上,则双曲线的方程是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.把函数的图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,若函数是偶函数,则实数的最小值是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.已知、,,则当取最小值时,的值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.已知函数,函数g(x)=f(1-x)-kx+k-恰有三个不同的零点,则k的取值范围是(  )‎ A.(-2-,0]∪ B.(-2+,0]∪‎ C.(-2-,0]∪ D.(-2+,0]∪‎ ‎第Ⅱ卷 非选择题(共105分)‎ 注意事项:‎ ‎1. 用黑色水笔直接答在答题卡上,答在本试卷上的无效。‎ ‎2. 本卷共11小题,共105分。‎ 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卷上. ‎ ‎10.已知全集为,集合,,则 ‎___________.‎ 11. 的展开式中,项的系数为 .‎ ‎12.已知是定义在上偶函数,且在区间上单调递增,若实数满足,则的取值范围是___.‎ ‎13N .农历五月初五是端午节,民间有吃粽子的习惯,粽子又称粽籺,俗称“粽子”,古称“角黍”,是端午节大家都会品尝的食品,传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图,平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的,将它沿虚线折起来,可以得到如图所示粽子形状的六面体,则该六面体的体积为 ;若该六面体内有一球,则该球体积的最大值为 .‎ 14. 设抛物线的焦点为,准线为,过焦点的直线交抛物线于,两点,分别过,作的垂线,垂足为,,若,则 ;‎ ‎ .‎ ‎15.已知平行四边形的面积为,,为线段的中点.则_______ ;若为线段上的一点,且,则的最小值为___________.‎ 三、解答题:本大题共5小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎16.(本小题满分14分)‎ 为了进一步激发同学们的学习热情,某班级建立了数学、英语两个学习兴趣小组,两组的人数如下表所示:‎ 组别 性别   ‎ 数学 英语 男 ‎5‎ ‎1‎ 女 ‎3‎ ‎3‎ 现采用分层抽样的方法(层内采用简单随机抽样)从两组中共抽取3名同学进行测试.‎ ‎(Ⅰ)求从数学组抽取的同学中至少有1名女同学的概率;‎ ‎(Ⅱ)记ξ为抽取的3名同学中男同学的人数,求随机变量ξ的分布列和数学期望.‎ ‎17.(本小题满分14分)‎ 如图,四边形为平行四边形,,平面,‎ ‎∥ ,,,且是的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证: ∥平面;‎ ‎(Ⅱ)求二面角的大小;‎ ‎(Ⅲ)线段上是否存在点,使得直线与直线所成的角为? 若存在,求出的长;若不存在,请说明理由.‎ ‎18.(本小题满分15分)‎ 已知椭圆的离心率为,且过点. 为椭圆的右焦点, 为椭圆上关于原点对称的两点,连接分别交椭圆于两点.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的标准方程;‎ ‎(Ⅱ)若,求的值;‎ ‎(Ⅲ)设直线, 的斜率分别为, ,是否存在实数,使得,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎19.(本小题满分16分)‎ 已知数列是公差不为0的等差数列,,数列是等比数列,且,,,数列的前n项和为.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设, 求的前n项和;‎ ‎(Ⅲ)若对恒成立,求的最小值.‎ ‎20.(本小题满分16分)‎ 已知函数(e为自然对数的底数).‎ ‎(Ⅰ)求函数的值域;‎ ‎(Ⅱ)若不等式对任意恒成立,求实数k的取值范围;‎ ‎(Ⅲ)证明:. ‎ 参考答案 一、选择题:(45分).‎ ‎1.A 2.B 3.A 4.B 5.B 6.D 7.C 8.C 9.D 二、填空题:(30分)‎ ‎10. 11. 240 12. ‎ ‎13.;. 14. 2 ; 5 15.-9 ; ‎ 三、解答题:‎ ‎(16) (本小题满分14分)‎ 解:(Ⅰ)两小组的总人数之比为8∶4=2∶1,共抽取3人,‎ 所以数学组抽取2人,英语组抽取1人.‎ 从数学组抽取的同学中至少有1名女同学的情况有:1名男同学、1名女同学;‎ ‎2名女同学.‎ 所以所求概率. ……………………4分 ‎(Ⅱ)由题意可知,ξ的所有可能取值为0,1,2,3, ……………………5分 ‎…………6分 ‎ ‎ ‎ ‎…………8分 ‎ ‎ ‎ ‎…………11分 ‎ ‎…………10分 ‎ ‎ ‎ 所以 的分布列为:‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ P ‎…………12分 ‎ ‎ ‎ ‎=0×+1×+2×+3×=. ……………………14分 ‎17.(本小题满分14分)‎ 解:(Ⅰ)证明:因为平面,,故以为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.由已知可得各点坐标为:‎ ‎,‎ ‎ ……………………2分 设平面的一个法向量是 ‎ 由 得 ‎ 令,则 ‎ 又因为 , ……………………4分 所以,又平面, ‎ 所以∥平面 ……………………6分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可知平面的一个法向量是.‎ 因为平面,所以 又因为,所以平面.‎ 故是平面的一个法向量. ……………………8分 所以 ,又二面角为锐角,‎ 故二面角的大小为 ……………………9分 ‎(Ⅲ)假设线段上存在点,使得直线与直线所成的角为 不妨设 ,则……………10分 所以 ……………………11分 由题意得 ‎ 化简得 ‎ 解得 ……………………13分 因为,所以无解 即在线段上不存在点,使得直线与直线所成的角为 ………14分 18. ‎(本小题满分15分)‎ 解:(Ⅰ)设椭圆方程为,由题意知: ‎ 解之得:, ……2分 所以椭圆方程为: ……3分 ‎(Ⅱ)若,由椭圆对称性,知,所以, ‎ 此时直线方程为, ……………………5分 由,得,解得(舍去), ……6分 故. ……………………7分 ‎(Ⅲ)①若直线的斜率不存在.则直线的方程为:‎ ‎…………9分 ‎ ‎②若直线的斜率存在.设,则,‎ 直线的方程为,代入椭圆方程得:‎ ‎      ……………………10分 因为是该方程的一个解,所以点的横坐标, ‎ ‎……12分 ‎ 又在直线上,所以,‎ 同理,点坐标为,, ……………………13分 所以,‎ 即存在,使得. ……………………14分 综合①②知存在满足题意.……………………15分 18. ‎(本小题满分16分)‎ 解:(Ⅰ)设等差数列的公差为,等比数列的公比为, 则由题意可得,解得或, ……………………2分 ∵数列是公差不为0的等差数列,, ∴数列的通项公式; ……………………4分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, ……………………5分 当时,, ……………………7分 当时,‎ ‎…………9分 ‎ ‎ ………‎ ‎…………10分 ‎ ‎(Ⅲ)由(Ⅰ)可知, ……………………11分 令,,∴随着的增大而增大, ……………………12分 当为奇数时,在奇数集上单调递减,, 当为偶数时,在偶数集上单调递增,,…14分 ,‎ 对恒成立, ,‎ ‎∴的最小值为. ……………………16分 ‎20. (本小题满分16分)‎ 解:(Ⅰ)‎ ‎ ……………………2分 ‎,,,‎ 所以,故函数在上单调递减,‎ 故;,‎ 所以函数的值域为. …………………5分 ‎(Ⅱ)原不等式可化为...(*),‎ 因为恒成立,故(*)式可化为. ……………6分 ‎ 令,则 ‎①当时,,所以函数在上单调递增,‎ 故,所以; ……………………7分 ‎②当时,令,得,‎ 当时,;当时,.‎ i)当即时,‎ 函数, …………………9分 ii)当即时,函数在上单调递减,‎ ‎,解得 综上,. ……………………11分 ‎(Ⅲ)令则. …………12分 由,‎ 故存在,使得即.‎ 且当时,;当时,.‎ 故当时,函数有极小值,且是唯一的极小值, ………………14分 故函数 ‎,‎ 因为,所以,‎ 故 所以 ………………16分

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